Методы решения иррациональных уравнений -11 класс
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Методы решения иррациональных уравнений

Учитель высшей

квалификационной категории

лицей №5 Вахитовского

района г. Казани

Козлова Галина Васильевна

В данной статье рассматриваются различные способы решения иррациональных уравнений, систем иррациональных уравнений: приемы, опирающиеся на использование различных свойств функции, векторный метод решения иррациональных уравнений, графический способ решения иррациональных уравнений, метод подстановки.

1. Решить уравнение

Построим графики функций ,

2. Сколько решений имеет уравнение ?

1

Графический способ решения

Ответ: 2 корня

3. Решить уравнение

ОДЗ:

Решение:

        2

Подбором находим, что уравнение имеет корень х=2. так как в области определения уравнения, т.е. на отрезке [1;3], функция возрастает, а функция  убывает, то других корней уравнение не имеет. Итак, х=2 – единственный корень уравнения.

4. Решить уравнение

Решение:

Замечаем, что - корень уравнения (2). Но, как и в примере3, утверждать, что это единственный корень уравнения, мы пока не можем, поскольку и функция , и функция  возрастают в области определения уравнения (2), т.е. на луче []. Если в примере 3 нам удалось преобразовать уравнение к такому виду, что одна часть представляла собой убывающую, а другая – возрастающую функцию, то здесь нам этого не удается. Поступим по-другому.

Найдем производные функции  и . И вычислим их в точке х=1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем

;

. Далее, ;  .

Так как , то графики функций  имеют общую касательную в точке (1;1) . Но поскольку функция выпукла вниз, а функция  выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а поэтому уравнение   имеет только один корень.

Итак, х=1 – единственный корень уравнения (2).

Ответ: 1.

5. Векторный метод.

Решим уравнение векторным методом .

Решение:

т.к.  то

т.е. и  а следовательно

3

Ответ: .

6. Решить данную систему иррациональных уравнений, используя теорему Виета и метод подстановки.

;

 По теореме Виета а=5, b=3

Ответ: (23;5), (11;27)

7. Сколько решений, в зависимости от значения а, имеет уравнение: =а; ?

Построим графики функций у =

                                                 у =а

Графиком функции у = является полуокружность R=1.

Найдем точки пересечения графика функции у =  с осью ОХ, решая уравнение у=0

        y

4х--3=0        y=a

х-4х-3=0

По теореме Виета

        1        2        3        x

=1    =3                        

            Ответ: если      нет решений

                        если               одно решение

                        если         2 решения

4