Разработка урока "Методы решения иррациональных уравнений"
методическая разработка (алгебра, 11 класс) на тему

                     Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

1. Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
2. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
3. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать  умение выбирать рациональные пути решения;
3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

1. Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

1. Информационно- иллюстративный;
2. репродуктивный;
3. проблемный диалог;
4. частично-поисковый;
5. системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности: 

1. Фронтальная,
2. групповая,
3. самопроверка,
4. взаимопроверка,
5. коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия:   2 урока по 45 минут.

                                          План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом.

                                          Конспект урока.

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

1. Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

                 Назовите иррациональные уравнения:

2. Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит  найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

3. Основные методы решения иррациональных уравнений. 

1. Уединение радикала. Возведение в степень. 

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1. использование равносильных преобразований 

для уравнения вида

для уравнения вида

2. после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b)  При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:   

Ответ: x=1

Пример 2:    

Ответ: x=1

Пример 3:    

                     Проверка:   x=2           x=5          

          - посторонний корень                                                                                      

 Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:  

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:  

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:    

Сделаем замену      причём   тогда

                          не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

                            Проверка показывает, что оба корня подходят.  

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6:     .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

      Тогда,        

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

          Значит:                       9 – x = 8 ,   х = 1.  

Ответ : х = 1

1. Метод разложения на множители или расщепления.

4. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:        

Ответ: -4;3  

1.    Изучение нового материала.     

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.    

1.  Умножение на сопряжённое выражение.
2. Переход к модулю.
3. Использование свойств функции:

1. Область определения функции (ОДЗ)
2. Область значения функции
3. Свойство ограниченности функции (метод оценок)
4. Свойство монотонности
5. Использование суперпозиций функций                                                                  

1. Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой  

Пример 8:          

Умножим обе части уравнения  на  сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что  число является корнем.

Ответ:  

2. Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:  

Пример 9:  

Рассмотрим случаи:

1. Если  , то , тогда

                                  тогда

2. Если , тогда  ,а

                          2=6( ложно)

3. Если , тогда , а

Ответ:   -3;3

3. Использование свойств функции:

6. Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения  функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:    

                       ОДЗ:            ОДЗ: x=0  и  x=1

Проверка показывает, что только    x=1 является корнем.

Ответ:  

Пример 11:    

                    , тогда

              Тогда     невозможно.

Ответ: корней нет.

1. Область  значений функции

Пример 12:  

     Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция  может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:    

  Учитывая то, что левая часть уравнения – функция     может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: 

  неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

1. Свойство ограниченности функции (метод оценок)

4. Если  и , то

Пример 14:    

            Заметим, что , т.е. , а

                         Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:  

7. Свойство монотонности

5. Пусть  - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I  не более одного корня.
6. Пусть  - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция   - убывающая на этом промежутке.  Тогда уравнение  имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15:    .

                    Рассмотрим функции  и  .

 монотонно возрастает, а   - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:  

Пример 16:    

          Функция   возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение  имеет не более одного корня. Так как , то  - единственный корень .

Ответ:  

1. Использование суперпозиций функций                                                                  

7. Если  - монотонно возрастающая функция, то уравнения   и  равносильны.

Пример 17:    

              Запишем уравнение в виде  

       Рассмотрим функцию  - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет  вид  . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

     не удовлетворяет условию  

Ответ:

1. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

     После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

                        1                             6                             5

                         2                             3                            4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно,  свои коррективы.

2. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
3. Задание на дом:

Решить уравнения:

8. *  

Используемая литература.

1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2
3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989
4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.
5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом:

решения иррациональных уравнений»

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

3. Найди ОДЗ:

4. Разложи на множители:

5. Умножай на сопряжённое выражение:

6. Переходи к модулю:

7. Используй свойства функций:

8. Реши любым способом: