Главные вкладки

    Методические разработки к элективному курсу "Методы решений иррациональных уравнений"
    элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

    Иванова Наталья Львовна

    Предлагаемый  элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение теоретических и практических знаний учащихся. Программа элективного курса предполагает изучение различных методов и подходов при решении иррациональных уравнений, отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам. Курс рассчитан на 17 часов.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon proekt_uravneniya_irratsionalnye.doc395.5 КБ

    Предварительный просмотр:

    Методические разработки к элективному курсу

    «Методы  решений иррациональных уравнений»»

    ВВЕДЕНИЕ

    Предлагаемый  элективный курс «Методы решений иррациональных уравнений» предназначен для учащихся 11 класса общеобразовательной школы и является предметно-ориентированным, направлен на расширение теоретических и практических знаний учащихся. Элективный курс построен с опорой на знания и умения, получаемые учащимися при изучении математики в средней школе.

     Специфика данного курса заключается в том, что он предназначен в первую очередь для учащихся, желающих расширить, углубить, систематизировать, обобщить свои математические знания, изучить единые методы и приемы решения иррациональных уравнений. В программу включены вопросы, частично выходящие за рамки ныне действующих программ по математике и нестандартные методы, которые позволяют более эффективно решать  разные задачи.

    Большинство заданий  ЕГЭ требуют от выпускников владения различными методами решения разного рода уравнений и их систем. Материал, связанный с уравнениями и системами уравнений, составляет значительную часть школьного курса математики.  Актуальность выбора темы элективного курса  определяется значимостью темы «Иррациональные уравнения» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение нестандартных методов и подходов к решению иррациональных уравнений, которые встречаются в заданиях группы «С» ЕГЭ.

    Наряду с основой задачей обучения математике -обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений – данный элективный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие математических способностей, повышение уровня математической культуры учащихся, создает базу для успешной сдачи ЕГЭ и продолжения  обучения в ВУЗах.

    Цель курса:

    -         повысить уровень понимания и практической подготовки при решении иррациональных уравнений;

    -         изучить приёмы и методы решения иррациональных уравнений;

    -         формировать умение анализировать, выделять главное, формировать элементы творческого поиска на основе приёмов обобщения;

    -         расширить знания учащихся по данной теме, совершенствовать умения и навыки решения различных задач для успешной сдачи ЕГЭ.

     

    Задачи курса: 

    -         расширение знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений;

    -         обобщение и систематизация знаний при обучении в 10-11 классах и подготовке к ЕГЭ;

    -        развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

    -        приобщение учащихся к работе с математической литературой;

    -        развитие логического мышления учащихся, их алгоритмической культуры и математической интуиции;

    -         повышение математической культуры ученика.

    Программа элективного курса предполагает изучение различных методов и подходов при решении иррациональных уравнений, отработку практических навыков по рассматриваемым вопросам. Курс рассчитан на 17 часов.

    Программа усложнена, превосходит обычный курс обучения, способствует развитию абстрактного мышления, расширяет область познания учащегося. Вместе с тем она сохраняет преемственность с действующими программами, являясь их логическим продолжением.

    Учебно-тематический план 

    №п/п

    Тема занятий

    Кол-во часов

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Решение  уравнений с учетом области допустимых значений

    Решение иррациональных уравнений  путем  возведения в натуральную степень

    Решение уравнений методом  введения вспомогательных переменных (метод замены)

    Решение уравнения с радикалом третьей степени. 

    Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

    Нетрадиционные задачи.  Задачи группы «С» ЕГЭ

       2

     

     3

    3

    2

    3

    4

    Формы контроля:  домашние контрольные, самостоятельные работы, рефераты и исследовательские работы.    

    В результате обучения данного элективного курса учащиеся должны уметь решать различные иррациональные уравнения, используя стандартные и нестандартные методы и приемы;

    • усвоить алгоритм решения  стандартных иррациональных уравнений;
    • уметь использовать свойства уравнений для решения нестандартных заданий;
    • уметь выполнять тождественные преобразования при решении уравнений;
    • иметь четкое представление о темах единого государственного экзамена, об основных методах их решений;
    • приобрести опыт в выборе методов для решения нестандартных задач.

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

    Уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком радикала, называются иррациональными.

    К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: 

         

    Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней.

    Рассмотрим некоторые способы решения иррациональных уравнений.

    1.Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений (ОДЗ).

    Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени.

    Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

    Пример1. Решить уравнение   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image461.gif.

     

    Решение. Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множествоОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image463.gif . Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 – корень исходного уравнения.

    Ответ: 2.

    Пример2.  Описание: http://alexlarin.net/Abitur/razdel3.files/image232.gif

    Уравнение не имеет решений, т.к.  при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна.

      Пример 3.    + 3 = .

                         ОДЗ:  

                                          

    ОДЗ уравнения пустое множество.

    Ответ: уравнение корней не имеет.

    Пример4.   3−4=−(2+).                        

                      ОДЗ:                

                     ОДЗ:       .  Проверкой убеждаемся, что х=1  - корень уравнения.

    Ответ: 1.

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image7.gifЗадания для самостоятельного решения.

    Докажите, что уравнение не имеет

    корней.

    1. = 0.

    2. =1.

    3. 5.

    4.+ =2.

    5.=.

    Решите уравнение.

    1. .

    2. = 0.

    3. = 92.

    4.  = 0.

    5. ++(х+3)(2005−х)=0.

    2. Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень,  то есть переход  от уравнения

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image131.gif                                                    (1)

    к уравнению

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image133.gif.                                       (2)

    Справедливы следующие утверждения:

    1)     при любом Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image135.gif уравнение  (2) является следствием уравнения (1);

    2)     если Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image137.gif (n – нечетное число),  то уравнения  (1)  и  (2)  равносильны;

    3)     если Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image139.gif (n – четное число),  то уравнение  (2)  равносильно уравнению

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image141.gif,                                                   (3)

    а уравнение (3)  равносильно совокупности уравнений

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image143.gif.                                         (4)

    В частности, уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image145.gif                                          (5)

    равносильно совокупности уравнений (4).

     

    Пример 1. Решить уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image147.gif.

    Уравнение равносильно системе 

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image149.gif

    откуда следует, что  х=1, а корень Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image153.gif не удовлетворяет второму неравенству. При этом  грамотное решение не требует проверки.

    Ответ: х=1.

    Пример 2. Решить уравнение       Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image156.gif.

    Это уравнение равносильно системе

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image158.gif

    Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image160.gif, получим корни Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image162.gif и Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image164.gif. Однако при этих значениях не выполняется неравенство Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image166.gif, и потому данное уравнение не имеет корней.

    Ответ: корней нет.

    Пример 3. Решить уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image168.gif.

    Уединив первый радикал, получаем уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image170.gif,

    равносильное исходному.

    Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как они обе    положительны, получаем уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image172.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image174.gif

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image174.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image177.gif,

     

    которое является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат при условии, что  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image179.gif, приходим к уравнению

     

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image181.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image174.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image184.gif.

    Это уравнение имеет корни Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image186.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image188.gif. Первый корень удовлетворяет исходному условию  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image190.gif, а второй – не удовлетворяет.

    Ответ: х=2.

    Если уравнение содержит два и более радикалов, то их сначала уединяют, а потом возводят в квадрат.

    Пример 1. 

    Уединив первый радикал, получим уравнение , равносильное данному. Возведем в квадрат обе части уравнения:

                            

    Выполнив необходимые преобразования, полученное уравнение возведем в квадрат                                

                                     

                                           Выполнив проверку, замечаем, что

     не входит в область допустимых значений.

    Ответ: 8.

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image24.gif

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image23.gifОписание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image22.gif

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image21.gifОписание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image25.gif

     Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image25.gif      Ответ: 2

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image39.gif

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image38.gif

    Описание: http://gymn22.narod.ru/Systems/Shaova/Image12.gif

               Ответ: 3; 1,4 .

    3. Многие иррациональные уравнения решаются методом введения вспомогательных переменных.

    Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

     Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.

    Пример 1. 

    Пусть  t>0, тогда

               t =,

               t2+5t-14=0,

               t1=-7, t2=2.                t=-7 не удовлетворяет условию t>0, тогда

               ,

                х2-2х-5=0,

                х1=1-,  х2=1+.

    Ответ:  1-; 1+.

    Пример 2. Решить иррациональное уравнение

    Замена:

    Обратная замена: /

    Ответ:

    Пример 3.   Решите уравнение      Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image194.gif

       

    Сделаем замены:  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image196.gif,   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image198.gif .  Исходное уравнение перепишется в виде   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image200.gif  ,   откуда находим, что   а = 4b   и  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image202.gif  .   Далее, возводя обе части уравнения  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image204.gif в квадрат, получаем:   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image206.gifОтсюда  х = 15 .  Осталось сделать проверку: 

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image208.gif  - верно!

         Ответ: 15.

     

     

    Пример 4. Решить уравнение

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image212.gif.

    Положив Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image214.gif, получим существенно более простое иррациональное уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image216.gif. Возведем обе части уравнения в квадрат: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image220.gif.

     

    Далее последовательно получаем:

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image222.gif;       Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image224.gif;

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image226.gif;      Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image228.gif;          Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image230.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image232.gif

    Проверка найденных значений, их подстановка в уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image216.gif показывает, что Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image235.gif – корень уравнения, а Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image232.gif – посторонний корень.

    Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image238.gif, то есть квадратное уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image240.gif, решив которое находим два корня: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image186.gif,Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image243.gif. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

    ОтветОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image186.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image243.gif.

     

    Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное.

     

    Пример 6. Решить уравнение  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image247.gif.

     Перепишем уравнение так: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image249.gif.

    Видно, что если ввести новую переменную Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image251.gif, то уравнение примет вид Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image253.gif, откуда Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image255.gif - посторонний корень и  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image257.gif.

    Из уравнения Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image259.gif получаем Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image261.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image263.gif.

     

    ОтветОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image261.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image266.gif.

     

    Пример 7. Решить уравнение  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image268.gif.

    Введем новую переменную    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image270.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image272.gif.

    В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image274.gif,

    откуда учитывая ограничение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image276.gif, получаем Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image278.gif. Решая уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image280.gif, получаем корень Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image282.gif.  Ответ: 2,5.

    Задания для самостоятельного решения.

     1. +=.

    2. +=.

    3..

    4.

     5.  .

    6. 

     

        4.Метод введения двух вспомогательных переменных.

     Уравнения вида Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image286.gif (здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить  при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image288.gif и Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image290.gif, где Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image292.gif и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.

    Пример 1. Решить уравнение    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image294.gif.

    Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image296.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image298.gif, то исходное уравнение переписывается так: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image300.gif. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее и z. Для этого возведем равенства Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image302.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image298.gif в четвертую степень и заметим, что Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image305.gif. Итак, надо решить систему уравнений   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image307.gif

    Возведением в квадрат получаем:

             Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image309.gif.

    После подстановки  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image311.gif  имеем:  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image313.gif или  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image315.gif. Тогда система Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image317.gif имеет два решения: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image319.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image321.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image323.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image325.gif, а система Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image327.gif  не имеет решений.

     

     Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image329.gif    и систему   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image331.gif     Первая из них дает Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image333.gif, вторая  дает Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image335.gif.

     

    ОтветОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image333.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image335.gif.

     

            Пример 2.

    Пусть

           

                    

                                           

                                                 

    Ответ:

    5. Уравнения с радикалом третьей степени. 
             При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами: 
    Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16899.zip
    Пример 1.  Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16900.zip
    Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: 
    Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16901.zip
    Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:  Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16902.zip  
    Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16850.zip и Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16903.zip. Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. 
    Ответ: Описание: http://www.coolreferat.com/dopb16904.zip.

    6.Умножение обеих частей уравнения на сопряженное одной из них выражение.

    Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

     

    Пример 1. Решите уравнение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image372.gif

     

    Решение: Выберем функцию Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image374.gif

     

    Умножим обе части уравнения на выбранную функцию:

     

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image376.gif

     

    Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение

     

     

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image378.gif

     

    Сложим исходное уравнение и последнее, получим

     

     

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image380.gif

     

    Ответ: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image382.gif.

     

     

    7.Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

    При решении иррациональных уравнений часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны,  так же как возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.

    Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

    I.           Пример 1. Решить уравнение   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image499.gif.

    Решение. Здесь применима формула  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image501.gif.

    Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image503.gif. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image505.gif    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image507.gif

        

     Решая уравнение этой системы, получим корни Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image162.gif и Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image510.gif. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

    Ответ: -1.

    II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image514.gif.

    Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image423.gif и Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image428.gif должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.

    Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image518.gif.

     Пример 2. Решить уравнение  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image520.gif.

    Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image522.gif.

    Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image434.gif, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image525.gif не имеет смысла при Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image151.gif. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image520.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image174.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image530.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image532.gif

     Решая уравнение этой системы, получим корни Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image534.gif и Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image536.gif. Оба корня удовлетворяют неравенству системы.

    Ответ: Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image534.gifОписание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image536.gif.

    III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.

    Пример 3. Решить уравнение   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image540.gif.

    Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image542.gif, получим   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image544.gif.

    Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image546.gif было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image548.gif. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

    Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image540.gif   Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image551.gif  Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image553.gif Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image555.gif.

    Это уравнение равносильно системе    Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image557.gif

     которая имеет единственное решение Описание: http://skolniki.narod.ru/zadanie1_mat.files/image546.gif.

    Ответ: 3.

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

    В рамках изучения элективного курса показаны нестандартные приемы решения сложных задач, которые успешно развивают логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.

    В работе были рассмотрены основные методы решения иррациональных уравнений, некоторые подходы к решению уравнений высших степеней, использование которых предполагается при решении заданий ЕГЭ, а также при поступлении в ВУЗы и продолжении математического  образования. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения иррациональных уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях. Кроме того, были рассмотрены типичные ошибки при выполнении тождественных преобразований и способы их преодоления.

    При прохождении курса учащиеся получат возможность овладеть различными методами и приемами решения  уравнений, при этом научатся систематизировать и обобщать теоретические сведения, самостоятельно заниматься поиском решения некоторых проблем и в связи с этим составлять ряд задач и упражнений по данным темам. Выбор сложного материала  поможет  школьникам проявить себя в исследовательской деятельности.

    Положительной стороной курса является возможность дальнейшего применения учащимися изученного материала при сдаче ЕГЭ, поступлении в ВУЗы.

    Отрицательной стороной является то, что не каждый учащийся в состоянии овладеть всеми приемами данного курса, даже имея на то желание, ввиду трудности большинства решаемых задач.

    ЛИТЕРАТУРА:

    1. Шарыгин И.Ф. « Математика для поступающих в вузы».-3-е изд.,-М.:Дрофа, 2000.
    2. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Экзамен,1998.
    3. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. «Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену». – 8-е изд., испр. и доп. – М.:Айрис, 2003.  – (Домашний репетитор)
    4. Балаян Э.Н. Комплексные упражнения и варианты тренировочных заданий к ЕГЭ по математике. Ростов на – Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
    5. Сканави М.И. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы». - М., «Высшая школа»,1998.
    6. Игусман О.С. «Математика на устном экзамене». - М.,Айрис,1999.
    7. Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ – 2008 – 2012.
    8. В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина «ЕГЭ – 2010. Математика. Репетитор» Москва «Просвещение» 2010г.
    9. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович «Математика. Справочные материалы» Москва «Просвещение» 1988г.
    10. Математика. Тематические тесты. Часть И. Подготовка к М 34 ЕГЭ-2010.10-11 классы / Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся к ЕГЭ).

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Разработка урока "Методы решения иррациональных уравнений"

    Цель урока: познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию у...

    Учебно-методическое пособие "Решение уравнений". Часть 1: Решение иррациональных уравнений.

    Электронное учебно-методическое пособие для уроков повторения в 11 классе по теме "Решение уравнений"....

    Методическая разработка урока на тему: Решение показательных уравнений, приводимых к квадратным, методом замены переменной.

    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. На уроке рассматривались показательные уравнения, которые можно решить способом замены переменных. Класс, в котором проводился урок, характеризуется неустойчивостью внимани...

    МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

    РАЗРАБОТКА ОСВЕЩАЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ВОПРОСЫ:1.Вступление.2.Историческая справка.3.Структура и место темы в учебном курсе.4. Теоретические основы преподавания темы.5.Тематическое планирование темы.6.Основные...

    Рабочая программа элективного учебного предмета «Иррациональные уравнения . Трансцендентные уравнения и неравенства» для учащихся 10 классов

    Рабочая программа элективного учебного предмета «Иррациональные уравнения . Трансцендентные уравнения и неравенства» для учащихся 10классов разработана на основе федерального государственн...

    Методическая разработка урока по теме "Решение квадратных уравнений"

    Основной  из  главных  задач  учителя  является  организация  учебной  деятельности  таким  образом,  чтобы  у  учащихся  сформиро...

    Разработка урока по теме "Решение иррациональных уравнений"

    Разработка урока алгебры для 9 класса по теме "Решение иррациональных уравнений".Тип урока - урок рефлексии....