МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».
методическая разработка по математике (11 класс) по теме

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

ПЛАН.

1.Вступление.

2.Историческая справка.

3.Структура и место темы.

4. Теоретические основы преподавания темы.

5.Тематическое планирование темы.

6.Основные результаты обучения.

1. ВСТУПЛЕНИЕ.

          Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. Наше время не стало исключением. Сначала появились калькуляторы, затем компьютеры. Это внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная работа), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать.  Тем более  что повышение качества образования и формирование у учащихся ключевых компетенций – важнейшая задача модернизации школьного образования в условиях перехода к ФГОС нового поколения. Конечно использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

          Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Это актуально особенно сейчас, когда стоит задача формирования  не просто умений, а умений, непосредственно сопряжённых  с опытом их применения в практической деятельности. Когда важно приоритетное нацеливание на развитие познавательного интереса учащихся, реализацию принципа связи обучения с жизнью. Практически все, что окружает современного человека – это так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

2. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

          Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика»  греческого математика Диофанта Александрийского. Это собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

          Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX века Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

          Термин «показатель» впервые ввел немецкий математик М. Штифель в XVI  веке. Он же дал определение  при а≠1.

3. СТРУКТУРА И МЕСТО ТЕМЫ.

          Тема «Показательные уравнения и системы уравнений» изучается в курсе общеобразовательной школы в 11 классе. Данная тема занимает важное место в курсе алгебры и начал анализа, так как тесно связана с темами «Показательная функция», «Показательные неравенства»,  «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства».

           Прежде, чем перейти непосредственно к решению показательных уравнений,  учащиеся знакомятся с показательной функцией. К моменту решения уравнений они уже знают определение показательной функции, ее свойствами и график, знакомы с  новыми обозначениями и понятиями. Кроме того, учащиеся уже изучили следующие теоремы, которые являются необходимой базой для решения показательных уравнений и неравенств:

          Теорема 1. Если , то равенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

          Теорема 2. Если , то неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство справедливо тогда и только тогда, когда .

          Теорема 3. Если , то равенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

          Теорема 4. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

4. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ.

          Остановлюсь подробнее именно на решении показательных уравнений. Показательными называются уравнения вида  , где a –положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

В основе решения показательных уравнений лежит теорема, с которой знакомят учащихся на первом уроке решения уравнений.

Теорема.  Показательное уравнение , (где а равносильно уравнению .

          Выделяют три основных метода решения показательных уравнений.

• Функционально-графический метод. Он основан на использовании иллюстраций или каких-либо свойств функций.
• Метод уравнивания показателей. Он основан на том, что обе части уравнения приводят к степени с одинаковым показателем, а затем применяют выше приведенную теорему.
• Метод введения новой переменной.

Рассмотрю способы решения различных видов показательных уравнений.

1).  Простейшие показательные уравнения решают либо с помощью графика, либо способом приведения к общему основанию. Графический способ стараются применять только тогда, когда алгебраический весьма затруднен. Например, при решении уравнения . Уравнения вида   решаются так: показатель степени приравнивают к 0 и находят корни уравнения . Поступают так, пользуясь определением: . Поэтому уравнение  равносильно уравнению , а оно в свою очередь равносильно уравнению ,  – некоторая функция.

Например:                                

,

,

.

При  уравнение вида  решают способом приведения к общему основанию. Следует помнить, что показательная функция монотонна и непрерывна,  т. е. принимает каждое свое значение только один раз при одном значении аргумента и поэтому если, то .

Например:

,

,

,

.

2). Показательные уравнения вида  сводят к виду . Выражение, стоящее в левой части, делится на правую часть (или наоборот). Так как показатели степени равны, частное степеней есть степень частного, а справа (или слева) остается 1.

Например:

,

,

,

.

3). Уравнения вида , где А1, А2, …, Аn, p1, p2, …, pn – числовые коэффициенты, решаются следующим образом: среди степеней с основанием а, как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число В, стоящее в левой части, следует разделить на эту сумму. В итоге уравнение сводится к виду:    .

Например:

,

,

,

,

.

Таким образом, при решении уравнений методом уравнивания показателей, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию, применяя либо свойства степени, либо разложение на множители, либо почленное деление на выражение , где .

4). Уравнения вида . Эти уравнения сводятся к квадратным путем замены выражения  новой переменной. После решения получившегося квадратного уравнения  возвращаются к старой переменной и решают простейшие показательные уравнения.

Например:

,

,

Сделав замену  на t, где , получим

 .

 Корни полученного квадратного уравнения 4 и -6. -6 – посторонний корень. Решив уравнение , имеем .

5. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕМЫ.

6. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ.

Учащиеся должны усвоить следующие понятия:

• Степень с иррациональным показателем;
• Показательная функция;
• График показательной функции;
• Показательное уравнение;
• Показательное неравенство;
• Экспонента.

Учащиеся должны усвоить следующие обозначения:

• ;
• .

Учащиеся должны знать:

• Свойства показательной функции;
• Основные теоремы.

Учащиеся должны уметь:

• Строить график показательной функции;
• Решать простейшие показательные уравнения;
• Приводить обе части уравнения к степени с одинаковым показателем;
• Пользоваться свойством монотонности показательной функции;
• Делать замену переменной в более сложных показательных уравнениях;
• Решать системы показательных уравнений.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. А. Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа».  «Мнемозина».  Москва. 2014.
2. А. Н. Колмогоров и др.» Алгебра и начала анализа».  «Просвещение». Москва. 2014.
3. М. Я Выгодский. «Справочник по элементарной математике». Москва. Издательство «Наука». 1986.
4. А. П. Савин. «Энциклопедический словарь юного математика». Москва. Издательство «Педагогика». 1989.
5. А. И. Макушевич. «Детская энциклопедия». Москва. Издательство «Педагогика». 1992.