Методическая разработка урока по теме: «Элементы комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач»
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему
Предлагаемый мною урок по теме: «Элементы комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач» проведен в 9 классе и направлен на активизацию познавательной деятельности учащихся и формированию у них стремления к самостоятельному приобретению знаний.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 peresypkons.pptx | 211.97 КБ |
 peresypkons.doc | 77.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Элементы комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! (Д. Пойа)
Старинная задача: «Волк, коза и капуста» Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»). С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)
Решение задач: № 715 , № 716 , №714 .
Комбинаторное правило умножения Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n 1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n 2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n 3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n 1 · n 2 · n 2 · … · n k .
Решение задач: № 728 , № 722 , № 723 .
Самостоятельная работа с самопроверкой Три друга при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Ответ: 3 2. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2 ; 2) 0 и 1 Ответы: 1)8 2)4 3. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? Ответ: 15
Итоги урока. – Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете? – Охарактеризуйте каждый способ решения. – Сформулируйте комбинаторное правило умножения.
Способы решения комбинаторных задач 1. Перечисление (полный перебор) вариантов. 2. Подсчет вариантов с помощью графов. а) Полные графы. б) Дерево возможных вариантов (граф-дерево). 3. Составление таблицы возможных вариантов. 4. Непосредственное применение комбинаторного правила умножения.
Домашнее задание № 714, № 719, № 721 (Дополнительно для желающих: придумать несколько задач и решить их с помощью изученных способов).
Список использованных источников : Ю . Н . Макарычев , Н . Г . Миндюк , К . И . Нешков , С . В . Суворова . Алгебра . 9 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2010. Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина. – Волгоград : Учитель, 2011. – 399 с. http://ru.wikipedia.org/
№ 715 В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа: В – Вера З – Зоя М – Марина П – Полина С – Светлана Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.
№ 716 В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А. Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся: А: АВ, АС, А D; В: ВА, ВС, В D; С: СА, СВ, С D; D: DA, DB, DC. Итого – 12 вариантов.
№714 1 способ: 2 способ: Решим с помощью комбинаторного правила умножения. Первое блюдо можно выбрать двумя способами. Для каждого первого блюда можно подобрать второе четырьмя способами. Эти выборы независимы друг от друга, так как каждый осуществляется из своего множества вариантов. Значит, общее число вариантов обеда равно произведению 2 · 4, то есть 8.
№ 728 В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов равно: 5 · 6 · 3 · 2 = 180. О т в е т: 180 различных костюмов.
№ 722 Выбирая команды для игры, мы не учитываем порядок в паре, так как если первая команда играла со второй, то это одновременно означает, что вторая команда играла с первой. Составим таблицу возможных вариантов, отмечая крестиком игру между командами. Команда 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Можно просто посчитать количество крестиков, но это не рационально. Заметим, что количество игр представляет собой арифметическую прогрессию ( а п ), где а 1 = 1, d = 1, п = 11. Значит, нам надо найти S 11 . . Это мы посчитали количество игр, проведенных командами на своем поле. Значит, столько же игр сыграно на поле противника. Итого – 132 игры.
№ 723 I с п о с о б. Составление таблицы возможных вариантов. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 ( а п ) – арифметическая прогрессия. а 1 = 1, d = 1, п = 7; О т в е т: 28 рукопожатий. II с п о с о б. Применение комбинаторного правила умножения. Каждый человек пожимает руку семи оставшимся. Но так как порядок выбора не имеет значения (если Иванов пожимает руку Петрову, то одновременно и Петров пожимает руку Иванову), то общее число рукопожатий равно = 28. О т в е т: 28 рукопожатий.
Предварительный просмотр:
Методическая разработка урока алгебры по теме:
«Элементы комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач»
Автор: Пересыпко Наталья Сергеевна,
преподаватель математики
ФГКОУ «Московское суворовское военное училище»
Участники: ученики 9 класса.
Москва
Методические рекомендации по проведению урока
Предлагаемый мною урок по теме: «Элементы комбинаторики.
Способы решения комбинаторных задач» проведен в 9 классе и направлен на активизацию познавательной деятельности учащихся и формированию у них стремления к самостоятельному приобретению знаний.
Самоопределение к деятельности (мотивация) (слайд 2)
Эпиграфом данного урока является высказывание выдающегося математика Дьёрдь По́йа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!». Актуальность высказывания и сведения об одном из образованнейших людей своего времени, обладавшего обширными познаниями в разных областях математики, внесут положительный заряд интереса в процесс учения и настроят ребят на дальнейшую активную деятельность.
Актуализация, фиксация затруднений и определение проблемного поля (слайд 3)
В представленном мною уроке, на этапе актуализации знаний ученики решают старинную задачу, и, комбинируя разные варианты, приходят к её решению и выясняют, что в математике немало задач требующих для решения составить различные наборы. Ребята плавно подведены к изучению понятия комбинаторика.
Совместная с учащимися постановка цели и совместный поиск путей решения проблемы (слайд 4)
Важнейшее место в активизации познавательной деятельности отводится побуждению у учеников интереса к учению. Поэтому для постановки проблемы перед изложением нового учебного материала представлена историческая справка о становлении комбинаторики и об ученых, которые привнесли в её развитие большой вклад.
Далее рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. В классах с высоким уровнем подготовки возможно самостоятельное изучение, либо работа в группах. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.
Знакомство ребят с системой перебора возможных вариантов, осуществляется с помощью наводящих вопросов и просьбой привести несколько примеров. Ребята могут самостоятельно сформулировать проблему: нужна система, когда фиксируется один элемент, и перебираются оставшиеся. Формулируют вывод.
Закрепление во внешней речи (слайды 5-7)
Заострим внимание ребят на анализе условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором). Решим задачи № 715, №716, №714. Задача № 714 помогает нам совершить «открытие» комбинаторного правила умножения, формулируем его в общем виде, обращая особое внимание на условие его применения – выбор из независимых наборов вариантов. Продолжаем решение задач №728, №722, №723.
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (слайд 8)
Контроль и оценка знаний на данном уроке проводится с помощью взаимопроверки, в ходе которой ученики после выполнения заданий меняются тетрадями и осуществляют сравнение решенных заданий с представленными в презентации образцами. Взаимопроверка всегда вызывает у них высокий интерес, что предполагает повышение мотивации обучения и активной деятельности учеников.
Включение в систему знаний и повторений. Рефлексия (слайды 9-11).
На этапе повторения и закрепления изученного на уроке обсуждаются трудности, возникшие у учащихся при выполнении заданий, анализируются ошибки, допущенные в самостоятельной работе. С помощью вопросов учителя делается вывод о способах решения комбинаторных задач, оформляется в виде таблицы.
Технологическая карта урока:
Тема урока | Элементы комбинаторики. Способы решения комбинаторных задач. | ||
Цель урока | ввести понятие комбинаторной задачи; формировать умения решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов; изучить комбинаторное правило умножения; формировать умения решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения и составления таблиц возможных вариантов. | ||
Планируемые результаты обучения | Предметные. Ученик должен знать: понятие комбинаторной задачи; комбинаторное правило умножения. Уметь: решать комбинаторные задачи. Личностные: развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту. Метапредметные: формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности. | ||
Используемые педагогические технологии | Поисковые и исследовательские технологии, проблемное обучение, информационно-коммуникационные технологии. | ||
Ресурсы | интерактивная доска, раздаточный материал, листы самооценки. | ||
Дидактическая структура урока | УУД | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Самоопределение к деятельности (мотивация) | Личностные УУД (Осмысление внутренней позиции ученика на уровне положительного отношения к уроку) Регулятивные УУД (Самоорганизация и организация своего рабочего места) | Взаимное приветствие. Озвучить эпиграф. С помощью ребят сформулировать тему урока (слайд 2).
| Поприветствовать учителя и друг друга. Осмыслить эпиграф. Настроиться на работу. |
Актуализация, фиксация затруднений и определение проблемного поля. | Познавательные УУД (Актуализация изученных способов действий, развитие мыслительных операций) Личностные УУД (Осознание своих эмоций, интереса к изучению математики) Регулятивные УУД (Учатся работать по предложенному учителем плану) | Устная работа: Решить старинную задачу: Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку? (слайд 3) | Ребята комбинируют разные сочетания, оценивают варианты решения задачи, и выясняют, что в математике немало задач требующих для решения составлять разные наборы. |
Совместная с учащимися постановка цели. Проект выхода из проблемной ситуации (совместный поиск путей решения проблемы). | Познавательные УУД (Активизация мыслительной деятельности через проблемное задание) Регулятивные УУД (Определение и формулирование цели деятельности на уроке с помощью учителя) Коммуникативные УУД(Оформление своих мыслей согласно заданным рамкам обсуждения, аргументация своих суждений) | Для постановки проблемы перед изложением нового учебного материала приводится историческая справка о становлении комбинаторики и об ученых в истории её развития. Предлагается рассмотреть примеры, разобранные на с. 171–172 учебника (слайд 4). | Делают выводы по итогам работы с учебником. Знакомятся с понятием перебора возможных вариантов. Ребята могут самостоятельно сформулировать проблему: нужна система, когда фиксируется один элемент, и перебираются оставшиеся и т.д. |
Закрепление во внешней речи (с монологическим или диалогическим оформлением решения) | Познавательные УУД (Понимание смысла задания; возможность применить первоначальные способы поиска информации) Регулятивные УУД: Осознают качество и уровень усвоения Регулятивные УУД (Проявление самостоятельности и инициативы в разных видах деятельности) Познавательные УУД (Умение следовать образцу и правилу) | Обратить внимание ребят на анализ условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, и как удобнее изобразить решение. Предлагается решить задачи № 715, №716, №714. С помощью задачи № 714 подвести к понятию комбинаторного правила умножения Совместное решение задач №728, №722, №723. (В классах с высоким уровнем подготовки можно предложить самостоятельное решение задач с последующей проверкой) (слайды 5-7). | Выясняют, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором). Решают задачи № 715, №716, №714 с проверкой. В результате решения задачи № 714 совершают «открытие» комбинаторного правила умножения. Формулируют его в общем виде. Продолжают решение задач №728, №722, №723. |
Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону . | Познавательные УУД (Понимание смысла задания; возможность применить первоначальные способы поиска информации) Коммуникативные УУД (Осуществление взаимоконтроля по ходу выполнения задания) | Самостоятельная работа с проверкой по образцу (слайд 8). | Самостоятельно решают в тетрадях задачи, через 3-5 минут меняются тетрадями и с помощью презентации осуществляют взаимопроверку и взаимооценку работы. |
Включение в систему знаний и повторений (неоднократность познавательных действий, практическое закрепление опыта). | Личностные УУД (Оценивание разного вида деятельности на уроке) Регулятивные УУД (Формирование умение адекватно оценивать свою деятельность) | Обсуждаются трудности, возникшие при выполнении задач, анализируются ошибки (слайд 9). | Обсуждаются трудности, возникшие при выполнении заданий, анализируются ошибки. Делается вывод методах решения комбинаторных задач, о интерпретации полученного решения. |
Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог) | Личностные УУД (Оценивание разного вида деятельности на уроке) Регулятивные УУД (Формирование умение адекватно оценивать свою деятельность) | Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: – Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете? – Охарактеризуйте каждый способ решения. – Сформулируйте комбинаторное правило умножения. Домашнее задание: № 714, № 719, № 721 (Дополнительно: придумать несколько задач и решить их с помощью изученных способов). (слайд 10-11) | Отвечают на вопросы учителя. Осознают степень усвоения материала. Фиксируют задание. |
Список использованных источников
- Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.В.Суворова. Алгебра. 9 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2010.
- Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина. – Волгоград : Учитель, 2011. – 399 с.
- http://ru.wikipedia.org/
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока физики в 8 классе "Решение экспериментальной задачи по определению удельной теплоты сгорания сухого горючего"
Данный урок рекомендуется проводить после изучения материала параграфа "Энергия топлива" (Учебник физики 8 класса, Пёрышкин А.В.). Это занятие не только позволит закрепить основные понятия...
методические разрадотки,презентации к уроку и конспекты уроков : Методическая разработка урока 6 класс математика "Проценты. Решение текстовых задач"
Урок по теме " Проценты" составлен так, что начало урока представлено как путешествие в сказочную страну.Решение текстовых задач показывает межпредметные и метопредметные связи. Происходит...
Методическая разработка урока геометрии в 11 классе "Решение планиметрических задач из ЕГЭ"
Урок геометрии в 11 классе с использованием групповой и парной работы....
Методическая разработка мастер-класса для учителей математики "Решение геометрических задач с помощью техники оригами"
В данной статье показан пример использования техники оригами на уроке геометрии при доказательстве теоремы "Сумма углов треугольника". Приведены результаты контрольных срезов после классического объяс...
Учебно-методическая разработка по теме "Наиболее употребительные способы выражения будущего времени в английском языке"
Данная разработка предназначена для учащихся 6-11 классов. К ней прилагаются упражнения для закрепления материала....
Методическая разработка к уроку алгебры 7 класс "Решение практических задач по теме умножение и деление степеней"
В методических рекомендацциях содержится коеспект урока, технологическая карта и буклет...
Методическая разработка по теме: "Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений с использованием интерактивных технологий"
Методическая разработка по теме: Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений с использованием интерактивных технологий....