Научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»
статья по алгебре по теме

Научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

        Математика

«Решение  квадратных уравнений  различными способами»

Решение  квадратных уравнений  различными способами

Целью  работы было формирование умения решать квадратные уравнения. Исходя из этой цели, были проведена следующая работа: изучена история возникновения  и решения квадратных уравнений, проанализированы школьные учебники, рассмотрены формулы для решения квадратных уравнений. В работе так же представлена практическая часть. В результате данной работы сформировано умение решать квадратные уравнения.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений

1. Различные способы решения квадратных уравнений. (изучаемые в школьным курсе алгебры)

1)Разложение левой части уравнения на множители

2) Метод выделения полного квадрата

3)Решение квадратных уравнений по формуле

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета

5) Графическое решение квадратного уравнения

 2. Различные способы решения квадратных уравнений. ( не изучаемые в школьным курсе алгебры)

 6)Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на  а, получаем уравнение

а2 х2 + а bх +  ас = 0.

Пусть  ах = у, откуда  х = ; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2   найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 =   и  х1 =  . При этом способе коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение  2х2 – 11х  + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент  2  к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11y +30 = 0. Согласно теореме Виета     

Ответ: 2,5;3.

7) Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение  ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х1 = 1, х2  = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение х2  +  х +   = 0. Согласно теореме Виета

По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,

Получаем х1 = 1, х2  = , что и требовалось доказать.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2  = –  .

Доказательство. По теореме Виета

        По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

   т.е. х1 = – 1 и х2  =  , что и требовалось доказать.

1. Решим уравнение 345х2  – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как  а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1  = 1,  х2  =  = .

Ответ: 1; – .

2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х1= - 1, х2= -     Ответ: - 1; -

8)Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью  параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения

ах2 + bх +  с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Решим графически уравнение х2  – 2х – 3 = 0.

Решение. Определим координаты  точки центра окружности по формулам:

х = –  у =   =         

Проведем окружность радиуса  S A, где А (0;1).

              у        

              1   A

        -1                     3    x                                                                                    

                    S(1; - 1)                                                                                 

 Ответ: х1  = – 1  ,   х2 =  3 .

9) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М.  Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

1. Для уравнения                                                    

z2   – 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).

2. Решим  с помощью номограммы уравнение  

2z2  – 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2,получим уравнение

z2 – 4, 5 + 1 =  0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

10).Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры»  ал-Хорезми.

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна  2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD,  достраивая в углах четыре

равных квадрата,  сторона каждого из них 2,  а площадь   6

 D                     x                  C

 A                    х                    B

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х2 + 10х + 25.   Заменяя  х2 + 10х  числом 39, получим что  S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для  искомой стороны  х  первоначального квадрата получим х = 8 – 2 – 2 = 3

Список литературы

1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, 1990
5. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7. Дидактические материалы по алгебре.
8. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.

Приложение .

1.  Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:

а) х2 – х = 0;                                     е) х2 – 4х + 4 = 0;

б) х2  + 2х = 0;                                  ж) х2 + 6х + 9 = 0;

в) 3 х2 – 3х = 0;                                з) х2 + 4х +3 = 0;

г) х2 – 81 = 0;                                   и) х2  + 2х – 3 = 0.

д) 4 х2 –  = 0;

2. Решите уравнения по формуле:

а) 2х2 – 5х + 2= 0                        г) 4х2 – 12х +9 = 0

б) 6х2 + 5х + 1=0                        д) 10х2 – 6х + 0,9 = 0

в) 3х2 – 7х – 1 = 0                       е) 2х2 – 3х + 2 = 0

3. Не  решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:

1) х2  –  2х –  15 = 0                        7) х2  –  2х + 1 = 0

2)  х2  + 2х – 8 = 0                          8) х2  + 4х  + 4  = 0

3) х2  + 10х  + 9  = 0                       9) х2  –  6х + 9  = 0

4) х2  –  12х +  35  = 0                    10) 4х2  + 7х – 2 = 0

5)3 х2  +1 4х  + 16  = 0                   11) 5х2  –  9х  –  2 = 0

6) х2  –  5х +  6  = 0                        12) х2  –  11х +  15  = 0

4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 2х2 – 9х +9 = 0                  5) 3х2 + х – 4 = 0
2. 10х2 – 11х + 3 = 0              6) 5х2 – 11х + 6 = 0
3. 3х2 +11х +6 = 0                  7) 2х2 + х – 10 = 0
4. 4х2 +12х + 5 = 0                 8) 6х2 +5х – 6 = 0

5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

1. 5х2 – 7х + 2 = 0                            5) 839х2 – 448х – 391 = 0
2. 3х2 + 5х – 8 = 0                            6) 939х2 + 978х +39 = 0
3. 11х2 + 25х – 36 = 0                      7) 313х2 + 326х + 13 = 0
4. 11х2 + 27х +16 = 0                       8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0

6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:

1. 4х2 – 36х + 77 = 0                     3) 4х2 + 20х + 25 = 0
2. 15х2 – 22х – 37 = 0                   4) 9х2 – 12х + 4 = 0

7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:

1. х2 – 8х – 9 = 0                                 3) х2 + 18х + 81 = 0
2. х2 + 6х – 40 = 0                               4) х2  - 56х + 64 = 0

8.  Решите графически уравнения:

1) х2  – х – 6 = 0;             4)  х2  – 2х – 3 = 0;

2) х2  – 4х + 4 = 0;          5) х2  + 2х – 3 = 0;

3) х2 + 4х +6 = 0;           6) 4х2  – 4х – 1 = 0.

9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

1) х2  – 3х + 2 = 0;               4) 2х2  – 7х + 5 = 0;

2) х2  – 3х – 10 = 0;             5) х2  – 6х + 9 = 0;

              3)  х2  +4х + 3 = 0;               6) х2  +4х + 5 = 0.

10.   Решите с помощью номограммы уравнения:

1) z2 – 7z + 6 = 0;                   4) z2 – z – 6 = 0 ;

2)  z2 + 5z + 4 = 0;                  5) z2 – 11z + 18 = 0;

3)   z2 – 4z + 4 = 0;                  6)  z2 – 2z + 3 = 0.