Урок. Решение уравнений различными способами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Чикская средняя общеобразовательная школа №7

 Алгебра и начала математического анализа

  11 класс

Урок

«Решение уравнений различными способами»

Автор-составитель: Зацепина Н. В.

 Учитель математики

пгт.  Чик

Коченёвский район

Новосибирская область

2010 год

Аннотация к уроку

   Зацепина Надежда Владимировна,  образование высшее, педагогический стаж – 20 лет, 1 квалификационная категория, учитель математики МОУ Чикская средняя  общеобразовательная школа № 7.

Данный урок является 13 в курсе «Алгебра и начала математического анализа», и 9 в теме «Многочлены» по учебнику: А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации; соответствует требованиям федерального компонента государственного стандарта основного общего образования 2004 г.

Тема: «Решение уравнений различными способами».

Тип урока:  обобщения и систематизации  ЗУНов.

Форма организации урока: урок- семинар.

Оборудование: мультимедийная установка, мультимедийная презентация заданий, компьютеры по количеству обучающихся, учебник.

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

Задачи:

1.Обучающая: 

• Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.
• Создание условий для осознанной подготовки к ЕГЭ.
• Формирование навыков самоконтроля, алгоритмической и компьютерной культуры обучающихся.

2.Развивающая: 

• Продолжить развитие устной математической речи, внимания.
• Обеспечение условий для развития умений решать  уравнения.
• Совершенствовать мыслительные умения старшеклассников (сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать и навыки обработки информации).

3.Воспитывающая: 

• Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников.
• Воспитание уверенности в собственных силах.

Особенность урока:

• Целенаправленно и продуктивно подготавливать обучающихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
• Поддерживать интерес к познавательному общению, к уроку, к обучению.
• Удовлетворить потребность школьника в развитии интеллектуальной, мотивационной, эмоциональной сферах.

 Особая роль в сознательном и продуктивном усвоении знаний принадлежит интересу, который может проявляться благодаря использованию ярких примеров, информационно-компьютерных технологий. Учитывая эту особенность, на уроке используется компьютерное тестирование с выходом на сайт http://www.uztest.ru/. Руководитель сайта - учитель математики высшей категории, кандидат педагогических наук, обладатель премии Президента - Ким Наталья Анатольевна. Сайт содержит большую базу заданий по различным разделам школьного курса «Математика».  Учителям - зарегистрированным пользователям сайта, предоставлены следующие возможности:

1. Организация контроля знаний учащихся с помощью тестовых заданий:

• имеется более 5000 задач по всем разделам школьной математики, уникальных, не опубликованных в учебниках и задачниках;
• программа автоматически формирует индивидуальные задания для каждого ученика, согласно заданным учителем условиям;
• результаты выполнения работ учащимися (текущие и итоговые) учитель видит на своем компьютере.

2. Отработка навыков учащихся с помощью системы тренингов:

• тренинг - группа однотипных примеров, этих примеров сотни;
• если ученик решил неправильно пример - ему показывается подробное объяснение и дается следующий, другой пример;
• учитель задает условия тренинга - минимальное количество примеров, которое должен решить ученик и допустимый результат.

3. Ведение Интернет - журнала оценок учащихся:

• можно выставлять текущие оценки учащихся в журнал на сайте, значит информация, всегда доступна ученику и  его родителям;
• допустимы оценки в разных шкалах баллов, рассчитываются итоги: количество оценок, сумма и средняя оценка за указанный период.

На сайте мною зарегистрированы все обучающиеся 11 «А» класса, оформлен Интернет – журнал. Для каждого школьника получен индивидуальный логин и пароль. Это  позволяет обучающимся заходить в свой «личный кабинет», для выполнения тестовой работы, которая составляется мною по определённому условию, согласно теме и цели урока.

А применение на уроке мультимедийной презентации с красочной наглядностью усиливает мотивационный интерес обучающихся к обучению.

Предварительная подготовка к уроку предполагала следующие этапы:

• выбор темы;
• определение типа урока;
• определение круга вопросов;
• индивидуальная работа с некоторыми обучающимися;
• выбор методов, приёмов;
• подбор средств обучения,
• подбор дидактического материала.

При построении урока следует отметить, что:

• Происходит смена деятельности каждые 5 – 10 минут;
• Есть две динамических паузы;
• Имеет место межпредметная связь с уроками информатики.
• Все этапы урока работают на конечный результат

В соответствии с типом урока была предусмотрена следующая структура урока:

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Обобщение (беседа, решение уравнений устно и письменно).
5. Контроль. Проверочная тестовая  работа.
6. Рефлексия.
7. Подведение итогов. Домашнее задание.

На уроке были использованы следующие методы:

1. По источникам передачи и характеру восприятия

• словесный (беседа, пояснения учителя);
• наглядный (демонстрация  презентации);
• практический (нахождение корней уравнения устно, письменное решение уравнений, самостоятельная работа).
• информационно-коммуникативные (компьютерное тестирование, работа с сайтом учителя математики).

2.    По характеру познавательной деятельности

• репродуктивный;
• объяснительно-иллюстративный;
• проблемного изложения (постановка вопросов – почему?);
• частично- поисковый  (определение оптимального способа решения заданного уравнения);
• продуктивный (оригинальность, беглость мысли; быстрота нахождения способа решения; способность применения знаний в новой ситуации).

3.       Метод исследования:

• систематизация  уравнений курса алгебры.

• ввод  и использование текстовой информации на компьютере.

4.  Метод контроля и самоконтроля

• устный;
• письменный;
• автоматизированный;
• наблюдения учителя.

     5. Метод стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности.

     6. Метод активного воздействия на эмоциональный интеллект обучающихся.

Приёмы:

1. Приемы формирования и активизации отдельных операций мышления, внимания, памяти, восприятия, воображения. («Узнай по описанию», «Узнай по иллюстрации»).
2. Приемы, способствующие созданию проблемных, поисковых ситуаций в мыслительной деятельности обучающихся. Приём вызова с опорой на личный опыт и знания, – «Какие виды уравнений вам известны?»;  «Что вы знаете о способах решения уравнений?». Создание ситуации познавательного поиска: определение вида выражения во время устного счёта;  нахождение корней различных уравнений устно; сопоставление графика с формулой; нахождение способа решения заданного уравнения).
3. Приемы, активизирующие эмоции учащихся («психологическая минутка» в начале урока, использование различного оформления заданий)
4. Приёмы контроля, самоконтроля, самообучения: фронтальный опрос; индивидуальный опрос; самостоятельная работа; невербальный приём – наблюдение учителя. Приёмы самоконтроля: самопроверка по «всплывающим» ответам; приём самообучения – индивидуальная тестовая работа за компьютером).
5. Приемы управления в учебном процессе межличностными отношениями:

           Приём личностной значимости: «Что на уроке вам понравились?»

           Приём высказывания оценочных суждений – «Что вы приобрели    необходимого для подготовки к ЕГЭ?»

Учитывая требования к современному уроку, были использованы следующие технологии:

• Использования  информационных технологий (мультимедийная презентация заданий, компьютерное тестирование).
• Технология проблемного обучения (постановка проблемных вопросов).
• Технология развития критического мышления.
• Технология дифференцированного обучения.
• Здоровьесберегающие технологии (соблюдение гигиенических норм посадки; 2 паузы - «психологическая минутка»,  «физкультминутка» - упражнение на релаксацию мышц лица и зарядка для глаз).

В течение урока, на основных этапах проводится подведение итогов в форме опроса: «Что мы вспомнили об уравнениях?», «Какие способы решения уравнений применяли?».

Особое внимание уделяется этапу рефлексии: «Вспомните все моменты нашего урока и расскажите, что вам пригодилось при выполнении теста?»

Продуктивность урока оцениваем совместно с обучающимися и автоматизировано (оценки выставляются в Интернет журнале).

УРОК

 «Решение  уравнений различными способами»

Ход урока:

1. Организационный момент

• Приветствие. Мотивация (психологическая минутка).

 Разрешите начать урок, девизом которого могут стать строки:

Порой задача не решается,

Но это, в общем, не беда.

Ведь солнце всё же улыбается!…

А чтобы не было проблем,

Друзья тебе всегда помогут,

Они с тобой, ты не один.

Поверь в себя, и ты всё сможешь,

Идем вперёд - и победим.

• Проверка отсутствующих и готовность обучающихся  к уроку.

2. Сообщение темы и цели урока

Цели урока: Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

Задачи:

1. Образовательная

• Обобщение и систематизация знаний обучающихся по решению уравнений различными способами на основе знания основных способов решения алгебраических уравнений из курса алгебры.

• Создание условий для осознанной подготовки к ЕГЭ.
• Формирование навыков самоконтроля, алгоритмической и компьютерной культуры обучающихся.

2. Развивающая

• Развитие устной математической речи, внимания.
• Обеспечение условий для развития умений решать  уравнения.
• Совершенствовать мыслительные умения старшеклассников (сравнивать, анализировать, обобщать и  навыки обработки информации).

3. Воспитательная

• Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников.
• Воспитание уверенности в собственных силах.

3. Актуализация опорных знаний (устный фронтальный опрос)

1. Из предложенных выражений выберите те, которые являются уравнениями (приём «узнай по описанию»).

1. 3x4 - 2x3 + 5x2 + 8 = 8;
2. (2x3 - 4x2 + 7x)3 – х = (7х)х - 3;
3. (x-3)/(7x2 - x+1) = 0;
4. 452 - 352 = 800;
5. f(x) = 3х – 1;
6. (x3+7x)(4x2-2) = 0;

(1; 2; 3; 6)

2. Сколько и какие  уравнения имеют корень 2?  

1. 3х 3 + 5х – 34 = 0;
2. 3х 5 + 6х 2 – 9х + 2 = 0;
3. х 12 +21х 2 = 4181;
4. 3х 4 – 25х + 2 = 0.

(два; первое и четвертое)

3. Вспомните, что значит решить уравнение?

     Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет.

4. Сколько корней может иметь уравнение?

 В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Устный счет.  Решите уравнение:     (-2;  0,5;  -4 и 4;  -8; нет корней;  0).

4. Обобщение (беседа; приём вызова с опорой на личный опыт и знания)

 Виды уравнений (которые будут рассмотрены)

Целое уравнение:

1) линейное уравнение;

2) квадратное уравнение;

3) уравнение n – й степени.

 Дробное рациональное уравнение.

ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ:

1) Уравнение первой степени

1. Какое уравнение называется линейным?

Уравнение вида ax = b, где x - неизвестное, a и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным.

2. Сколько корней имеет линейное уравнение?

     1. Если a не равно нулю, то уравнение имеет единственный        корень  x = - b/a.
2. Если а = 0, b не равно нулю, то уравнение не имеет корней.
3. Если a = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней, то есть корнем уравнения является любое действительное число.

     Например:
1.   5x -10 = 0; x = 2 - корень уравнения.
2.   0x + 4 = 0, уравнение не имеет корней.
3.  0x + 0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней, x - любое действительное число.

     ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (историческая справка)

   Великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (x, y или z) мы обязаны его соотечественнику – Рене Декарту.

 2) Квадратное уравнение

1. Какое уравнение называется квадратным?

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 называется квадратным уравнением стандартного вида, где a, b, c – действительные числа и a ≠ 0 . Если   a = 1,  то квадратное уравнение называют приведённым.

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение?        

Решение:                  D = b2 – 4ac,            тогда

1) D > 0                   2) D = 0                         3)   D < 0

Х1,2 =                          Х1,2 = - в / 2а                действительных

                              корни совпадают        корней нет

3. Уравнение высшей степени

1. Какое уравнение называется рациональным целым уравнением?

Уравнение вида P(x)=0, где Р(х) -  многочлен n – й степени называют рациональным целым уравнением.

2. Какие основные способы решения рациональных уравнений вы знаете?

       При решении рациональных уравнений в основном используются следующие способы:

1. Разложение на множители;

2. Графический метод,

3. Введение новых переменных.

ПОВТОРИМ ЭТИ СПОСОБЫ:

1. Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители.

Решите уравнение:  (индивидуальная работа в рабочих тетрадях, с последующим  обсуждением решений; метод критического мышления).                           

• Как называется способ, с помощью которого можно разложить левую часть уравнения на множители?

Разложить левую часть уравнения на множители можно способом «группировки».

• Когда произведение множителей равно 0?

Когда любой из множителей равен нулю, а другие множители имеют смысл.

• Сколько корней имеет данное уравнение?

Уравнение имеет три корня. Это числа 0,5; -2 и 2.

• Как вы думаете, может ли уравнение третьей степени иметь 1, 2, 4, 5 корней или ни одного корня?

Уравнение 3-й степени могут иметь не более трёх корней.

Найдите корни уравнения и назовите степень уравнения: (фронтальный устный опрос)

1)

2)

3)

4)

5)

       1) 5; -1; 2;    2) 0; -2 и 2;    3) -3;    4) 2; 1;    5) -1; -5 и 5.

2. Другой  способ решения уравнений – графический.

Соотнесите график с формулой:

(фронтальный устный опрос; приём «Узнай по иллюстрации»)  

Первый график - g(x). Второй график – q(x). Третий график – f(x). Четвертый график – p(x).

;   ;

;   .

2. Еще один способ решения уравнений - способ введение новой переменной.

Решите уравнение:  (индивидуальная работа в рабочих тетрадях, с

последующим  обсуждением решений; метод критического мышления).      

1. Какое выражение обозначили новой переменной? У = (х2 + х)

• Введем новую переменную:
• Получим уравнение:

   2. Какое новое уравнение получили?

• Решим данное уравнение:

Найдем переменную x:

Ответ: x = - 2;  х = 1

ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Какие уравнения называются дробными рациональными уравнениями?

Уравнение вида P(x)/Q(x)=0, где Р(х), Q(x) -многочлены называют дробными рациональными уравнениями.

2. Как можно решать такие уравнения?

            Решение дробного рационального уравнения можно разбить на два этапа:

1. Решить уравнение Р(х) = 0.

2. Проверить условие: Q (х) ≠ 0.

      То есть решение таких уравнений сводиться к решению целых уравнений, при этом исключают из решения те корни, которые обращают в нуль знаменатель уравнения.

Физкультминутка (упражнения на релаксацию мышц лица и глаз).

1) Закройте глаза. Поморгайте сомкнутыми веками.

Зажмуривание глаз на 3-5 секунд и легкое быстрое моргание улучшают кровообращение. 

2) В положении сидя при неподвижной голове медленно перевести взгляд с пола на потолок и обратно, затем справа налево и обратно (повторить 10-12 раз).

3) Круговые движения глазами в одном и другом направлении (повторить 4-6 раз) - это упражнение выполняется при открытых и закрытых глазах.

Такие упражнения служат тренировкой мышц глаз.

4) Закрыть глаза и тихонько посидеть 30 секунд, думая о чём-то хорошем и приятном.

5. Контроль

Давайте подведём промежуточные итоги:

1. Какие виды уравнений мы повторили? 
2. Какие основные способы решения уравнений применяли?

Решение многих уравнений сводится к решению либо целых рациональных уравнений, либо к решению дробных рациональных уравнений.

Проверочная тестовая работа (работа за  компьютером, с автоматизированной проверкой)

     Выполните проверочную работу, в которой вам необходимо будет решить уравнения и применить знания в новой ситуации (работа у каждого обучающегося индивидуальная, с двух уровневой дифференциацией).

1) Целое рациональное;

2) Дробное рациональное;

3) Уравнение, содержащее переменную под знаком модуля;

4) Иррациональное уравнение.

Примечание. При выполнении работы обязательно проверяем корни уравнений 2); 3); 4).

Для выполнения проверочной тестовой работы необходимо:

(см. приложение  «Подготовка к тестированию»).

6. Рефлексия

 Мы с вами сделали обобщение по теме: «Решение уравнений различными способами» и выполнили проверочную работу.

Вспомните все моменты нашего урока и расскажите, что вам пригодилось при выполнении теста?

7. Итоги урока 

1. При решении многих уравнений необходимо помнить основные виды уравнений и способы их решения.

2. При выборе решения не надо противопоставлять  графические и аналитические  способы решения.

3. Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание. Тогда на экзаменах не будет случаев, когда с помощью головоломных вычислений решается простая задача.  

 Оценки за урок будут выставлены в Интернет – журнал и в обычный журнал.

Домашнее задание: дома выполните №1518; №1523; 1526; №1527.

 Сборник: С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа.

Спасибо всем за урок!

Список литературы:

1. А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В двух частя. Часть 2.  Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). Под редакцией А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2009
3. С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. 10-11 класс. –  М.: Просвещение, 2001.
4. Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова. Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс. Тематические тесты и зачеты. –  М.: Мнемозина, 2006.
5. Л. А. Домогацких. Алгебра – это просто! Пособие для школьников и абитуриентов. В двух частях. – М.: ООО ТИД Русское слово – РС, 2008.
6. Л. И. Горохова, Г. И. Григорьева, Н. А. Догадова и др. Уроки математики с применением информационных технологий. Методическое пособие с электронным приложением. – М.: Глобус, 2009.
7. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.  Алгебра и начала анализа 10,11 класс профильный уровень. Методическое пособие для учителя. –  М.: Мнемозина, 2008.

Для обеспечения плодотворного учебного процесса использовались информация и материалы следующих Интернет – ресурсов:

1. Сайт учителя математики: http://www.uztest.ru/
2. Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое:      http://teacher.fio.ru
3. Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/ 

Прохождение тестирования

На сайте http://www.uztest.ru/ Руководитель сайта - учитель математики высшей категории, кандидат педагогических наук, обладатель премии Президента - Ким Наталья Анатольевна.

 С чего начать работу?  Прочитайте все разделы инструкции. Если будет что-то непонятно, не волнуйтесь, разберетесь по ходу работы:

1. Зайти в Интернет на указанный сайт.
2. Набрать свой Логин и Пароль.
3. Зайти в кабинет и выбрать нужную работу.
4. Внимательно прочитать задание.
5. Выполнять задания в любом удобном порядке.
6. Соотнести полученный результат с предложенными вариантами ответов.
7. Выбрать тот вариант, который соответствует вашему ответу, и отметить его.
8. По завершению всей работы сохранить решение.
9. Сообщить об окончании тестирования учителю.
10. Если возникнут вопросы, обратиться к учителю.

               Фамилия Имя                          Логин             Пароль

1. Беликова Кристина                         belik314        *******

Прохождение тестирования

На сайте http://www.uztest.ru/ Руководитель сайта - учитель математики высшей категории, кандидат педагогических наук, обладатель премии Президента - Ким Наталья Анатольевна.

 С чего начать работу?  Прочитайте все разделы инструкции. Если будет что-то непонятно, не волнуйтесь, разберетесь по ходу работы:

1. Зайти в Интернет на указанный сайт.
2. Набрать свой Логин и Пароль.
3. Зайти в кабинет и выбрать нужную работу.
4. Внимательно прочитать задание.
5. Выполнять задания в любом удобном порядке.
6. Соотнести полученный результат с предложенными вариантами ответов.
7. Выбрать тот вариант, который соответствует вашему ответу, и отметить его.
8. По завершению всей работы сохранить решение.
9. Сообщить об окончании тестирования учителю.
10. Если возникнут вопросы, обратиться к учителю.

               Фамилия Имя                          Логин             Пароль

2. Воробьёв Саша                        vorob399        *******