контрольные работы
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

Экзаменационная работа по математике в 9 классе

Вариант 1.

Часть 1.

1. Сократите дробь .
2. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола   и прямая . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
3. Решите систему неравенств  
4. Решить систему уравнений .
5. В треугольнике АВС 450, =1050, наименьшая сторона равна 14 см. Чему равна средняя сторона треугольника?

Часть 2.

6. Сколько решений имеет система уравнений
7. Решить задачу.     60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если при совместной работе они изготавливают за 1 час 30 деталей?
8. Решить систему уравнений .
9. Исследовать функцию на четность, построить ее график                        

 . Укажите промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения функции.

10.  Найдите все значения параметра а, при которых уравнение            

    не имеет корней.

11. Найти область определения функции

Экзаменационная работа по математике в 9 классе

Вариант 2.

Часть 1

1. Сократите дробь .
2. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола   и прямая . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
3. Решите систему неравенств  
4. Решить систему уравнений .
5. В треугольнике АВС даны стороны АВ=6см, ВС =3см, =450. Чему равна третья сторона треугольника?

Часть 2.

6. Сколько решений имеет система уравнений
7. Решить задачу. 30 страниц одна машинистка печатает на 1,5 часа быстрее, чем вторая. За сколько времени вторая машинистка напечатает 60 страниц, если, работая вместе, они печатают 30 страниц за 1 час?
8. Решить систему уравнений .

9.Исследовать функцию на четность, построить ее график . Укажите промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения функции.

10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение            

    имеет два корня.

11. Найти область определения функции

I.Свойства биссектрисы треугольника

 Свойство 1: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

                                                                                                           B

                                                                                                                                  D

A                                                  C                                                                    

=

                  Доказательство:                                           

           Свойство 2: в произвольном треугольнике имеет место зависимость

                                                                     = AC*AB – CD*DB

               Доказательство:

Задачи на свойства биссектрис в треугольнике:

Задача 1. В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, соответственно равны 12 см и 8 см. найти длину третьей стороны треугольника.

Задача 2. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DC, если АВ=30, АD=20, BD=16 иBDC =С.

Задача 3. Отрезок AD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите BD и DC, если АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.

Задача 4. Биссектриса треугольника AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 СМ И 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

Задача 5. В треугольнике MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, E и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и MK. Найдите отрезки NE и EK, если MN=7 см, NK=6см, МК=5 см.

 Формула медианы через стороны выводится  достроением  до параллелограмма  и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей:

, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника.

Выведение формулы:

Задачи:

Задача 1. В треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите BL,если AL-высота треугольника и АВ=1 см, АС= см, AD=2 см.

Задача 2. В треугольнике MNP проведена медиана MD. Найдите ее длину, если MN=1, MP= и cosMNP=.

Задача 3.Основание равнобедренного треугольника равно, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5. Найдите длину боковой стороны.

Задача 4. Треугольник АВС- прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса BL и медиана СМ пересекаются в точке K. Найдите отношение  , если известно, что  =.

Для треугольника АВС его стороны АВ=5, ВС=8,5, АС=10,5. Найдите расстояние от центра описанной окружности до стороны АС.

Дан равнобедренный треугольник АВС со сторонами АВ=5, АС=5, ВС=8. В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Найдите радиус окружности, вписанной в угол А и проходящей через центр О.

Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M  и N так, что BM : MN=3:5. Найдите ВС, если АВ=12.

Дан треугольник с периметром 30. В этот треугольник вписана окружность. К окружности проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной, образованный точками пересечения этой касательной с боковыми сторонами треугольника, равен 3,6. Найдите основание треугольника.

Дана окружность Р с центром в точке О радиуса 5. Луч, выходящий из центра О пересекает эту окружность в точке Р. На этом луче выбирается точка А на расстоянии 3 от окружности Р. Найдите радиус окружности , которая касается луча ОА в точке А и окружности Р.

Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса длит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника.

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С- прямой) АВ=20 см, АС=16 см, АК- биссектриса. Найдите ВС, ВК, КС.

Биссектриса острого угла в прямоугольном треугольнике делит противолежащий катет на части, которые относятся, как 2:. Найти этот острый угол.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD угла ВАС и CF угла АВС ( точка D лежит на стороне ВС, а точка F- на стороне АВ). Найти отношение площадей треугольников АВС и AFD, если известно, что АВ=21, АС=28, ВС=20.

Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см.

В треугольнике АВС даны стороны ВС= a, АС= b и АВ= с. Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.

В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ прямого угла В делится центром вписанной окружности в отношении ВО: ОЕ =: Найти острые углы треугольника.

Биссектриса угла N треугольника MNP делит сторону MP на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Определить периметр треугольника MNP, если MN- NP = 18.

Построить треугольник так, чтобы прямые а, b и с, пересекающиеся в одной точке, были его биссектрисами.

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстоянии 2 и 2 см от концов гипотенузы. Найти катеты этого треугольника.

В треугольнике АВС биссектрисы углов В и С пересекаются в точке Е. Площадь круга, описанного около треугольника ВСЕ, равна q. Найти площадь круга, описанного около треугольника АВС, если сторона ВС равна  d.

В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=ВС) сторона АС видна из центра вписанной окружности под углом  x. Найти площадь треугольника, если расстояние от центра вписанной окружности до вершины В равно d.

Контрольная работа по геометрии по теме

   «Перпендикулярность в пространстве».

Вариант1.

№1. В одном полупространстве от плоскости α проведены к ней два перпендикуляра АС и ВК. Расстояние между точками С и К, принадлежащими α, равно 12 см. Чему равно расстояние между точками А и В, если АС=5 см, ВК=9см?

№2. КА - перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Известно, что КВ┴ВС.

а) Докажите, что тр-к АВС – прямоугольный.

б) Найти КА, если АС=13см,ВС=5см,<КВА=45°.

№3. Точка Р удалена от каждой из сторон правильного треугольника АВС на√39см. Найти угол между прямой РА и плоскостью АВС, если АВ=6см.

№4. Прямые АА1 и ВВ1 – перпендикуляры к ребру АВ двугранного угла, принадлежащие разным граням угла. Докажите, что если             АА1 ┴ ВВ1, то данный двугранный угол – прямой.

№5. Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60°. НО- перпендикуляр к плоскости АВС.

а) Докажите, что точка Н равноудалена от сторон угла АВС.

б) Пусть НА и НС- расстояния от точки Н до сторон угла. Докажите перпендикулярность плоскостей НАС и НОВ.

в) Найдите НВ, если АС=6см,НО=4см.

№6. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр, равный 20 см, и две наклонные, которые составляют с плоскостью углы 30° и 45°. На сколько проекция одной из наклонных длиннее проекции другой?

Контрольная работа по геометрии по теме

   «Перпендикулярность в пространстве».

Вариант2.

№1.Черз вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АМ, перпендикулярная плоскости треугольника.

 Чему равно расстояние от точки М до вершины С, если АС=6см, АМ=8см?

№2. . КА - перпендикуляр к плоскости параллелограмма АВСD. Известно, что КD┴DС.

а) Докажите, что АВСD – прямоугольник.

б) Найти АС, если АК=8см, КD=10cм,<САD=60°.

№3. Точка Р удалена от каждой из вершин правильного треугольника АВС на√13см. Найдите двугранный угол РАВС, если АВ=6см.

№4. Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 90°.  Прямые АА1 и ВВ1 принадлежат разным граням двугранного угла и перпендикулярны к прямой АВ. Докажите, что АА1 ┴ ВВ1.

№5.РО- перпендикуляр к плоскости угла АВС, равного 120°, причем точка О лежит внутри угла, а точка Р равноудалена от его сторон.

а) Докажите, что РО – биссектриса угла АВС.

б) Пусть РА и РС – расстояния от точки Р до сторон угла. Докажите перпендикулярность плоскостей РОВ и РАС.

в) Найдите РО, если АС=6см,РВ=8см.

№6. . Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр, равный 12 см, и две наклонные. Найдите длины их проекций на данную плоскость, если угол между плоскостью и каждой наклонной равен соответственно 45° и 60°.

Контрольная работа по алгебре в 8 классе за 1 полугодие

 Вариант 1.

Часть 1.

№1. Сократите дробь:              .

№2. Выполните действие:       .

№3. Представить в виде дроби:        .

№4. Используя свойства корня, найдите значения выражений:

а)  ;             б)    ;              в)    ;            г) .

№5. Сравните значения выражений:

а)     ;                                б)    .

№6. Упростите выражения:

а)    ;                б)    ;  

в)     ;                        .

№7. Решите графически уравнение:    ─ х2 = 2х – 3 .

Часть 2.

№8.  Упростите выражение:     а)   .   

№9.   Упростите выражение:    .

№10. Решите задачу:      

               Автомобиль проезжает 75 км на 45 мин быстрее, чем велосипедист 30 км. Найти скорость каждого участника движения, если скорость автомобиля в 4 раза больше  скорости велосипедиста.

Контрольная работа по алгебре в 8 классе за 1 полугодие

 Вариант 2.

Часть 1.

№1. Сократите дробь:              .

№2. Выполните действие:       .

№3. Представить в виде дроби:        .

№4. Используя свойства корня, найдите значения выражений:

а)  ;             б)    ;              в)    ;            г) .

№5. Сравните значения выражений:

а)     ;                                б)    .

№6. Упростите выражения:

а)    ;                б)    ;  

в)     ;                        .

№7. Решите графически уравнение:      = 3 – 2x .

Часть 2.

№8.  Упростите выражение:     а)   .     

№9.   Упростите выражение:    .

№10. Решите задачу:      

               Самолет с реактивным двигателем пролетает 500 км на 8 мин быстрее, чем самолет с поршневым двигателем пролетает 200 км. Найти скорость самолета с поршневым двигателем, если скорость реактивного самолета в 3 раза больше скорости самолета с поршневым двигателем.

          Итоговая контрольная работа по математике для 8 класса.

Вариант 1.

Часть 1.

№1. Выполнить действия: а)           б)        в)  .

№2. Расположите следующие числа в порядке возрастания   .

№3. Упростите выражение  .

№4. Решите неравенство .

№5. Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

1. Х2 – 7Х + 12=0                  2)      6 Х2 – 7Х + 1=0                    3)  Х2 + Х – 20=0

А)  х1= - 5; х2= 4             Б)  х1= 1 ; х2=             В)  х1= 3; х2= 4

№6. Расстояние между пунктами А и В по реке равно 2 км. На путь из А в В и обратно лодка затратила  часа. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1км/ч? Обозначив собственную скорость х можно составить уравнение:

1. 2(х – 1)+2(х +1) =                  3)  
2.                      4)   

№7. Решите неравенство     8 – 2х – х20 и укажите наименьшее значение х, удовлетворяющее решению неравенства.

Часть 2.

№8. Найти координаты точек пересечения графиков функций у=6 – 5х – х2 и у=5х+6.

№9. Решите уравнение    .

№10. Сколько решений имеет система уравнений :  .

№11. Упростите выражение:  .

№12. Вычислить .

№13.При каких значениях х имеет смысл выражение

№14.При каких значениях параметра а уравнение (а+1) х2 + ах – 1=0 имеет единственный корень?

          Итоговая контрольная работа по математике для 8 класса.

Вариант 2.

Часть 1.

№1. Выполнить действия: а)             б)           в)  .

№2. Расположите следующие числа в порядке убывания   .

№3. Упростите выражение.

№4. Решите неравенство .

№5. Не решая уравнение, определите, сколько оно имеет корней. Соотнесите уравнение с ответами.

1. 2Х2 + 3Х + 5=0                  2)      Х2 – 7Х + 8=0                    3)  4Х2 + 4Х +1=0

А)  нет корней             Б)  два корня            В)  один корень

№6. Расстояние между пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а против течения реки за 3 часа. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки 5 км/ч?  Обозначив скорость катера буквой х , можно составить уравнение:

1.               2)    2(х +5)=3(х – 5)         3) 3(х + 5)=2(х – 5)    4)  

№7. Решите неравенство     10х – 16  – х20 и укажите наибольшее значение х, удовлетворяющее решению неравенства.

Часть 2.

№8. Найти координаты точек пересечения графиков функций у=х2- 4х – 5  и у=2х – 5.

№9. Решите уравнение    .

№10. Сколько решений имеет система уравнений :  .

№11. Упростите выражение:  .

№12. Вычислить .

№13.При каких значениях х имеет смысл выражение

№14.При каких значениях параметра а абсцисса вершины параболы у=(х – 5а)2 – а2 + а + 12 отрицательна, а ордината положительна.

Контрольная работа №3

Вариант II

№1. Какая из парабол  не проходит через начало координат? Постройте эту параболу.

№2. Графиком, какой из функций:  или , является гипербола? Постройте эту гиперболу.

№3. Найдите число решений системы уравнений

№4. Решите уравнение  графическим способом и методом выделения полного квадрата.

№5. При каких значениях   уравнение   имеет два корня?

№6. Известно, что график функции  проходит через точки

 P (-3; -5) и О( 4; -8). Найдите коэффициенты p и q.

№7.  Не выполняя построения графика, найдите значение x, при котором функция   принимает наибольшее значение, и найдите это значение.

Контрольная работа №3

Вариант I

№1. Какая из парабол  проходит через начало координат? Постройте эту параболу.

№2. Графиком, какой из функций  или   является гиперболой? Постройте эту гиперболу.

№3. Найдите число решений системы уравнений

№4. Решите уравнение  графическим способом и методом выделения полного квадрата.

№5. При каких значениях   уравнение   не имеет корней?

№6. Известно, что график функции  проходит через точки  А (2; -5) и В( -1; 16). Найдите коэффициенты p и q.

№7.  Не выполняя построения графика, найдите значение x, при котором функция   принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Контрольная работа по алгебре по теме «Дробно-рациональные уравнения.Теорема Виета»

1 Вариант .                                                                                                                                2 Вариант.

№1. Сократить дроби:

                          .                                                                                         .

№2.Решить уравнения:

а)     ;                                                                        а)   ;

б) .                                                                      б)  .

№3. Решить задачу.

Швея получила заказ сшить 60 сумок к определен –                   Токарь должен был обработать 80 деталей к определенному

ному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше,                   сроку. Он обрабатывал в час на 2 детали больше, чем

чем планировала, поэтому уже за 4 дня до срока ей              планировал, и уже за час до срока обработал на 4 детали

осталось сшить 4 сумки. Сколько сумок в день шила              больше.

швея?                                                                                                     Сколько деталей в час обрабатывал токарь?

№4. Пусть х1 и х2 корни уравнения 2х2 – 9х – 12=0. Найти:

Х13х2 + х1х23                                                                                                       х13 + х23

№5. Дано уравнение

Х2+(р2 +3р – 11)х +6р=0                                                                                  х2 +(4р – 1)х +(р2 – р +8)=0

Известно, что сумма корней равна 1.                                 Известно, что произведение его корней равно 10.

                                                              Найти р и корни уравнения.  

Контрольная работа по алгебре по теме «Арифметический квадратный корень»

Вариант 3.

№1.Вычислить.

а)    ;       б)          в)    ;   г)     ;  

    д)     , где  n є  N

№2.Упростить выражение:

а)   , если b<0;        б)     ;  

в)  .

№3. Расположить числа в порядке убывания:

.

№4. Вычислить:

 .

 №5. Выполнить действия:  

№6. Выясните, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом:

Контрольная работа по алгебре по теме «Арифметический квадратный корень»

Вариант 2.

№1.Вычислить.

а)    ;       б)          в)    ;          г)     ;  

    д)     , где  n є  N

№2.Упростить выражение:

а)   , если а<0;           б)     ;  

в)  .

№3. Расположить числа в порядке возрастания:

.

№4. Вычислить:

 .

 №5. Выполнить действия:  

№6. Выясните, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом: