Работа учителя математики на уроке по подготовке к олимпиадам
презентация к уроку по алгебре на тему

Слайд 1

Работа учителя математики на уроке по подготовке к олимпиадам

Слайд 2

При изучении темы «Объемы тел» (11 класс) можно предложить учащимся следующую задачу: «Найдите объем пирамиды, у которой все боковые ребра образуют между собой углы по 90 ˚ , а сами ребра имеют длины соответственно 6, 8, 10 см».

Слайд 3

Олимпиадная задача по математике- задача повышенной трудности, нестандартная по формулировке или по методам решения.

Слайд 4

При изучении темы «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел» можно предложить учащимся следующую задачу: Вычислите: а) 90+89+88+ … +1+0-1-2- … -90-91-92-93; б) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 2012 - 2013.

Слайд 5

При изучении темы «Степень с натуральным показателем» можно предложить для решения учащимся следующие типы задач: а) Сравните: 65 23 и 255 17 . б) На какую цифру оканчивается число 2007 2014 ?

Слайд 6

Решение. а) 65 23 > 64 23 = (2 6 ) 23 = 2 138 . А 255 17 < 256 17 = (2 8 ) 17 = (2 136 ). Так как 65 23 > 2 138 , 2 138 > 2 136 , а 2 136 > 255 17 , то 65 23 > 255 17 .

Слайд 7

б) Так как последняя цифра числа 2007 2014 определяется последней цифрой числа 72014, то найдем значения степеней 7 1 , 7 2 , 7 3 , 7 4 , 7 5 и т. д. и заметим закономерность: последней цифрой являются 7, 9, 3, 1, а далее они повторяются. Так как 2014 = 503∙4+2, то 7 2014 оканчивается той же цифрой, что и 72, то есть цифрой 9. Тогда и число 2007 2014 оканчивается на цифру 9.

Слайд 8

При изучении темы «Алгебраические дроби» можно решить следующую задачу: «Вычислите сумму:

Слайд 9

Решение. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на x , а третьей — на xy . Учитывая, что xyz = 1, получим у всех дробей одинаковые знаменатели. Сложим данные три дроби, в итоге получим дробь, у которой числитель и знаменатель равны одному и тому же выражению 1 + x + xy . А значит, искомая сумма равна 1.

Слайд 10

При изучении темы «Квадратные уравнения» можно решить следующую задачу: «Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 2014? А 2016?»

Слайд 11

Решение. У квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c ϵ Z , дискриминант D = b 2 - 4 ac . Так как D = 2014, то найдем целые решения уравнения b 2 - 4 ac = 2014. Так как правая часть уравнения делится на 2, то и левая часть должна делиться на 2, поэтому b = 2 k , тогда 4 k 2 - 4 ac = 2014. Разделив обе части уравнения на 2, получим: 2 k 2 - 2 ac = 1007. В левой части уравнения получилось четное число, а в правой — число нечетное. Поэтому уравнение решений в целых числах не имеет. Для числа 2016 имеем b 2 - 4 ac = 2016, а так как b = 2 k , то получим: 4 k 2 - 4 ac = 2016. Разделив на 4 обе части уравнения, получим: k 2 - ac = 504. Данное уравнение имеет решения в целых числах, например: a =1, c = 25, k = 23. Тогда уравнение x 2 + 46 x + 25 = 0 Имеет дискриминант D = 2116 4 1 25 = 2016.

Слайд 12

При изучении арифметической прогрессии можно рассмотреть задачу: «Докажите, что если в бесконечную арифметическую прогрессию с положительной разностью входят числа 25, 43, 70 (не обязательно стоящие рядом), то в эту прогрессию входит и число 2005».

Слайд 13

Решение. Так как 25, 43, 70 — члены арифметической прогрессии, то 25 = a 1 + kd ; 43= a 1 + nd ; 70= a 1 + md . Из данных трех равенств следует, что 18 = ( n - k ) d , 27=( m - n ) d . Из данных двух равенств получаем: 9=( m -2 n + k ) d . Так как 2005 = 70 + 1935, а 1935 = 215 ∙ 9 = 215( m - 2 n + k ) d , то 2005 = 70 + 215( m - 2 n + k ) d = = a 1 + md + 215( m - 2 n + k ) d = = a 1 + (216 m - 430 n +215 k ) d или 2005 = a 1 + ld , где l > 0.

Слайд 14

Решение текстовых задач а) Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта A в пункт B . Проехав треть пути, велосипедист остановился и тронулся дальше лишь тогда, когда мотоциклисту оставалось проехать треть пути до B . Мотоциклист, доехав до B , без остановки поехал обратно в A . Кто приедет раньше: мотоциклист в A или велосипедист в B , если велосипедист после первой остановки больше в пути не останавливался? Решение. Так как велосипедист стоял, дожидаясь, пока мотоциклисту останется проехать треть пути до B , то на треть всего своего пути велосипедист затратил времени меньше, чем мотоциклист на треть своего ( AB от 2 AB составляют ). Значит, и на весь путь велосипедист затратит времени меньше.

Слайд 15

б) Одну овцу лев съел за 2 дня, волк — за 3 дня, собака — за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу? Решение. 1) Так как лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел овцы. 2) Так как волк съел овцу за 3 дня, то за 1 день он съел овцы. 3) Так как собака съела овцу за 6 дней, то за 1 день она съела овцы. 4) Вместе лев, волк и собака за 1 день съедят , то есть 1 овцу.

Слайд 16

Старинная задача. «Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? — Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть три женщины». Решение. Обозначив число учеников Пифагора за x , получим, что x изучает математику, x — музыку, а x пребывает в молчании. Так как, кроме того, есть еще 3 женщины, то получаем уравнение: Решением данного уравнения будет x = 28. Следовательно, школу Пифагора посещают 28 учеников.

Слайд 17

При изучении геометрических построений можно предложить задачи на построение углов заданной градусной меры через известный угол. Например: «Построить угол в 5˚, если дан угол в 34˚». Решение. Если отложить 5 раз угол, равный 34˚, то получится угол, равный 170˚. Так как разность развернутого угла и угла, равного 170 ˚ будет равна 10 ˚, то разделим угол в 10 ˚ на 2 равных угла и получим угол в 5 ˚.

Слайд 18

Задача с использованием дополнительного построения Рассмотрим такую задачу: «Дан параллелограмм ABCD . K — середина стороны BC , M — середина стороны CD , AK = 6 см, AM = 3 см,  KAM = 60 ˚ . Найдите длину стороны AD . Ответ обоснуйте».

Слайд 20

Решение. Задача имеет множество решений. Рассмотрим наиболее оригинальное. Проведем в трапеции AKCD среднюю линию ML . Она будет параллельна AD и KC , причем AL = 3 см. Получается, что треугольник ALM – равнобедренный с углом при вершине 60˚, поэтому он равносторонний, поэтому LM = 3 см. Обозначим AD = 2 x , тогда KC = x . А тогда, используя свойство средней линии трапеции, имеем: , откуда x = 2, а значит, AD = 4 см.