Методические рекомендации для обучающихся

по изучению темы «Применение производной к исследованию функции»

Методические рекомендации содержат  правила применения, примеры с подробным решением.

При изучении темы «Применение производной к исследованию функции»

рассматривается:

1. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума;

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции;

3. Применение производной к построению графиков функций.

Рассмотрим  определения, правила применения, примеры с подробным решением.

1. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума

Определение: Точка х0 называется точкой  максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) > f(x).

Определение: Точка х0 называется точкой  минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) < f(x). 
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума  функции. 

 Точки, в которых производная равна  нулю или не существует называются  критическими точками.

Справедлива теоремы.

Теорема: Если х0 – точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю, т.е. f ’(x) = 0.

Теорема:

Если в окрестности критической точки f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

Правило нахождения экстремумов функции y = f(x) с помощью производной

1. Найти производную функции f ’(x).
2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная равна  нулю или не существует.
3. Исследовать знак  производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x).

Если на промежутке f ’(x) < 0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f ’(x) > 0, то на этом промежутке функция возрастает.

4. Если в окрестности критической точки f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
5. Определить точки минимума и максимума и записать ответ.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

ПРИМЕР:

 Найти промежутки возрастания и убывания; точки экстремума функции: f (x) = x3 – 3x2. 
Решение:

Найдем  производную функции:  f ’(x) = 3x2 – 6x. 
Найдем критические точки , решив уравнение 3x2 – 6x =0;

 3x(x-2) =0

x = 0,  x = 2

Исследуем поведение  производной в критических точках и на промежутках между ними.

Ответ: Функция возрастает при   
            функция убывает при  
            точка минимума функции х = 2; точка максимума функции х = 0.

2. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b].

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] 
3.  Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции 

           на отрезке [1;4];

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2. Эта стационарная точка попадает в отрезок [1;4].

 Вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4:

Следовательно, наибольшее значение функции     , а          наименьшее значение     

3. Применение производной к построению графиков функции

 При исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

 Пример:  Построить график функции

Решение.

1. Областью определения функции является  все действительные числа
2. Найдём производную функции 
3.  Найдём критические точки, в которых производная равна нулю.    
           Это точки     х = 0, х = 2, х = 1    

4) Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на интервалах.

   Таким образом:          - точка минимума;          - точка максимума;         - точка минимума.

.

   5) Строим график на основании проделанного исследования

Методические рекомендации подготовлены преподавателем математики Коротковой Н.Н.