Понятие действительного числа
консультация по алгебре (10 класс) на тему

1. Понятие действительного числа

Первыми числами с которыми вы познакомились в школе, - это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6…..

Затем вы изучали целые числа. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа «нуль»: ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….

И наконец, вы узнали, что такое рациональные числа. Число называют рациональным, если его можно записать в виде дроби, где p  – целое число, а q – натуральное. Каждое рациональное число может быть разложено в бесконечную десятичную периодическую дробь (для нахождения этого разложения можно разделить уголком числитель дроби p на ее знаменатель q ). Таким образом, рациональные числа имеют два представления (две формы записи) – одно в виде дроби, а другое в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, которые называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа составляют множество всех действительных чисел. Таким образом, действительное число-это число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное, то дробь непериодическая.

Формально конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби двумя способами, например:

2,4=2,4000…=2,4(0)

2,4=2,3999…=2,3(9)

2. Множества чисел.

Напомним обозначения  некоторых множеств чисел, которые вам часто придется рассматривать:

N - множество всех натуральных чисел

Z - множество всех целых чисел

Q - множество всех рациональных чисел

R - множество всех действительных чисел

R- множество всех положительных действительных чисел

[а;в] - отрезок – множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х ≤ в . Точки а и в называются концами отрезка и принадлежат этому отрезку.

(а;в) – интервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а < х < в .

[а;в) – полуинтервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х < в

(а;в] - полуинтервал - множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а < х ≤ в

Множество не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают знакомØ.

Тот факт, число принадлежит или не принадлежит множеству чисел, записывают с помощью определенных знаков:- принадлежит, - не принадлежит.

Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Обозначают А U В.

Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству В. Обозначается А В.

Если любой элемент множества А является  элементом множества В, то А называют подмножеством множества В. Пишут АВ и говорят «А – подмножество В».

3. Свойства действительных чисел

Действительные числа обладают следующими свойствами:

1. Свойства сложения и вычитания

1. а + в = в + а (переместительное свойство сложения)
2. (а + в) + с = а + ( в + с)  (сочетательное свойство сложения)
3. а + 0 = а
4. а + (-а) = 0

2. Свойства умножения и деления

1. а*в = в*а (переместительное свойство умножения)
2. (а*в)*с = а*(в*с) (сочетательное свойство  умножения)
3. а*1 = а
4. а * 0 = 0
5. –а = (-1)*а
6. а* = 1 (а0)
7. а*=(в0)
8. (а + в)*с = а*с + в*с (распределительное свойство)