Применение производной к исследованию функции.
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Зуева Татьяна Михайловна, Лузан Елена Юрьевна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №22 г.Белгорода» Учителя математики Высшая квалификационная категория

Слайд 2

Применение производной К исследованию функции

Слайд 5

3 2 1 Функция непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

Слайд 6

Если в каждой точке интервала ( a ; b ) f ´(x) > 0, то функция f (x) монотонно возрастает на этом интервале Замечание

Слайд 7

Замечание Приведенные условия являются только достаточными Условиями монотонности, но не являются необходимыми. Например, функция y = x³ возрастает во всей области определения, Хотя ее производная y ´ =3 x² обращается в нуль при x = 0 . Пример исследования функции на монотонность: y = x³ - 3x - x y -1 1

Слайд 8

Если в каждой точке интервала ( a ; b ) f ´(x) < 0, то функция f (x) монотонно убывает на этом интервале Замечание

Слайд 9

Функция f (x) постоянна на интервале ( a ; b ) тогда и только тогда, когда f ´ (x) = 0 в каждой точке этого интервала

Слайд 10

Если x ̻ - точка экстремума функции y = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует Замечание

Слайд 11

Замечание Приведенное условие является только необходимым условием экстремума, но не являются достаточным: критическая точка не обязательно является точкой экстремума . Пример отсутствия экстремума в критической точке x = 0: y = x ³ y = | x | -2x f ´= 0 f ´ не существует x y x y

Слайд 12

Если y = f(x) непрерывна в точке x ̻ и производная f ´( x ) меняет знак в этой, то x ̻ - точка экстремума функции y = f(x) . Замечание Если f ´(x) > 0 при x < x ̻ , f ´(x) < 0 при x > x ̻ , то x ̻ - точка максимума. Если f ´(x) < 0 при x < x ̻ , f ´(x) > 0 при x > x ̻ , то x ̻ - точка минимума.

Слайд 13

Замечание В самой точке x ̻ производной y функции y = f ( x ) может не существовать . Примеры экстремумов: f ´= 0 f ´ не существует x y f ´ не существует f ´> 0 f ´= 0 f ´< 0 f ´< 0 f ´= 0 f ´> 0 x min x max x min x max

Слайд 14

Схема применения производной для нахождения интервалов монотонности и экстремумов 1 2 3 4 5 6 Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция не определена. Найдите производную f ´ (x) . Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю и не существует. В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функций. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы. Пример

Слайд 15

1 2 3 4 5 6 Область определения: R . Функция непрерывна во всей области определени f ´ (x) = 6 x² - 6x -36 . f ´(x) =0 при x = -2 , x = 3 Пример для функции y = 2x³ - 3x² - 36x + 5 знак f ´ + - + характер -2 3 изменения y = f(x) x = -2 точка максимума; x = 3 точка минимума f(x) возрастает при x ϵ (-∞; -2) и при x ϵ (3; ∞ ); f ( x ) убывает при x ϵ (-2; 3) x max = -2; y max = f(-2) = 49 ; x min = 3, y min = f(3) = -76

Слайд 16

x y f( x min ) f( x max ) f(a) f(b) a b x max x min max f(x) = f( x max ) [ a ; b] min f(x) = f( x min ) [ a ; b] 1

Слайд 17

x y f( x max ) f(a) f(b) a b x max max f(x) = f( x max ) [ a ; b] min f(x) = f ( b) [ a ; b] 2

Слайд 18

x y f( x min ) f( x max ) f(a) f(b) a b x max x min max f(x) = f(a) [ a ; b] min f(x) = f(b) [ a ; b] 3

Слайд 19

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции , непрерывной на отрезке 1 2 3 4 Найдите производную f ´(x) . Найдите на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f ´ (x) = 0 или не существует. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее. Пример

Слайд 20

1 2 3 4 f ´ (x) = 6 x² - 6x -36 . f ´ (x) = 0 при x = -2 и при x = 3 . Отрезку [0; 4] принадлежит только одна критическая точка: x = 3 f ( 0 ) = 5; f ( 3 ) = -76; f ( 4 ) = -59 max f(x) = f(0) = 5 [0 ; 4 ] m in f(x) = f(3) = -76 [0; 4] Пример для функции y = 2x³ - 3x² - 36x + 5 на отрезке [0;4]

Слайд 21

Алгебра 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений./ Л.С.Атанасян , В.Ф. Бутузов и др.- М.:Просвещение , 2010.-384с. Наглядный справочник по математике для 7-11 классов./ Л.Э.Генденштейн . – М.:Илекса , 2010. – 96с.