Уравнения_с_модулями
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

Занятие 1. Алгебраические уравнения с модулем.

(2 часа).

Теоретический материал.

        Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, следует освободиться от знака модуля, воспользовавшись его определением:

                     х, если х0

         =     - х , если х<0 .

При решении    таких уравнений обычно поступают следующим образом:

1. находят те значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2. область допустимых значений переменной разбивается на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют  знак;
3. на каждом из найденных промежутков решается уравнение без знака модуля.            

 Совокупность решений на указанных промежутках составляет решение исходного уравнения.

Пример 1.     Решите уравнение:  .

Решение.

Найдем  те значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращаются в нуль: х – 2 = 0, х = 2.

            -                                +

         2                                    х

Рассмотрим решение уравнения на промежутках: х  (2; ).

1. Если х , то  2 – х = 5;  -  х = 3;    х = - 3;   - 3

2. Если : х(2; ), то х – 2 = 5; х = 7; 7(2; ).

Ответ: - 3; 7.

Пример 2.   Решите уравнение: = х + 2.

Решение.   

В левой части уравнения стоит неотрицательное число, следовательно

х + 2  0., т.е. х  - 2. Раскроем модуль с учетом, что х  - 2, получим:

х + 2 = х +2, решением уравнения является любое число х .

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение. 

 Найдем те значения переменной, при которых выражения, стоящие

под знаком модуля, обращаются в нуль: 2х + 1+ 0; х = - 0,5; х – 4 =0; х = 4.

     - -                   +  -                 + +        

              - 0,5                     4               х

Рассмотрим решение уравнения на промежутках: х(4;+).

1. Если  х, то -2х – 1 = - х + 4;  -х = 5;  х = - 5;

    - 5  .

2. Если  х, то 2х + 1 = - х +4; 3х = 3; х = 1.

    1 .

3. Если  х(4; +), то 2х + 1 = х – 4; х = - 5;

    - 5  (4; +).

Ответ: - 5; 1.

Пример 4. Решите уравнение: 0,6  = х 2  + 0,27.

Решение.

Найдем то значения переменной, при котором выражение, стоящее под знаком модуля, обращаются в нуль: х – 0,3 = 0; х = 0,3.

        -                           +

                    0,3                                   х

1. Если х, то

0,6(0,3 – х) = х 2 + 0,27;

0,18 – 0,6х = х 2 + 0,27;

х 2 + 0,6х + 0,09 = 0;

D = 0,36 – 0,36 = 0;

х = - 0,3;   - 0,3 .

2. Если х(0,3; +), то

0,6(х - 0,3) = х 2 + 0,27;

0,6 х – 0,18 = х 2 + 0,27;

 х 2 – 0,6х + 0,45 = 0;

D = 0,36 – 1,8 = - 1,44, т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.

Ответ: - 0,3.

Пример 5. Решите уравнение: х2 + 4- 7х + 11 = 0.

Решение.

Найдем то значения переменной, при котором выражение, стоящее под знаком модуля, обращаются в нуль: х – 3 = 0; х = 3.

            -                          +

                           3                                   х

1. Если х, то:

х2 – 4(х – 3) – 7х + 11 = 0;

х2 – 4х + 12  – 7х + 11 = 0;

х2 – 11х + 23 = 0;

D = 29;

х1,2 = ;  х1 = ;  ;

 х2 = ; ;

2. Если х (3; , то:

х 2 + 4х  -  12  – 7х + 11 = 0;

х2  - 3х – 1 = 0;

D =13;

х1,2 = ; х1 = ; (3; ,

х2 = ;  (3; .

Ответ: ; .

Решите самостоятельно:

1.  = -2.   Ответ: пустое множество;

2.  = 5. Ответ: - 7; 3.

3. = 11. Ответ: - 4; 7.

4.  = х.    Ответ: пустое множество.

5. = 5 – 4х. Ответ: 1.

6.  = 4х – 3. Ответ: .

7. = - х – 2.  Ответ: .

8. . Ответ: - 3,5; 3,5.

9.  =  + 2. Ответ: - 7; - 1.

10. . Ответ: -; 2.

.