Практикум по теме "Задачи на смеси и сплавы"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

.

Практикум по теме "Задачи на смеси и сплавы"

Пояснительная записка

Процесс модернизации современной школы и всей системы образования в целом требует перехода от знаниевого подхода в обучении к компетентностному подходу.

Проблема состоит в том, что компетентность приобретается учеником под контролем учителя на уроке, а проявляется в ситуациях, требующих самостоятельных решений, при оценке возможностей и реальности происходящего.

Предлагаемый  практикум, посвящен одной из тем математики «Задачи на проценты». В школьном курсе математики рассматриваются простейшие задачи по данной теме, задачам же на смеси и сплавы не уделяется должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9-х и 11-х классах присутствует целый блок задач данной тематики.

Особенностью данного практикума является его межпредметная связь с химией, так как тот тип задач, который рассматривается, напрямую связан с химическими процессами.

Цель : Научить решать задачи на смеси и сплавы табличным универсальным способом.

Задачи :

Повторение понятия процента и решение задач по теме

Решение задач на смеси и сплавы табличным способом

Создание условий для формирования умения самостоятельно решать задачи на смеси и сплавы самого разного типа, содержания и уровня сложности

Прогнозируемые результаты:

Развитие умения учащихся самостоятельно решать текстовые задачи на смеси и сплавы простейшим табличным способом.

Занятие 1. (2 часа)

Повторение определения процента. Решение задач на применение данного определения из материалов КИМов ЕГЭ.

Задача 1: Цену данного товара снизили на 15%, а потом еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.

Решение: Пусть х рублей стоит товар. После первого снижения цена товара стала стоить 0,85х рублей. Второе снижение на 20%: 0,85х*0,2=0,17х. Тогда стоимость товара стала 0,85х – 0,17х = 0,68х. Значит за два снижения стоимость товара уменьшилась на 32%.

Ответ: общий процент снижения цены = 32.

Задача 2: Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если 6% одного из них равно 5% другого.

Решение: Пусть первое число равно х, тогда второе равно 1100 – х. Согласно условия составляем уравнение: 0,06х = 0,05(1100 – х). Решая уравнение, получаем:

0,06х = 55 – 0,05х

 0,11х = 55

х = 500 первое число. Тогда второе число равно 1100 – 500 = 600.

Ответ: наибольшее из чисел = 600.

Задача 3: Вкладчик положил в банк деньги под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После второго начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в банк. После первого начисления вклад составил 1,1х рублей. Изъятая сумма составила у рублей, тогда оставшаяся на счету сумма равна 1,1х – у рублей. После второго начисления процентов вклад составляет 1,1(1,1х – у) = 1,21х – 1,1у. Согласно условию задачи получаем уравнение:

1,21х – 1,1у = 0,99х

 1,21х – 0,99х = 1,1у

 0,22х = 1,1у

 у= 0,2х

Значит изъятая сумма составляет 20% от вклада.

Ответ: 20%

Задача 4: Вкладчик поместил определенную сумму в банке под проценты. После первого начисления процентов он добавил к получившемуся вкладу сумму, равную половине исходной. После второго начисления процентов доход составил 76%. Каков был процент в банке?

Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в банк. Пусть процент вклада в банке составляет у%. После первого начисления вклад составил х+ 0,01ух= х(1+0,01у) рублей.

Добавим сумму равную половине исходной: х(1+0,01у) + 0,5х = х(1,5+0,01у).

 Второе начисление процентов: х(1,5+0,01у) +0,01у(х(1,5+0,01у)) = х(1,5+0,01у)(1+0,01у)

Согласно условию задачи получаем уравнение:

х(1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76х

 (1,5+0,01у)(1+0,01у) = 1,76

 1,5 + 0,015у + 0,01у + 0,0001у2=1,76

 0,0001у2 +0,025у -0,26 = 0 *10000

 у2+250у -2600 =0

 Д= 1252 +2600 = 18225 =135

 у= -125+135=10%

Ответ: 10%

Задачи для самостоятельного решения:

Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Ответ: 720 рублей

Цену товара повысили сначала на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и. наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Ответ: 54%

Найдите первоначальную сумму вклада в рублях, если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.

Ответ: 5000 рублей

Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

Ответ: 16%

По срочному вкладу банк выплачивает 7% за срок хранения . На данный вклад был открыт счет, и после первого начисления процентов к нему была добавлена некоторая сумма. Однако банк понизил ставку до 5% за период хранения, и поэтому после второго начисления процентов доход по вкладу составил 30,2%. Сколько процентов первоначальной суммы было добавлено к вкладу?

Ответ: 17%

Занятие 2. (2 часа)

Решение задач на смеси и сплавы первого типа.

Задача 1: Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.

Решение:         1 сплав        олово        2 сплав

Масса сплава        12 кг        х        12+х

% содержания меди        45%                 40%

% содержания олова        55%        100%        60%

Масса олова        12*0,55=6,6        х        (12+х)*0,6

6,6 + х = (12+х)*0,6

 6,6 + х = 7,2 +0,6х

 0,4х = 0,6

 х = 1,5 кг

Ответ: 1,5 кг олова нужно добавить

Задача 2: Морская вода содержит 8% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Решение:         1 состав        Пресная вода        2 состав

Масса морской воды        30 кг        х кг        30 +х

% содержания соли        8%        0%        5%

Масса соли        30*0.08        х*0        (30+х)*0,05

30*0,08 = (30+х)*0,05

 2,4 = 1,5 + 0,05х

 0,05х = 0,9

 х = 18 кг

Ответ: 18 кг пресной воды

Задача 3: Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей. После очистки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Решение:         2 сорт        примеси        1 сорт

Масса сырья        38 т        8 т        30 т

% содержания примесей        25%        100%        х%

Масса примесей        38*0,25        8        30*0,01х

38*0,25 – 8 = 30*0,01х

 9,5 – 8 = 0,3х

 0,3х = 1,5

 х = 5%

Ответ: 5% примесей

Задача 4: Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба влажностью 45%?

Решение:         хлеб        вода        сухари

Масса (кг)        255        х        255-х

% влажности        45        100        15

Масса воды        255*0,45        х        (255-х)*0,15

255*0,45 – х = (255-х)*0,15

 114,75 – х = 38,25 – 0,15х

 х – 0,15х = 114,75 – 38,25

 0,85х = 76,5

 х = 90 кг воды

 255 – 90 = 165 кг сухарей

Ответ: 165 кг сухарей

Задача 5: Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 4,5 кг сухих грибов?

Решение:         Свежие грибы        Вода         Сухие грибы

Масса (кг)        х+4,5        х        4,5

% содержание воды        90        100        20

Масса воды        (х+4,5)*0,9        х        4,5*0,2

(х+4,5)*0,9 = х + 4,5*0,2

 0,9х + 4,05 = х + 0,9

 х – 0,9х = 4,05 – 0,9

 0,1х = 3,15

 х = 3,15 : 0,1

 х = 31,5 кг воды

 31,5 + 4,5 = 36 кг свежих грибов

Ответ: 36 кг свежих грибов

Задачи для самостоятельного решения:

Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%? Ответ: 0.2 тонны

Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих? Ответ: 2,5 кг

Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержат 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди? Ответ: 13.5 кг

Имеется 200 г сплава, содержащего золото и серебро в отношении 2:3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержит 80% серебра? Ответ: 200 гр

В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? Ответ: 75%

Занятие 3 (2 часа)

Решение задач на смеси и сплавы второго типа.

Задача 1: Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый – сорокапроцентный, второй – шестидесятипроцентный. Эти два раствора смешали и добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?

Решение:         1 раствор        2 раствор        вода

Масса (кг)        х        у        5

5% содержание серной кислоты        40        60        0

% содержание воды        60        40        100

Масса воды        0,6х        0,4у        5

1 способ (относительно воды)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)

 0,6х + 0,4у + 5*0,2 = 0,3(х + у + 5)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)

 0,6х + 0,4у + 1 = 0,3(х + у + 5)

 4 = 0,5(х + у + 5)

 х + у + 5 = 8

 0,6х + 0,4у + 5 = 0,8*8

 0,6х + 0,4у = 6,4 – 5

 0,6х + 0,4у = 1,4

 6х + 4у = 14

 3х + 2у = 7

 2у = 7 – 3х

 у = (7 – 3х):2

 4 = 0,5(х + (7 – 3х):2 + 5)

 8 = х + (7 – 3х):2 + 5

 3 = х + (7 – 3х):2

 6 = 2х + 7 – 3х

 х = 1 кг

 у = 2 кг

2 способ (относительно серной кислоты)

0,4х + 0,6у + 0 = 0,2(х + у + 5)

 0,4х + 0,6у + 5*0,8 = 0,7(х + у + 5)

0,4х + 0,6у = 0,2(х + у + 5)

 0,4х + 0,6у + 4 = 0,7(х + у + 5)

4 = 0,5(х + у + 5)

 8 = х + у +5

 х + у = 3

 у = 3 – х

 0,4х + 0,6(3 – х)= 0,2*8

 0,4х +1,8 – 0,6х = 1,6

 0,2х = 0,2

 х = 1 кг

 у = 3 – 1 = 2 кг

Ответ: 1 кг сорокапроцентного раствора Н2SO4 и 2 кг шестидесятипроцентного раствора Н2SO4.

Задача 2: Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получился бы новый сплав. Содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?

Решение:         1 сплав        серебро        2 сплав

Масса меди        х - 1845                  

% содержание серебра                          83,5

Масса серебра        х        х        0,835(2х – 1845 + х)

х + х = 0,835(2х – 1845 + х )

х = 0,835(х – 1845)

 х = 2505 г серебра

 2*2505 – 1845 = 3165 г сплава

 3165 г ----- 100%

 2505 г ----- у%

 у = 79,1%

Ответ: 3165 г сплава, в котором первоначально 79,1% серебра.