"Функция как метод познания и описания мировых явлений" урок алгебры в 10 классе.
план-конспект урока по математике (5 класс)

Урок математики в 11 классе по теме:

«Функция как метод познания и описания

мировых явлений».

Данный урок является демонстрацией заключительного этапа работы, на котором учащиеся выполняют исследовательскую работу по группам и представляют итоги самостоятельного исследования. На уроке каждому учащемуся предоставляется возможность внести свой вклад в совместную деятельность.

     Эта технология ориентирована на развитие личностных структур. Она обеспечивает реализацию воспитывающих и обучающих целей урока. (Схема: «учитель – ученики; ученик – ученик; ученик – ученики».)

Этапы.

1.Ознакомительный.

До этого урока учителем  проводится работа по знакомству с основными понятиями темы и выработка навыков решения стандартных задач. На данном этапе учащиеся получают знания теории и информацию о применении этих знаний в других областях. Предлагаются темы для самостоятельного исследования.

Прием: Рассказ, объяснение, первичное закрепление при выполнении стандартных заданий.

Результат: Понимание учащимися содержания темы.

Метод проверки: Опрос учащихся,  выполнение домашних заданий, контрольных заданий.

2. Тренировочный. На данном этапе проводится исследовательская работа на частично поисковом уровне, где учащиеся имеют возможность в коллективной работе находить совместные решения и корректировать свои знания в процессе выполнения творческих заданий.

Задача: Наиболее полное усвоение большинством учащихся содержания изучаемой темы.

Прием: Самостоятельное выполнение заданий в группе.

Результат: Выполнение исследовательской работы.

Метод проверки: Презентация решения учащихся класса представителем группы.

Цель урока: Применение знаний по теме «Производная и ее применение» при выполнении творческих заданий.

Тип урока: урок-конференция с элементами исследования.

Оборудование: плакаты изготовленные учащимися.

Ход урока

1. Организационный  момент. Объявление целей урока и порядка его проведения.
2. Выступление учащихся с самостоятельными исследованиями. Учащиеся представили темы:  «Математическое описание статистики заболеваемости наркоманией», «Расчет параметров балки, при которых ее прочность будет наибольшей». Исследования готовили самостоятельно в группах. Учащиеся рассказывают суть исследования, демонстрируют полученные  графики, описывают их свойства на языке математики и языке соответствующей области знания. Группа учащихся играют роль журналистов из известных журналов и газет. Их задача  - составить краткий конспект и оценить услышанное.
3. Подведение итогов урока, выставление оценок за урок.
4. Задание на дом.

Групповая работа по методике сотрудничества

Тема:  Математическое описание статистики заболеваемости наркоманией.

Задача: Исследовать статистику заболеваемости  на ближайшие 10 лет в зависимости от различных факторов.

Решение.

1. Математический закон роста числа заболевших наркоманией  гласит: скорость прироста вновь заболевших наркоманией (величина прироста заболевших за год) пропорциональна  числу уже принимающих наркотики. Этот закон  дает экспоненциальный рост числа заболеваний наркоманией  N= и наличие периода удвоения для числа заболевших. Здесь N(0) – число людей принимающих наркотики к началу некоторого периода времени t, k – зависит от многих факторов экономического, социального и политического характера.

Иначе можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией числа больных наркоманией. Каждые два года количество заболевших наркоманией увеличивается в два раза.

Исследуем данную функцию при k=1, k=2, k=3 и N(0)=2 и построим графики.

Исследование функции проводить по плану:

•  область определения;
•  точки пересечения с осями;
•  значения функции на концах отрезка, где определена функция;
•  интервалы монотонности и точки экстремума;
•  на основе исследования построить график функции.

Дать анализ выполненной работе.

Тема: Расчет параметров балки при которых ее прочность будет наибольшей.

Задача: Из круглого бревна, толщина которого d см, следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab² (a, b – измерения сечения балки в см). При каких значениях a и b прочность балки будет наибольшей ?

Решение. Этап I.  Первоначально выясним, какие существенные факторы оказывают влияние на прочность балки. Такими факторами являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена. Так как у нас нет математических средств выражения зависимости прочности балки от вида древесины, мы его учитывать при решении задачи не будем, что приведет к погрешности модели относительно исходной задачи.

Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через  R(R›0). По условию задачи

                                        Р = Rаb².                                    (2)

Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом : «При каких значениях переменных а и b  функция Р, выраженная формулой (2), принимает наибольшее значение ?»

В связи с тем, что ученики умеют исследовать лишь функции от одной переменной, воспользовавшись условием задачи, получим b²=d²-а²(АВ=b, АD=а,  ВD= d,  рис.1).  Отсюда

                                         Р=Rа(d²-а²).                                     (3)

Тогда математическая задача формулируется в виде : «При каких значениях переменной а функция Р, выраженная формулой (3), принимает наибольшее значение ?»

Этап II. Решение задачи выполняется по известной ученикам схеме исследования функции.

Функция определена на множество значений а, удовлетворяющих условию 0<а< d.

Производная функция Р,  Р'= R(d²-3а²). Для нахождения критических точек решим уравнение Р'=0.  R(d²-3а²)=0, откуда а=- d/√3 или а= d/√3 не принадлежит области определения функции. а= d/√3 разбивает область определения функции на два промежутка : (0, d/√3 ) и (d/√3, d).

При  а Є(0, d/√3)  Р' >0  и, следовательно, функция Р возрастает в каждой точке этого промежутка.

При  а Є( d/√3, d)  Р' <0  и функция Р в этом промежутке убывает. Следовательно, в точке d/√3 функция имеет максимум, совпадающий в данном случае с наибольшим ее значением. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с наибольшим (наименьшим) значением функции на этом промежутке.) Из равенства b²=d²-а² имеем b=d√6/3.

Таким образом, функция P принимает наибольшее значение при а= d√3/3 и b= d√6/3.

Этап III.  Полученное математическое решение переводим на язык исходной задачи : прочность балки будет наибольшей при а= d√3/3 и b= d√6/3.

Представляет интерес проведение небольшого исследования полученного решения.

Как мы выяснили, при а= d√3/3 и  b= d√6/3 прочность балки будет наибольшей. Она составит Р= 2Rd³/3√3.

Будем варьировать значения переменных а и  b.

а) При а=d/2 и  b=d√3/2. Прочность балки Р= 3Rd³/8 . Она уменьшится по сравнению с наибольшей на (16√3-27)Rd³/72 или на 2,5%.

б) При а=d/3 и  b=2d√2/3. Прочность балки составит  Р= 8Rd³/27 и будет меньше наибольшей прочности на (6√3-8)Rd³/27 или на 23,1%.

в) При а=d/4 и  b=d√15/4   Р= 15Rd³/64.  Такая прочность меньше наибольшей на (128√3-135)Rd³/576  или на 39,1%.

Учащимся следует пояснить, что уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения , отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок ее службы будет меньшим, чем при а= d√3/3 и  b= d√6/3, а это экономически невыгодно. 

Открытый урок

Функция как метод познания и          описания мировых явлений

11 класс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА                                               

7. Цель урока: ознакомление с новыми понятиями : топология, графы, уникурсальная линия и практическое их применение.

8. Планируемые результаты: 

предметные: уметь в процессе реальной ситуации использовать понятие графа и умения решать задачи с применением теории графов.

 личностные: умение работать в парах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения

 метапредметные: уметь воспроизводить смысл понятия граф; уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности

9. Задачи: 

образовательные (формирование познавательных УУД): обеспечить осознанное усвоение теории графов при решении задач; закрепить навыки и умения применять алгоритмы при решении задач; создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении задач по теме «Графы».

 воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

 развивающие (формирование регулятивных УУД): способствовать развитию творческой активности учащихся; повысить познавательный интерес к предмету; развитие навыков и способностей критического мышления (навыков сопоставления, формулирования и проверки гипотез - правил решения задач, умений анализировать способы решения задач); развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать.

10. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

11. Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

12. Необходимое оборудование: доска, экран, проектор, компьютер,  карточки самооценивания.

13. Ход урока

Ход урока