"Функция как метод познания и описания мировых явлений" урок алгебры в 10 классе.
план-конспект урока по математике (5 класс)

Заболотская Татьяна Александровна

Данный урок является демонстрацией заключительного этапа работы, на котором учащиеся выполняют исследовательскую работу по группам и представляют итоги самостоятельного исследования. На уроке каждому учащемуся предоставляется возможность внести свой вклад в совместную деятельность.

     Эта технология ориентирована на развитие личностных структур. Она обеспечивает реализацию воспитывающих и обучающих целей урока. (Схема: «учитель – ученики; ученик – ученик; ученик – ученики».)

Скачать:


Предварительный просмотр:

Урок математики в 11 классе по теме:

«Функция как метод познания и описания

мировых явлений».

Данный урок является демонстрацией заключительного этапа работы, на котором учащиеся выполняют исследовательскую работу по группам и представляют итоги самостоятельного исследования. На уроке каждому учащемуся предоставляется возможность внести свой вклад в совместную деятельность.

     Эта технология ориентирована на развитие личностных структур. Она обеспечивает реализацию воспитывающих и обучающих целей урока. (Схема: «учитель – ученики; ученик – ученик; ученик – ученики».)

Этапы.

1.Ознакомительный.

До этого урока учителем  проводится работа по знакомству с основными понятиями темы и выработка навыков решения стандартных задач. На данном этапе учащиеся получают знания теории и информацию о применении этих знаний в других областях. Предлагаются темы для самостоятельного исследования.

Прием: Рассказ, объяснение, первичное закрепление при выполнении стандартных заданий.

Результат: Понимание учащимися содержания темы.

Метод проверки: Опрос учащихся,  выполнение домашних заданий, контрольных заданий.

2. Тренировочный. На данном этапе проводится исследовательская работа на частично поисковом уровне, где учащиеся имеют возможность в коллективной работе находить совместные решения и корректировать свои знания в процессе выполнения творческих заданий.

Задача: Наиболее полное усвоение большинством учащихся содержания изучаемой темы.

Прием: Самостоятельное выполнение заданий в группе.

Результат: Выполнение исследовательской работы.

Метод проверки: Презентация решения учащихся класса представителем группы.

Цель урока: Применение знаний по теме «Производная и ее применение» при выполнении творческих заданий.

 

Тип урока: урок-конференция с элементами исследования.

Оборудование: плакаты изготовленные учащимися.

Ход урока

  1. Организационный  момент. Объявление целей урока и порядка его проведения.
  2. Выступление учащихся с самостоятельными исследованиями. Учащиеся представили темы:  «Математическое описание статистики заболеваемости наркоманией», «Расчет параметров балки, при которых ее прочность будет наибольшей». Исследования готовили самостоятельно в группах. Учащиеся рассказывают суть исследования, демонстрируют полученные  графики, описывают их свойства на языке математики и языке соответствующей области знания. Группа учащихся играют роль журналистов из известных журналов и газет. Их задача  - составить краткий конспект и оценить услышанное.
  3. Подведение итогов урока, выставление оценок за урок.
  4. Задание на дом.

 

Групповая работа по методике сотрудничества

Тема:  Математическое описание статистики заболеваемости наркоманией.

Задача: Исследовать статистику заболеваемости  на ближайшие 10 лет в зависимости от различных факторов.

Решение.

1. Математический закон роста числа заболевших наркоманией  гласит: скорость прироста вновь заболевших наркоманией (величина прироста заболевших за год) пропорциональна  числу уже принимающих наркотики. Этот закон  дает экспоненциальный рост числа заболеваний наркоманией  N= и наличие периода удвоения для числа заболевших. Здесь N(0) – число людей принимающих наркотики к началу некоторого периода времени t, k – зависит от многих факторов экономического, социального и политического характера.

Иначе можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией числа больных наркоманией. Каждые два года количество заболевших наркоманией увеличивается в два раза.

Исследуем данную функцию при k=1, k=2, k=3 и N(0)=2 и построим графики.

Исследование функции проводить по плану:

  •  область определения;
  •  точки пересечения с осями;
  •  значения функции на концах отрезка, где определена функция;
  •  интервалы монотонности и точки экстремума;
  •  на основе исследования построить график функции.

Дать анализ выполненной работе.

Тема: Расчет параметров балки при которых ее прочность будет наибольшей.

Задача: Из круглого бревна, толщина которого d см, следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ab² (a, b – измерения сечения балки в см). При каких значениях a и b прочность балки будет наибольшей ?

Решение. Этап I.  Первоначально выясним, какие существенные факторы оказывают влияние на прочность балки. Такими факторами являются диаметр бревна, форма и размеры сечения, вид древесины, из которой балка изготовлена. Так как у нас нет математических средств выражения зависимости прочности балки от вида древесины, мы его учитывать при решении задачи не будем, что приведет к погрешности модели относительно исходной задачи.

Обозначим прочность балки через Р, а коэффициент пропорциональности через  R(R›0). По условию задачи

                                        Р = Rаb².                                    (2)

Тогда математическая задача может быть сформулирована следующим образом : «При каких значениях переменных а и b  функция Р, выраженная формулой (2), принимает наибольшее значение ?»

В связи с тем, что ученики умеют исследовать лишь функции от одной переменной, воспользовавшись условием задачи, получим b²=d²-а²(АВ=b, АD=а,  ВD= d,  рис.1).  Отсюда

                                         Р=Rа(d²-а²).                                     (3)

Тогда математическая задача формулируется в виде : «При каких значениях переменной а функция Р, выраженная формулой (3), принимает наибольшее значение ?»

Этап II. Решение задачи выполняется по известной ученикам схеме исследования функции.

Функция определена на множество значений а, удовлетворяющих условию 0<а< d.

Производная функция Р,  Р'= R(d²-3а²). Для нахождения критических точек решим уравнение Р'=0.  R(d²-3а²)=0, откуда а=- d/√3 или а= d/√3 не принадлежит области определения функции. а= d/√3 разбивает область определения функции на два промежутка : (0, d/√3 ) и (d/√3, d).

При  а Є(0, d/√3)  Р' >0  и, следовательно, функция Р возрастает в каждой точке этого промежутка.

При  а Є( d/√3, d)  Р' <0  и функция Р в этом промежутке убывает. Следовательно, в точке d/√3 функция имеет максимум, совпадающий в данном случае с наибольшим ее значением. (Если функция, непрерывная на промежутке, имеет на нем один экстремум, то он совпадает с наибольшим (наименьшим) значением функции на этом промежутке.) Из равенства b²=d²-а² имеем b=d√6/3.

Таким образом, функция P принимает наибольшее значение при а= d√3/3 и b= d√6/3.

Этап III.  Полученное математическое решение переводим на язык исходной задачи : прочность балки будет наибольшей при а= d√3/3 и b= d√6/3.

Представляет интерес проведение небольшого исследования полученного решения.

Как мы выяснили, при а= d√3/3 и  b= d√6/3 прочность балки будет наибольшей. Она составит Р= 2Rd³/3√3.

Будем варьировать значения переменных а и  b.

а) При а=d/2 и  b=d√3/2. Прочность балки Р= 3Rd³/8 . Она уменьшится по сравнению с наибольшей на (16√3-27)Rd³/72 или на 2,5%.

б) При а=d/3 и  b=2d√2/3. Прочность балки составит  Р= 8Rd³/27 и будет меньше наибольшей прочности на (6√3-8)Rd³/27 или на 23,1%.

в) При а=d/4 и  b=d√15/4   Р= 15Rd³/64.  Такая прочность меньше наибольшей на (128√3-135)Rd³/576  или на 39,1%.

Учащимся следует пояснить, что уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения , отличных от оптимальных, означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо срок ее службы будет меньшим, чем при а= d√3/3 и  b= d√6/3, а это экономически невыгодно. 

Открытый урок

Функция как метод познания и          описания мировых явлений

11 класс

j0299125



Предварительный просмотр:

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА                                               

1.  ФИО

2.  Место работы

3.  Должность

4.  Предмет

5.  Класс

6.  Тема и номер урока в теме

Заболотская Татьяна Александровна

МБОУ «Лицей № 87 имени Л.И.Новиковой»

учитель математики

развивающие задачи по математике

5

Графы (урок ознакомления с новым материалом)

7. Цель урока: ознакомление с новыми понятиями : топология, графы, уникурсальная линия и практическое их применение.

8. Планируемые результаты: 

предметные: уметь в процессе реальной ситуации использовать понятие графа и умения решать задачи с применением теории графов.

 личностные: умение работать в парах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения

 метапредметные: уметь воспроизводить смысл понятия граф; уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности

9. Задачи: 

образовательные (формирование познавательных УУД): обеспечить осознанное усвоение теории графов при решении задач; закрепить навыки и умения применять алгоритмы при решении задач; создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении задач по теме «Графы».

 воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

 развивающие (формирование регулятивных УУД): способствовать развитию творческой активности учащихся; повысить познавательный интерес к предмету; развитие навыков и способностей критического мышления (навыков сопоставления, формулирования и проверки гипотез - правил решения задач, умений анализировать способы решения задач); развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их способности рассуждать.

10. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

11. Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

12. Необходимое оборудование: доска, экран, проектор, компьютер,  карточки самооценивания.

13. Ход урока

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

1. Организационный этап

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

 

Учащиеся слушают учителя

2. Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели и задач урока.

Рассмотрим следующую задачу:

Задача Эйлера (1736 г.):
«В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?»

            

- Ответить на этот вопрос помогут графы.

Действительно, в нашей жизни человек  сталкивается с понятием граф.

Графом называется множество точек и линий, связывающих эти точки, некоторые пары из которых соединены линиями. Вершины графа – это точки, в которых соединяются линии, рёбра графа - это  линии, которые соединяют вершины,   степень вершины -  число рёбер, выходящих из одной вершины.

 Полученные знания о графе,  помогут определить, можно ли вычертить какую-либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии. Такие линии называются уникурсальными.

Сегодня вы будете работать в роли топографов.

Тема нашего урока: Графы.

Наша цель на уроке – изучить понятие графа, уметь применять это понятие при решении задач.

Учащиеся предлагают свои решения.

Формулируют тему и цель урока, записывают в тетради дату и тему урока.

3. Применение знаний и умений в новой ситуации

Итак, приступаем к решению задач.

1. Начертите, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя два раза по одной линии:

1.    2.    3      4  

  Какие из фигур можно начертить одним росчерком?

Алгоритм определения, является ли линия уникурсальной:

1. если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любой вершины.

2. если в фигуре две нечетные точки, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать в одной из нечетных точек и закончив в другой.

3. если в фигуре больше двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.

2. Задача Эйлера:
«В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?»

           

Сформулируйте математическую модель этой задачи.

Учащиеся в парах выполняют решение предложенных задач.

Учащиеся в парах выполняют решение предложенных задач, делают вывод, когда линию можно провести одним росчерком, когда нельзя.

Учащиеся предлагают после мозгового штурма в группах математическую модель линию, представляющую граф      

Делают вывод: Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (то есть все) — следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

3. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

Наш урок подходит к концу. Давайте обсудим: какие задачи вызвали у вас затруднения и почему?

Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач.

4. Информация о домашнем задании

Задания: 

1. Задача: пройти по 17 мостам, соединяющим участки изображенной здесь территории Санкт-Петербурга, не побывав ни на одном мосту два раза

2. Придумайте задачу по картинке:

Схема кольцевой линии

московского метрополитена

Учащиеся получают карточки с домашним заданием.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Тема: «Графы»

Слайд 2

Задача Эйлера (1736 г.): «В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?» Леонард Эйлер (1707-1783)

Слайд 3

Топология - наука, которая раньше называлась «геометрией положения». Эта отрасль геометрии занимается только порядком расположения частей фигуры друг относительно друга, отвлекаясь от их размеров Разделы топологии: комбинаторная топология; алгебраическая топология; теоретико-множественная топология, изучающую множества как скопления точек.

Слайд 4

Графом называется … вершины графа – это точки , рёбрами графа- линии, которые соединяют вершины Степень вершины - число рёбер , выходящих из вершины. … множество точек и линий, связывающих эти точки, некоторые пары из которых соединены линиями.

Слайд 5

Начертите, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя два раза по одной линии: 1. 3. 4. 2.

Слайд 6

Фигура, которую можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, называется уникурсальной .

Слайд 7

План: Выяснить признаки фигуры, которую можно нарисовать; Найти начальную точку; Нарисовать всю фигуру

Слайд 8

Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”:

Слайд 9

С чем мы справились? 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 если нечетных точек в фигуре нет , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любой вершины если в фигуре две нечетные точки , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать в одной из нечетных точек и закончив в другой

Слайд 10

Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “открытый конверт”: 2 4 4 4 3 3

Слайд 11

Выводы: 1. если нечетных точек в фигуре нет , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любой вершины. 2. если в фигуре две нечетные точки , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать в одной из нечетных точек и закончив в другой. 3. если в фигуре больше двух нечетных точек, то ?

Слайд 12

Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить “закрытый конверт”: 3 3 3 3 4

Слайд 13

Выводы: 1. если нечетных точек в фигуре нет , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любой вершины. 2. если в фигуре две нечетные точки , то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать в одной из нечетных точек и закончив в другой. 3. если в фигуре больше двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.

Слайд 14

Физкультминутка Давайте немного передохнем. Поднимает руки класс – это «раз». Повернулась голова – это «два». Руки вниз, вперед смотри – это «три». Руки в стороны пошире развернули на «четыре», С силой их к плечам прижать – это «пять». Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Слайд 15

Самостоятельная работа: Какие фигуры можно нарисовать одним росчерком? Образец:

Слайд 16

Задача Эйлера: «В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?» 3 3 3 5

Слайд 17

«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. «Чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг» Сухомлинский Математика замечательный предмет для удивления!


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Административный контроль Алгебра 9 класс Тема: «Исследование функции и построение графика функции»

Пояснительная записка    Данная проверочная работа  предназначена для подготовки выпускников 9-ых классов МБОУ СОШ № 35 г.о. Самара к экзаменационной работе по математике в новой ф...

Презентация по информатике 9 класс на тему:"Моделирование как метод познания".

Модель- способ представления знанияМоделирование- это:Построение моделей реально существующих объектовЗамена реального объекта его подходящей копиейИсследование объектов познания на их моделях....

Конспект обобщающего урока "Логарифмическая функция. Методы решения логарифмических уравнений", алгебра 11 класс.

Урок обобщения и систематизации знаний с использованием индивидуальной, фронтальной, коллективной форм работы. Используются разноуровневые задания.Урок позволяет создать условия для развития творчески...

Конспект урока информатики в 11 классе "Моделирование как метод познания"

Конпект открытого урока по информатике на тему "Моделирование как метод познания"...

Презентация:Базы данных Урок 11 класс; Урок: Моделирование как метод познания.

В презентации рассматриваются основные понятия, классификации БД и их объекты. Первый урок по теме: "Базы данных".В уроке рассматриваются основные понятия темы: “модель”, “моделирование” и виды моделе...

Методы решения неравенств рассматриваемые в алгебре 9 класса

В данной публикации представлены виды неравенств, рассматриваемые в 9 классе, способы и методы их решения....