Урок алгебры «Ограниченность тригонометрических функций в уравнениях и неравенствах с параметром» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

лицей № 366 Московского района Санкт-Петербурга

«Физико-математический лицей»

Автор разработки Трушова Инна Ивановна, учитель математики

Урок алгебры

«Ограниченность тригонометрических функций

в уравнениях и неравенствах с параметром»

10 класс

2.1 Цели и задачи урока.

Цели урока: 

- сформировать понятие об ограниченности синуса и косинуса как о свойстве, дающем возможность  перехода к исследованию новой функции на отрезке;

- актуализировать знания о методах решения задач с параметром, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях;

- выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.

Задачи:

Образовательные: углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков  решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.

Развивающие: развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно-деятельностной  методики  и элементов проблемного обучения.

Воспитательные: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.

2.2 Содержание учебного материала урока и этапы урока с подробным описанием видов деятельности учителя и учащихся.

Содержание учебного материала

В учебном плане данный урок находится после изучения тем «Тригонометрические функции», «Преобразование тригонометрических выражений» и «Дифференцирование тригонометрических функций» ([1], глава VI §§1,2,3,4) перед изучением методов решения тригонометрических уравнений.

Урок спланирован в контексте систематического и обстоятельного изучения школьной алгебры по углубленному курсу. На уроке рассматриваются методы решения уравнений и неравенств с параметром, предполагающие использование ограниченности синуса и косинуса. Основанные на наглядно-геометрических интерпретациях, эти методы имеют ярко выраженный развивающий характер.

Технология: развивающее обучение

Этапы урока

1. Вступление. (1.1, 1.2, 1.3)
2. Основная часть. (2.1, 2.2, 2.3, 2.4)
3. Заключение (1.1, 1.2)

3. Формы и методы диагностики предметных, метапредметных результатов учащихся на уроке.

Для диагностики предметных и метапредметных результатов на уроке использовались следующие формы и методы :

-проведение теста в начале урока, результаты теста – источник данных об уровне готовности к восприятию учебного материала повышенной сложности;

-при подготовке к уроку учащимися были рассмотрены решения задач с параметром на сайте http://reshuege.ru/, а также выполнены презентации по решению задач с параметром. Демонстрация одной из них на уроке – подтверждение способности и готовности к использованию ИКТ в целях обучения и развития;

-самообразование с помощью сети Интернет при подготовке к уроку как самостоятельное пополнение знаний;

-сопровождение учителем  подготовки к уроку консультантов (по плану) по вопросам решения задач с параметром как руководство исследовательской деятельностью учащихся;

-доброжелательность при обсуждении решений и старательная работа консультантов  демонстрируют способности учащихся к сотрудничеству и коммуникации;

- самооценка по алгоритму (см. 3.2), сравнение результатов своей деятельности с ответами одноклассников в ходе урока, самоанализ успехов и неудач как способность к саморегуляции и рефлексии;

-отметки (оценки предметных и метапредметных результатов) получают все консультанты за подготовку к уроку и тьюторскую работу, а также некоторые учащиеся за задачу №3.

Диагностика знаний всех учащихся о методах решений задач с параметром и умений решать такие задачи предполагается в виде проверочной работы после серии (3-4) уроков по теме.

Учащиеся нацелены на высокие результаты ЕГЭ по математике, планируют продолжение образования в вузах,  поэтому понимают необходимость овладения методами решения сложных задач, в частности, задач с параметром. В этом выражается их готовность к решению личностно  значимых проблем и воплощению найденных решений в практику.

2.4. Текст методической разработки

Задачи с параметром в элементарной математике традиционно считаются трудными. Необходима отработка каждого метода на протяжении нескольких уроков. В тексте представлено краткое содержание одного из таких уроков.

1.1 Фронтальная беседа с целью повторения необходимого учебного материала (3 мин)

Учитель сообщает цели урока и задает вопросы учащимся, наводящие на повторение:

- свойств ограниченности и формул производных функций синус и косинус;

- способов нахождения наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции на отрезке;

- расположения параболы в зависимости от наличия корней квадратного трехчлена.

1.2  Тестирование с целью определения уровня готовности класса к усвоению задач повышенной сложности по теме урока (7 мин).

1.3  Проверка теста как элемент семинарского занятия с целью ликвидации пробелов в пройденном материале  (3 мин).

2.1 Мини-лекция с целью повторения учебного материала прошлого урока  (5 мин).

Консультант Вадим с помощью презентации, выполненной самостоятельно к уроку, акцентирует внимание учащихся на графо-аналитическом методе  решения, напоминая тем самым идеи предыдущего урока. Некоторые слайды:

2.2 Самостоятельное решение задачи № 1 с целью закрепления полученного опыта(7 мин).

Ученики приходят к ответу аналогично решению предыдущей задачи.

Задача №1 (классу). Найдите все значения параметра , при которых неравенство  выполняется при всех.

Ответ: 

Индивидуальные карточки - задания слабоуспевающим по углубленному курсу ученикам Владимиру и Сергею:    При каких значениях параметра   неравенство не имеет решений  на отрезке ?

Эта задача в качестве дополнительной была задана к уроку. (Перед уроком учитель выяснил, что многие ученики с решением справились, консультанты в том числе. Поэтому консультанту Кириллу предложено курировать Владимира и Сергея).

 2.3 Мини-лекция. Решение задачи № 2 (7 мин).

Консультант Алексей рассказывает решение задачи № 2, оформив решение заранее.

Задача №2. Сколько корней имеет уравнение  на отрезке  в зависимости  от?

Ответ: при   нет корней; при   два корня; при один корень; при   четыре корня.

2.4  Самостоятельное решение задачи № 3 с целью применения полученного знания в новой ситуации (7 мин).

Учитель консультирует, проверяет готовые решения до получения первых пяти правильных ответов учащихся. Решение задачи № 3 выносится учеником, выполнившим действия наиболее рационально.

Задача №3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых функция  является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Ответ:  

3.1 Краткая фронтальная беседа. Комментарий к домашнему заданию (3 мин).

Обязательная часть домашнего задания:

-повторить приемы решения задач прошедшего урока;

-решить задачу: Найдите все целые значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет решения. Найдите все эти решения.

Дополнительная часть домашнего задания – решить задачу:  При каких значениях  уравнение  имеет решения?

Методический комментарий учителя. Если уравнения и неравенства с параметром, содержащие синус и косинус, после введения новой переменной не сводятся к квадратным, то их можно решать с помощью производной. В доп. задаче необходимо выделить параметр и исследовать кубическую  функцию на отрезке. Полезно построить схематичный график, который поможет получить правильный ответ. Решение доп. задачи – это самоподготовка к следующему уроку, на котором планируется отработка метода использования экстремальных значений функции на отрезке с помощью производной.

3.2 Синтезирующая беседа с целью обобщения опыта, полученного  на уроке.

Подведение итогов урока. Рефлексия (3 мин).

Учащимся предлагается сверить свое решение задачи №3 с решением, оформленным на доске. В это время подводятся итоги.

Отметки (оценки предметных и метапредметных результатов) получают:

-все консультанты за подготовку к уроку и его сопровождение;

-некоторые учащиеся на этапе 2.3 за решение задачи №3.

Самооценка. В конце урока учащимся предлагается оценить свою деятельность при решении задач №1 и №3 по следующему алгоритму:

Личностные результаты учащихся в среднем по классу - 70%.

Самоанализ урока.  Автор урока придерживается разумного сочетания принципов традиционного и современного российского образования. Осуществляя преподавание углубленного курса математики в 10 классе, учитель старается использовать и системно-деятельностный, и знаниевый подходы.

Имеющиеся у лицеистов математические знания позволили на уроке провести исследования в достаточно трудных задачах - задачах с параметром.

Для достижения целей урока использовалась технология развивающего обучения.

Активизация познавательной деятельности на уроке обеспечивалась видоизменением свойств учебного материала в процессе решения задач, использовались наглядные средства обучения. Идея перехода к исследованию новой функции на отрезке опиралась на ограниченность синуса и косинуса, повторение которого на этапе 1.1 обозначило начало продвижения к заявленным целям урока. На последующих этапах (1.2, 1.3, 2.1) в ходе разнообразной деятельности учащихся (решение, проверка, анализ результатов, прослушивание объяснения, заполнение конспекта) происходила постепенная ликвидация пробелов в вопросах исследования квадратичной функции на отрезке и тем самым была обеспечена возможность выработки умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях. Этапы 2.2-2.4 способствовали закреплению полученного опыта и применению его в новых ситуациях. Проверка и самопроверка решений позволили каждому ученику выявить свои учебные проблемы и своевременно их ликвидировать. Лекционно-консультативная деятельность помогала решению не только развивающих задач урока, но и воспитательных. Сотрудничество и диалоговое общение благоприятно влияли на рабочую атмосферу во время урока, снимали эмоциональное напряжение, вызванное сложностью задач. Благодаря серьезной предварительной подготовке к уроку и высокой степени включенности учеников в проблему урока, удалось на последних его этапах актуализировать знания о методах решения задач с параметром, провести самооценку учебной деятельности и тем самым достичь всех поставленных целей урока.