Мои публикации
методическая разработка по алгебре на тему

        10 класс. Геометрия.        

Тема: «Применение векторов к решению задач».

«Три пути ведут к знанию: путь размышлений – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький». Конфуций.

Тип   урока: Урок закрепления и совершенствования знаний, навыков и умений.

Цели:

1.Дидактическая цель: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся; продолжить формировать навыки решения задач с применением векторов.

2.Воспитательная: воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

3.Развивающая цель: способствовать развитию наблюдательности, умения сравнивать, делать выводы, содействовать развитию математического мышления учащихся.

Вид урока: Урок-практикум. Формирование умений и навыков .

Оборудование: Экран, кодоскоп, кодопозитивы, магнитная доска, плакаты 1-3.У  учащихся на рабочем месте  карточки с заданиями тестов и оценочный лист для блиц-опроса..

Мотивация познавательной деятельности учащихся: показать практическую значимость изучаемого материала. Обратить внимание учащихся на большое разнообразие упражнений, которые решаются с применением векторов:

1.Задачи аналитического характера на вычисления.

2.Задачи геометрического характера (вычислительные  или   на доказательство).        

 Эти задачи имеют большую познавательную ценность, т.к. в них часто требуется открыть какое-либо новое свойство уже известной геометрической фигуры.

3.Задачи прикладного характера (из физики, механики и других дисциплин).

ХОД УРОКА.

I.Организационный момент.

Приветствие (отметить отсутствующих, кратко выяснить причину отсутствия). Написать на доске (можно заранее) дату, тему урока. Раздать учащимся раздаточный материал: с текстом теста и оценочный лист для блиц-опроса.

II.Провести проверку домашнего задания.

1)Вызываются к доске для проверки д/з 2 учащихся для записи и объяснения решений №330(а,б,д), 335(в,г), 340.

На доске заранее приготовлены чертежи к задачам.

№330  

Дано: ABCDA1B1C1D1-параллелепипед .

            С1D1 = a,  BA1 = b,  AD = c .

Изобразить на рисунке векторы:

а) a –  b . б)   a –  c. д) c -  a .

Решение:                        а) a –  b  = С1D1 - BA1  = BA - BA1 = А1А.                                                                                                            

                                       б) a –  c  = С1D1 – AD = ВА – ВС = СА.                                                                                      

                                        д) с -  а = АD - С1D 1 = ВС – ВА = АС.          

№335

В) КМ + DF + АС + FK + СD + СA + MP = KP + СF + FK = KP + CK = CK + KP = CP

Г) AB + BA + CD + MN + DC + NM = 0

№340                                                                          

III. Сообщение темы, постановка цели и задач урока и мотивации учения учащихся.

IV. Актуализация опорных знаний

А) Фронтальный опрос

Опрос на повторение определений и свойств сложения векторов, вычитания векторов, умножения вектора на число. По окончании опроса разбор д/з.

1.Что называется вектором?

2.Что такое нулевой вектор?

3.Что называется длиной ненулевого вектора?

 4.Какие два ненулевых вектора называются коллинеарными?

5.Какие два ненулевых вектора АВ и CD называются сонаправленными и противоположно направленными?

6.Отметить связь изучаемых понятий с курсом физики.(рассм.рис.95(а,б) учебника)

7.Дать определение равных векторов.

8.Дать правило сложения двух произвольных векторов а и в.

9.Какие правила сложения векторов вы знаете?

10.Каким законам подчиняется сложение векторов?

11.Что называется разностью векторов а и в?

12.Как находится сумма нескольких векторов?

13. Как находить сумму и разность векторов а и в, не прибегая к рисункам, обратив внимание на расположение букв в записях АВ + ВС= АС,  ОА – ОВ = ВА.  А1А2  + А2А3 + А3А4 + А4А5 = А1А5.  Если А1=А5, то А1А5=0

14.Что называется произведением ненулевого вектора а на число к? Как оно обозначается, каким законам подчиняется?

15.Напомнить лемму о коллинеарных векторах «Если векторы а и в коллинеарны и а не равен 0, то существует такое число к, что в = к*а   ».

Самостоятельная работа с последующей проверкой.  

Б) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

2 учащихся идут за доску решать см.работу и затем весь класс сверяет с ними свои ответы. А в это время 1 учащийся готовит решение на доске творческого дом.задания(№385)

1.АВ + BC + CD = AD

2. DA + CD + AB = CB

3. AB + CA + BD + DC = 0

4. AC + CD – AM = MD

5. AB – CD – AC + BE = DE

6. KT – KE + AT – AE = 2ET

В) Творческое задание.(№ 385)

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. тоска О – произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство: ОМ = ¼(ОА + ОВ + ОС + OD)                                                                                                                

Доказательство:

1. При доказательстве воспользуемся тем, что  в любом треугольнике АВС выполняется:

                                                                       BD = BA + BC

                                                BO = ½(BA + BC)

                                                2BO = BA + BC

2. Запишем для каждой боковой грани пирамиды ОABCD: а затем сложим их

2ОК = ОА + OD

2OT = OD + OC

2ON = OA + OB

2OL = OC + OB

2(OK + OT + OL + ON) = 2OA + 2OB + 2OC + 2OD

OK + OT + OL + ON = OA + OB + OC + OD

3. Также и для ∆OKL и ∆ONT запишите и сложите

2ОМ = ОК + OL

2OM = ON + OT  

4OM = OK + OT + OL + ON

OM = ¼(OK + OT + OL + ON)

ОМ = ¼(ОА + ОВ + ОС + OD)  что и требовалось доказать.

V. Формирование навыков и умений учащихся. Решение задач и воспроизведение учащимися знаний и способов действий. Применение учащимися приобретенных знаний.

№348

Доказательство:

АС1 + В1D = 2АО + 2OD = 2 (AO + OD) = 2 AD = 2BC, что и требовалось доказать.

№345

               В        

Решение

1. ОА – ОС = СА
2. ∆АВС: EF – средняя линия ∆АВС=> EF||AC и EF = ½AC

Поэтому EF = -½CА

EF = -½(OA – OC)

OA – OC= -2EF

Ответ: ОА – ОС= -2ЕF

№353

Дано: векторы а+2в и а-3в – коллинеарные.

Доказать: а и в – коллинеарные .

Доказательство:

Пусть а + 2в = m и  а - 3в=n

Т.к. по условию а+2в и а-3в коллинеарные, то m=kn, т.е.

(а + 2в)=к ( а-3в )

а + 2в = ка – 3кв

2в + 3кв = ка – а

(2+3к) в  = (к-1)а

в = (к-1)/ (2 + 3к) * а   пусть L = (n-1) / (2+3k), тогда

в = L a=> а и в – коллинеарные, что и требовалось доказать.

Задача Решение задач творческого типа.

1.Отметьте на прямой а три точки А, В, М так, чтобы АМ=2МВ. Точка О – произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ через векторы ОА и ОВ.

Решение:

АМ=2МВ, чтобы выразить ОМ через ОА и ОВ надо ввести ОА и ОВ в равенство: АМ=2МВ.

ОМ – ОА=2ОВ – 2ОМ.

2ОМ + ОМ = ОА + 2ОВ.

3ОМ = ОА + 2ОВ.

ОМ = ⅓ОА + ⅔ОВ.

2.Точки А, В и М лежат на одной прямой, причем АМ=βМВ. Найдите β, если для данных точек и произвольной точки О выполняется:

ОМ = ⅓ОА + ⅔ОВ

Решение

АМ=βМВ

ОМ – ОА= β(ОВ – ОМ)

ОМ- ОА= βОВ – βОМ

⅓ОА + ⅔ОВ – ОА= βОВ – β(⅓ОА + ⅔ОВ)

⅔ОВ - ⅔ОА = βОВ - ⅓ βОА - ⅔ βОВ

⅔(ОВ – ОА)= ⅓βОВ - ⅓βОА

⅔(ОВ – ОА)=⅓β(ОВ – ОА)

⅔=⅓β, β=⅔:⅓; β=2

Т.е. АМ=βМВ

АМ=2МВ

VI. Анализ и оценка итогов работы. Выставить оценки, отметить кто как работал и подвести итоги урока. Затем  провести блиц – опрос:

1.Справедливо ли утверждение:

1)любые два противоположно направленных вектора коллинеарны. (ДА).

2)любые два коллинеарные вектора соноправлены (НЕТ).

3)любые два равных вектора коллинеарны. (ДА).

4)любые два соноправленных вектора равны. (НЕТ).

5)если а↑↓в и в↑↓с, то а↑↓с (НЕТ)

VII. Определение и разъяснение дом.задания: №352, 347, п.34-38

 №384(творческое задание).

Определение: Квадратное неравенство – это неравенство вида 

В случае если a=0, мы получаем линейное неравенство.

x - независимая переменная. Необходимо найти множество всех x, при которых неравенство выполняется.

a,b,c – конкретные числа

 квадратный трехчлен;

квадратичная функция.

Решение квадратного неравенства целиком основано на свойствах квадратичной функции.

Вспомним эти свойства на примерах.

2. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен не имеет корней

Решить неравенства:

a.  

Рассмотрим функцию   Построим и прочтем ее график.

Графиком квадратичной функции является парабола, шаблон - парабола  сдвинутая относительно начала координат.

Определим координаты вершины.

Схематически изобразим график функции. Ветви параболы направлены вверх, т.к. .

Теперь прочтем полученный график.

Функция определена при . Основное свойство данной функции заключается в том, что  при всех  Более того, 

Ответ: 

Мы рассмотрели случай, когда график функции не пересекает ось ox.

3. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет один корень

b.  

Рассмотрим функцию 

Найдем корни квадратного трехчлена 

D=8-8=0, значит 

Схематически построим график функции 

Корень x=1;

графиком является парабола, значит ветви направлены вверх.

Прочитаем график.

На промежутке  функция положительна. На промежутке  функция также положительна. При 

Ответ:  

Мы рассмотрели случай, когда кривая касается оси ox в одной точке.

4. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет два корня

c. 

Найдем корни квадратного трехчлена  Воспользуемся теоремой Виета.

Схематически изобразим график функции 

Это парабола, ветви направлены вверх, т.к. 

Прочитаем график. На промежутке  функция положительна.

На промежутке  функция отрицательна.

В точках пересечения с осью ox функция равна нулю.

Ответ:  

5. Свойство квадратичной функции с двумя корнями

Мы продемонстрировали методику решения квадратных неравенств для трех случаев:

1. Соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней.

2. Квадратный трехчлен имеет один корень.

3. Квадратный трехчлен имеет два корня.

Сформулируем важнейшее свойство квадратичной функции для случая, когда соответствующий квадратный трехчлен имеет два корня.

Функция сохраняет свой знак вне интервала корней трехчлена. Функция сохраняет свой знак внутри интервала корней трехчлена. Функция меняет свой знак при переходе аргумента через корень.

Эти простейшие свойства, которые мы повторили, лежат в основе решения квадратных неравенств.

6. Решение задач

Продолжим решение неравенств.

1.  

Рассмотрим функцию 

Найдем корни трехчлена  Один из корней легко определить методом подбора. Возьмем  Проверяем:  корень подходит.

Второй корень найдем по теореме Виета.

Построим эскиз графика функции. Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Отметим знаки на интервалах знакопостоянства и выберем интервалы, удовлетворяющие нашим условиям.

Ответ:  

Мы продемонстрировали на примере применение методики решения квадратных неравенств.

Бывают неполные квадратные неравенства, вот одно из них:

3.

Рассмотрим функцию 

Построим график, ветви параболы направлены вверх.

Нашему условию удовлетворяет интервал вне корней.

Ответ:  

7. Заключение

Мы рассмотрели квадратные неравенства, методику их решения, и проиллюстрировали ее на конкретных примерах.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Задания теста, составленные автором согласно теории по теме «Решение квадратных неравенств» в пределах учебного материала для учащихся 9 класса, предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь выпускникам при подготовке к ГИА и ЕГЭ. При решении заданий этого теста необходимо уметь применять на практике формулу дискриминанта и общую формулу корней квадратного уравнения, а также хорошо знать алгоритмы решения квадратных неравенств методом интервалов и графическим способом. В тесте представлены два варианта, в каждом из которых двадцать квадратных неравенств, и ответы к ним. 

Тема: РАЗВИТИЕ ВСЕСТОРОННЕ РАЗВИТОЙ ЛИЧНОСТИ,

Цель планирования: формирование социально-активной личности, сочетающей в себе высокие нравственные качества, деловитость, творческую индивидуальность, гуманистическое отношение к миру.

Задачи:

1. Содействовать формированию сознательного отношения учащихся к своему здоровью, как к естественной основе умственного, физического, трудового и нравственного развития.

2. Способствовать воспитанию гражданско-патриотических качеств; умению ориентироваться в социальной, политической и культурной жизни общества.

3. Продолжить работу по формированию личности учащихся с высоким самосознанием, обладающей активной жизненной позицией.

4. Оказание психолого-педагогической помощи учащимся и родителям.

Целенаправленная деятельность по организации совместной жизнедеятельности взрослых и детей наиболее полно реализуется через воспитательную систему. Педагогическая деятельность исключительно многовариантный и динамический процесс, она основывается на системе психолого-педагогической закономерности. Воспитательная система школы включает в себя воспитание учащихся на уроках, внеклассных и внешкольных мероприятиях. Педагогический коллектив решает следующие задачи:

- организация интеллектуально-познавательной деятельности учащихся, формирование эмоционально-положительного отношения к учебе, знаниям, науке;

- воспитание гражданско-патриотических качеств через продолжение краеведческой и военно-патриотической работы;

- создание условий для развития творческих способностей учащихся;

-приобщать учащихся к национальным традициям, обычаям, культуре;

- формировать человека с высоким самосознанием, обладающего активной нравственностью;

- пропагандировать здоровый образ жизни. Включать семью и общественность в воспитательный процесс;

- оказывать психологическую помощь и поддержку учащимся и родителям.

Решение всех перечисленных задач способствует развитию воспитательной системы школы. Воспитательный процесс, организуемый школой, направлен на организацию многообразной и разносторонней деятельности учащихся; формирование общественно необходимых и личностно-значимых качеств личности; формирование правильного, основанного на общечеловеческих ценностях отношения к окружающему миру, природе, науке, культуре.

Воспитательная система включает в себя три взаимосвязанных и взаимозависимых блока:

- воспитание в процессе обучения;

- внеурочная деятельность;

- внешкольная деятельность.

Большие потенциальные возможности в воспитании личности ребенка заложены в добрых традициях нашей школы. Традиции создаются в процессе активной деятельности и общения, они несут в себе духовные ценности, идеи, взгляды, образ действий, обычаи, поведение, конкретные дела. К традициям познавательного характера относятся Праздник знаний, интеллектуальные игры, предметные недели. Традиции патриотического воспитания связаны с формированием гражданской активности, воспитанием любви к Отечеству, такие как военно-спортивная игра "Зарница", работа клуба "Краевед", конкурс-смотр строя и песни, конкурс чтецов ко Дню Победы. К спортивно-оздоровительным традициям относятся: баскетбольный и хоккейный турниры, спортивные состязания в день защиты детей. Изучение психологического климата показало, что в коллективах класса преобладает творческая атмосфера и деловая активность.

Приоритетным направлением в работе школы остаются: экологическое, краеведение, эстетическое, духовно-нравственное.

Формирование здорового образа жизни способствует в школе созданию атмосферы, основанной на доброжелательности, вниманию друг к другу, уюте и комфортности, т.е. благоприятно развивающей среды. Этой проблеме посвящаются диспуты, анкетирование, конкурс плакатов.

Через систему кружков, факультативов, спортивных секций школа целенаправленно приобщает учащихся к культурной деятельности, формирует активную гражданскую позицию.

Планирование воспитательной работы строится по целевым программам:

УЧЕНИЕ - обеспечение базовой общеобразовательной подготовки, развитие интеллектуального потенциала, воспитание сознательного, активного интереса к знаниям.

ОБЩЕНИЕ - установление и регулирование межличностных отношений в среде старшеклассников, построение оптимальных взаимоотношений учитель - ученик, помощь в установлении отношений с окружающими людьми, поддержание благоприятного психологического климата коллектива класса.

ДОСУГ - помогает формированию нравственных и гражданских качеств на основе разнообразной творческой деятельности.

ОБРАЗ ЖИЗНИ - формирование жизненной позиции, формирование честного отношения к себе и другим людям, предоставление права проявить свои возможности.

ЗДОРОВЬЕ - формирование здорового образа жизни, рациональной организации учебного процесса и отдыха, занятия физической культурой и спортом, участие в городских и школьных соревнованиях.

Педагоги организуют разнообразную деятельность учащихся: познавательную, трудовую, эстетическую, а также досуг школьников. Особое внимание уделяется организации коллективной творческой деятельности учащихся. Одной из задач, стоящих перед педагогами школы, является развитие ученического самоуправления.

САМОУПРАВЛЕНИЕ - это форма жизнедеятельности коллектива учащихся, обеспечивающая развитие их самостоятельности в принятии и реализации решения для достижения значимых целей. Процесс развития самоуправления ориентирован на учащихся.

В школе ведется большая работа по военно-патриотическому воспитанию учащихся. В рамках реализации программы патриотического воспитания в школе проводится традиционная работа - это уроки мужества, встречи с участниками ВОВ, курсантами суворовского училища, представителями из горвоенкомата.

Работа по духовно-нравственному воспитанию строится в соответствии с планом - это проведение творческих праздников, встреч, бесед, участие в выставках. Упор делается на возрождение идеалов Святого Православия, поэтому большое количество бесед было посвящено житию Святых в земле Российских просиявших.

Одним из главных направлений в работе является защита, сохранение и развитие здоровья учащихся. Поэтому проводится много мероприятий, связанных со спортом: это Веселые старты для начального звена, экскурсии на лыжах в лес, спортивные эстафеты и состязания.

Трудовое воспитание является практической подготовкой учащихся к участию в общественном производстве и является важнейшим элементом воспитания. Развитию трудовых навыков подчинена работа кружков, процесс дежурства по школе, работа на пришкольном участке, по уборке территории и помещения, работа в трудовом отряде.

Немаловажную роль в привитии любви к природе родного края играет экологическое воспитание. В этом направлении проводятся уроки биологии и экологии, различные праздники, открытые мероприятия, выставки плакатов и т.д.Это направление формирует культуру отношений к природе и с природой. Школьники усваивают понятия: природа, экология, погода, времена года, явления природы, охрана природы.

Главное в этой работе - это, чтобы дети осознали себя частью природы, которая не терпит бездумного отношения и заслуживает уважения и бережливости.

Взаимодействие с семьей с целью усиления ее роли в становлении и развитии личности ребёнка - также важное направление в работе. Реализуя это направление, мы опираемся на информацию о семьях (банк данных о семье). Суть взаимодействия школьного коллектива и семьи заключается в том, что обе стороны заинтересованы в изучении ребенка, раскрытии и развитии в нем лучших качеств и свойств. В основе такого взаимодействия лежат принципы взаимного уважения и доверия, взаимной поддержки и помощи, терпения и терпимости друг к другу. Сотрудничество школы и семьи - результат целенаправленной и длительной работы коллектива, которая изучает семьи, обязанности условий семейного воспитания, оказывает педагогическую и психологическую помощь.

В школе работает много кружков, спортивные секции, изучение и владение компьютером, кружки эстетического и прикладного направления, патриотического и экологического направления. Руководителями кружков являются учителя-предметники и социальные педагоги. Режим работы кружков определяется в соответствии с расписанием занятий учащихся, основная нагрузка во второй половине дня. Кружки и секции посещают учащиеся со 2 по 9 классы в зависимости от выбора, наибольшее количество ребят занято в вокальной студии, секции баскетбол и экологической.

Вся деятельность в школе направлена на создание воспитательной системы гуманистического типа, главная цель которой - максимальное развитие личности ученика и подготовка к самореализации в жизни.

            8 класс. Урок геометрии.

Тема:   Теорема, обратная теореме Пифагора.

Цель урока:

• Рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора, и показать её применение в процессе решения задач.
• Закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на её применение.

Ход урока:

1. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся

1. Историческая справка. Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (6 в. до н.э.). но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.
2. Теоретический опрос. Сформулировать и доказать теорему Пифагора. (Подготовиться у доски одному из учащихся, затем, после решения задач по готовым чертежам заслушать его ответ всем классом.)
3. Проверка домашнего задания. Проверить решение домашних задач индивидуально во время решения задач по готовым чертежам. К доске вызвать ученика, чтобы проверить решение дополнительной домашней задачи.

Дополнительная задача из домашнего задания:

Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь. Решение:

Через точку О пересечения диагоналей проведем прямые МК ‌┴ АВ и NP ┴ BC‌, тогда т.к. АВ││СD и BC‌││АD, то NP┴ АD, значит ОМ, ОN, ОК, ОP – высоты треугольников АОВ, ВОС, СОD, DОА.

S      + S       = ВС∙ОN: 2 + АD∙ ОP: 2 = BC∙ (ОN + ОP): 2 = ВС∙  NP: 2 = S      : 2 (ВС = АD, NP – высота параллелограмма, т.к. NP┴ВС, NP┴АD). Тогда S    = S    = S       : 4  (∆ВОС=∆ DОА по двум сторонам и углу между ними). S     + S      = АВ∙ ОМ :2 + СD∙ ОК : 2 = АВ∙ (ОМ + ОК) :2 = АВ∙ МК : 2 = S       : 2 (АВ = СD, МК -  высота параллелограмма).

Тогда S     = S      = S        : 4 (∆АОВ = ∆СОD по двум сторонам и углу между ними).

Получили S    = S    = S     = S      =  S        : 4, т.е. диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.

4. Решение задач по готовым чертежам (устно)

рис. 1. Найти: АВ.

рис. 2. Найти: ВС.

рис. 3. Найти: АС.

 рис. 4. АВСD – ромб. Найти: ВС.

 рис. 5. АВСD – прямоугольник. АВ:АD = 3:4. Найти: АD.

 рис. 6. Найти: АВ.

Ответы к задачам:

1. АВ = 10 см.
2. ВС = 2√6 см.
3. АС = 10 см.
4. ВС = 3 см.
5. АD = 4 см.
6. АВ = 3√2 см.

1. Фронтальная работа с классом (устно)

Сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они:

• Сумма смежных углов равна 180°.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Вертикальные углы равны.
• В параллелограмме противолежащие стороны равны.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В последнем случае учащиеся смогут сформулировать утверждение обратное данному, а доказательство его справедливости можно провести дальше.

3. Изучение нового материала

Дано: ∆АВС, АВ² = АС² + ВС².

Выяснить, является ли ∆АВС прямоугольным? (учитель решает у доски, учащиеся – в тетрадях.)

Решение:

1. рассмотрим ∆А  В  С  такой, что  С = 90°, А  С = АС, В С  = ВС. Тогда по теореме Пифагора А  В ² = А С ² + В С ²
2. Так как А  С  = АС, В С = ВС, то: А  С ² +В  С ² = АС² +ВС² = АВ², следовательно, АВ² = А В ² и АВ = А  В  .
3. ∆А  В  С   = ∆АВС по трем сторонам, откуда     С =    С  = 90°, т.е. ∆АВС – прямоугольный. Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Данное утверждение называют теоремой, обратной теореме Пифагора.

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называются пифагоровыми  треугольниками.

Например, треугольник со сторонами 26,24 и 10.

• Приведите примеры пифагоровых треугольников. (10, 8 и 6; 13,12 и 5; 5,4 и 3; 15, 12 и 9 и другие.)
• Являются ли пифагоровыми треугольниками треугольники:

1. с гипотенузой 25 и катетом 15;
2. с катетами  5 и 4?

Треугольник со сторонами 3,4,5 был известен ещё древним египтянам. Египтяне использовали их для построения прямых углов. Делали они это так: на веревке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. угол, лежащий против стороны, равной 5, оказывался прямым. Этот треугольник получил название египетского треугольника и по сей день именно так его называют.

4. Закрепление изученного

Решить устно № 498 а), б), в)

Решить задачу № 499 а) на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

Задача №499 а)Найти меньшую высоту со сторонами 24см,25см,7см.

Решение.

25² = 24² + 7², значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е S = 24∙7:2 = 84( см²).

Меньшая высота проводится к большей стороне, а в прямоугольном треугольнике большей стороной является гипотенуза, значит, S = h ∙c:2, где c – гипотенуза, h  - высота, проведенная к  с    

 h  =  

Ответ: 6,72 (см).

Наводящие вопросы:

• Как проверить является ли треугольник прямоугольным?
• К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?
• Какой способ вычисления высоты треугольника часто используют в геометрии?
• Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.

Решить самостоятельно задачи:

1. Определите углы треугольника со сторонами 1, 1, √2.

Решение:

Выясним является ли ∆АВС прямоугольным?

АВ² = АС² + ВС²,

(√2) ² = 1² + 1²

2 = 2, значит по теореме, обратной теореме Пифагора ∆АВС прямоугольный, где АВ – гипотенуза, а АС = ВС – катеты.

tg A =   ВС

   AC

tg A =   1

A = 45°; т. к. ∆АВС прямоугольный,   В=90-45=45,   С = 90°. Ответ: 45, 45, 90 .

2. В  ∆АВС: АВ = √2, ВС = 2. на стороне АС отмечена точка М так, что АМ = 1, ВМ = 1. Найдите АС.   Ответ:  1 + √3.
3. В  ∆МРК: РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА = АР = √3, АК = 1. Найти:    МРК.

Ответ: 75°.

5. Подведение итогов урока

Оценить работу учащихся.

Домашнее задание:

П. 55; вопросы 9, 10.

Решить задачи № 498 (г, д, е), № 499 (б); № 488(а).

Дополнительные задачи:

1. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания – 30 см и 15 см. найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции.
2. Диагонали трапеции равны 5 см и 12 см, а основания – 3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

 ПО ПОДГОТОВКЕ К ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

9 КЛАСС

 Учитель: Крамаренко Е.А.

2014– 2015

Пояснительная записка

Рабочая  программа консультаций по подготовке к ОГЭ ориентирована на учащихся 9 классов и реализуется на основе следующих документов:

1. Федеральный компонент государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и основного общего образования.
2. Федеральный базисный учебный план для основного общего образования.
3. Стандарт основного общего образования по математике.

• Общая характеристика занятий

Цель консультативных занятий направлена на подготовку учащихся к сдаче экзамена по математике в новой форме.  Основной особенностью этих занятий является отработка заданий по всем разделам курса математики основной школы: арифметике, алгебре, статистике и теории вероятностей, геометрии.

• Место занятий в федеральном базисном учебном плане

Консультативные занятия по подготовке к ГИА в 9 классе проводятся  из расчета 1 час в неделю, всего 34 часа.

          Составленное календарно-тематическое планирование соответствует содержанию программ основного общего образования по математике и обеспечивает выполнение требований государственного стандарта математического образования.

• Обязательный минимум содержания

•  Результаты обучения

Результаты обучения задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.

Список литературы

1. Алгебра. Экспр.-репетитор для подг. к ГИА. Нестандартные задачи_Сычева Г.В_2011 -128с.
2. ГИА 2014. Математика. 9кл. Типов. тест. задания_Ященко, Шестаков и др_2013 -64с.
3. Математика. 9кл. ГИА. Темат. тр. задан. Повыш. уровень_п.р. Семенко Е.А_2011 -80с. 
4. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе. Кузнецов Л.В., Суворова С.Б.,  Бунимович Е.А.
5. Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА 2010. Под редакцией Лысенко Ф.Ф.
6. Математика. 9 класс. Итоговая аттестация 2014. 40 тестов по новому плану (с делением на 3 модуля). Учебно-методическое пособие / Под редакцией Д.А. Мальцева. - Ростов н/Д: М.: Народное образование, 2014. -239 с.

Календарно – тематическое планирование

(1 час в неделю, всего 34 часа)

Технологическая карта урока

Тема: «Решение задач на работу»

Предмет:  математика             Класс: 9        

          Учебник (УМК): «Алгебра» 9кл. под редакцией С.А. Теляковского Москва «Просвещение» 2011г.

          Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений

Оборудование: доска; задания для выполнения на уроке; карточки самооценивания, задания для домашней работы, медиапроектор,        презентация.

Характеристика учебных возможностей и предшествующих достижений учащихся класса, для которого проектируется урок:

Учащиеся владеют

• регулятивными УУД:

• формулировать вопросы по теме на основе опорных (ключевых и вопросительных) слов
• преобразовывать практическую задачу в учебно-познавательную совместно с учителем

• познавательными УУД:

• собирать и выделять информацию, существенную для решения проблемы, под руководством учителя

У большинства учащихся  сформированы:

• коммуникативные УУД:

• высказывать свою точку зрения по инициативе учителя;

• личностные УУД:

• осуществлять рефлексию своего отношения к содержанию темы.

УУД

Структура и ход урока

Ход урока