Решение задач на проценты
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Слайд 1

Слайд 2

Основные типы задач на проценты. 1. Одна величина больше (меньше) другой на р%. Если a больше b на p %, то a = b +0,01 pb = b (1+0,01 p ). Если a меньше b на p %, то a = b -0,01 pb = b (1-0,01 p ). Пример. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получилось 120? Решение: a =120, b =90, p -? 120=90+0,01 p *90, 120=90(1+0,01 p ), 1+0,01 p =4/3, 0,01 p =1/3, p =100/3. Ответ:100/3%.

Слайд 3

2. Величина увеличивается (уменьшается) на р%. Если a увеличили на p %, то новое значение равно: a (1+0,01 p ). Пример. Увеличить число 60 на 20%. 60+60*0,2=72 или 60(1+0,2)=72. Если a уменьшили на p %, то новое значение равно: a (1-0,01 p ). Пример. Число 72 уменьшить на 20%. 72-72*0,2=57,6 или 72(1-0,2)=57,6.

Слайд 4

Увеличили число a на p %, а затем полученное уменьшили на p %. a(1+0,01p); a(1+0,01p)(1-0,01p)=a(1-(0,01p) ²). (*) Пример. Цену товара снизили на 30%, а затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара? Решение. Пусть первоначальная цена товара a , тогда a -0,3 a =0,7 a - цена товара после снижения, 0,7 a +0,7 a *0,3=0,91 a – новая цена. 1-0,91=0,09 или 9%. Используя формулу (*), получим: а(1-0,3²)=0,91а. Ответ :цена снизилась на 9%.

Слайд 5

Задача 1. Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? Решение. a - первоначальная цена, p - процентные снижения. a +0,12 a =1,12 a – цена после повышения , 1,12 a -1,12 a *0,01 p – цена после снижения. По условию 1,12 a -1,12 a *0,01 p = a , 1,12(1-0,01 p )=1, p =10 5/7 Ответ: 10 5/7%

Слайд 6

3.Формула сложных процентов. Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов: b = a (1+0,01 p ) n , г де a – первоначальное значение величины, b – новое значение величины, p – количество процентов, n – количество промежутков времени. Если изменения происходят на разное число процентов, то формула выглядит так b = a (1 ± 0,01 p 1 )(1 ± 0,01 p 2 )…(1 ± 0,01 p n )

Слайд 7

Задача 1. Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? Решение. b = a (1 ± 0,01 p 1 )(1 ± 0,01 p 2 ) a - первоначальная цена, p - процентные снижения. a (1+0,12)(1-0,01 p )= a , 1,12(1-0,01 p )=1, p =10 5/7 Ответ: 10 5/7%

Слайд 8

Задача 2. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной? Решение. Пусть зарплата рабочего была x , тогда b=x (1+0,1)(1+0,2)=1,32 x 1,32 x - x =0,32 x Значит, зарплата повысилась на 32%. Ответ: на 32%

Слайд 9

Задача 3. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом? Решение. Пусть x – искомое число процентов, a –первоначальное количество продукции. a (1+0,01 x ) 4 =16 a , (1+0,01 x ) 4 =16, 1+0,01 x =2, 0,01 x =1, x =100. Ответ: на 100%.

Слайд 10

Задача 4. Число рыб в заливе сократилось на 30%, а затем три года увеличивалось на 25%, 35%, 40%. В итоге число рыб достигло 132 300 рыб. Сколько рыб было в заливе? Решение. Пусть x первоначальное количество рыб в заливе. x (1-0,3)(1+0,25)(1+0,35)(1+0,4)=132 300, x *0,7*1,25*1,35*1,4=132 300, x =80 000. Значит, первоначальное количество рыб в заливе равно 80000. Ответ: 80 000 рыб.

Слайд 11

Задача 5. Зонт стоил 360р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? Решение. Применим формулу сложных процентов. b =360* (1-0,15)(1-0,1)= 360*0,85*0,9=275,4(р.) Значит, стоимость зонта в декабре –275р. 40к. Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт? Решение. 275,4:360=0,235 или 23,5% Ответ:275р. 40к., 23,5%

Слайд 12

4. Банковские операции. Простые проценты. Увеличение вклада S 0 по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S 0 независимо от срока хранения и количества начисления процентов. S п = S о (1+0,01 pn ) Сложные проценты. Если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, я в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на вклад S 0 , но и на проценты, которые на него полагаются. S п = S о (1+0,01 p ) n

Слайд 13

Задача 6. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через10 лет? Решение. Используем формулу: S n = S о (1+0,01 pn ) S 5 = 20 000(1+0,08*5)=280 000(р.) S 10 =20 000(1+0,08*10)=360 000(р.) Ответ:280 000р.; 360 000р.

Слайд 14

Задача 7. При какой процентной ставке вклад на сумму 500р. Возрастет за 6 месяцев до 650р.? Решение. S n = S о (1+0,01 pn ) 500(1+0,01 p *6)=650, 0,01 p *6=650:500-1, 0,01 p *6=0,3, p =0,3*100:6, p =5 Ответ: 5%.

Слайд 15

Задача 8. При гашении кредита, клиент вносит ежемесячно 2 500 р. Оплата должна производиться до10 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты за месяц. Сколько придется заплатить клиенту банка, если он просрочит неделю? Решение. S n = S о (1+0,01 pn ) S 7 =2 500(1+0,04*7)=3 200(р.) Ответ: 3 200р.

Слайд 16

Задача 9. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2 000р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? Решение. Воспользуемся формулой сложных процентов S n = S о (1+0,01 p ) n S 6 =2 000(1+0,12) 6 =2 000*1,12 6 =2 000*2 508,8=3 947,65(р.) Значит, через 6 лет на счету будет 3 947р. 65к. Ответ 3 947р. 65к.

Слайд 17

Задача 10. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого срока эти проценты капитализируются, т. е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклад а был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? Решение. S n = S о (1+0,01 p ) n S 3 =50 000(1+0,1) 3 =50 000*1,1 3 =50 000*1,331= 66 550(р.) Ответ: 66 550р.

Слайд 18

Задача 11. Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через пол года (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине? Решение. S о = x , S n = x (1+0,02) 6 – для первого магазина, S n = x (1+0,01 p ) 3 – для второго магазина, x (1+0,02) 6 = x (1+0,01 p ) 3 , 1,02 2 =1+0,01 p , p =4,04 Ответ: 4,04

Слайд 19

5. Задачи на смеси, растворы, сплавы. Формулы для расчета концентрации смеси (сплава) n = m в / m р, где n - концентрация, m в – масса вещества в растворе, m р - масса всего раствора. n = ( n 1 m 1 + n 2 m 2 +.. n к m к )/ m

Слайд 20

Задача 13. В бидон налили 7 литров молока трёх процентной жирности и 3 литра шести процентной жирности. Какова жирность полученного молока? Решение. n =(7*3+3*6):10=(21+18):10=3,9 Ответ: 3,9%

Слайд 21

Задача 14. Сколько граммов 30%-го раствора надо добавить к 80 г 12%-го раствора этой же соли, чтобы получить 20%-й раствор соли? Решение. Пусть надо добавить x г 30%-го раствора, тогда (30 x +12*80) : (80+ x )=20, 30 x +960=20 x +1600, 10 x =640, x =64 Значит, надо добавить 64г. Ответ:64г.

Слайд 22

Задача 15 . Если смешать8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12%-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. Решение. Пусть концентрация в первом растворе x %, а во втором – y %, (8 x +2 y ) : 10=12, 8 x +2 y =120, 4 x + y =60 Пусть возьмем по 1кг каждого раствора, тогда ( x + y ):2= 15, x + y =30 4 x + y =60, x + y =30 x =10, y =20 Ответ: 10 % , 20 %

Слайд 23

Задача 16. Во втором круге футбольного чемпионата команда «Зубило» увеличила по сравнению с первым кругом количество забитых голов на 65%, а команда «Метеор» на 40%. В итоге общее количество голов возросло в 1,5 раза. Сколько процентов от общего количества голов, забитых обеими командами в первом круге, составили голы «Метеора» ? Решение. Пусть x – доля голов, забитых «Метеором», а (1- x ) – «Зубило», тогда Значит, голы «Метеора» составили 60%. Ответ: 60%

Слайд 24

Спасибо за внимание