Некоторые задачи по теории вероятности
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Некоторые задачи по теории вероятностей  в ОГЭ и ЕГЭ  по математике.

        Подготовили  учителя математики высшей квалификационной категории:  Попова Н.Ф. и Белых Н.В.

Саратов. 2015 г.

Содержание

1. Введение                                                                                        
2. Определение, история возникновения                                                
3. События, абстракция событий                                                        
4. Ученые, внесшие вклад в развитие и изучение                                        
5. Основные понятия                                                                        
6. Вероятность                                                                                
7. Практические задачи для расчета вероятности некоторых событий  
8. Заключение                                                                                
9. Список использованной литературы                                                

Введение

  Из множества тем я выбрала теорию вероятностей не случайно. Наша жизнь состоит из множества событий, предугадать исход которых нельзя. Так кажется на первый взгляд. Однако, теория вероятностей доказывает обратное.

  Случайность, случай – мы встречаемся с ними повсюду. Случайная встреча, случайная ошибка, случайная находка, удача и так далее. Мы уверены, что здесь нет места математике, но это не так ,ведь неудачу или успех предугадать нельзя.

  Однако ученые заметили интересную закономерность в цепи случайных событий, стали ее исследовать. Теперь человек может уверенно вести себя при встрече со случайными событиями.

  Мне показалось интересным то, что можно вполне успешно предугадать результат некоторых происходящих с нами вещей.

  Это может быть весьма полезным в различных играх, лотереях.

  Теория вероятностей, хоть мы того и не замечаем, окружает нас. Мы встречаемся с ней в областях математики (разумеется), физики, химии, биологии. Особенно возросло значение данной теории с ростом вычислительной техники. Например, для изучения явлений мы используем опыты, наблюдения. Однако результат данных опытов может различаться. Даже многократные измерения не дают возможности точно определить исход следующего измерения. Тогда говорят, что результат измерения есть величина случайная.

  Цель работы – ознакомиться с основами теории вероятностей, вероятностью, случайными событиями и величинами. Научиться решать различные задачи, используя данную теорию.

  В соответствии с поставленной целью в ходе работы решались следующие вопросы:

- изучить основные понятия теории

- ознакомиться с биографией ученых, внесших вклад в развитие науки

- научиться применять на практике полученные знания

  Структура работы строилась в соответствии с целью. Она включает в себя две основные части. В первой рассмотрена теория вероятностей в целом, а во второй ее основной раздел – вероятность.

Определение, история возникновения

  Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины , их свойства и операции над ними.

  Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам, и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида. Еще одной причиной возникновения теории стало развитие страхования, возросшего в ту эпоху. Заключались контракты, совершались морские путешествия, росли торговые связи.

  Еще в древности было замечено, что существуют явления, обладающие одной особенностью: при малом числе наблюдений за ними нет никакой правильности, но если увеличить число наблюдений, то выявляется некая закономерность.

  Теория вероятностей тесно связана со статистикой, ведь их предметы изучения достаточно близки, схожи. Практически любые выводы, сделанные с помощью статистики, рассматриваются как вероятностные. Особенно тесно две теории стали взаимодействовать с развитием торговли, рынка.

  В нашей стране это широко употребляется в управлении качеством продукции, поэтому я считаю теорию вероятностей достаточно актуальной темой.

  Понятие вероятности события определяется для массовых явлений или для однородных массовых операций. Каждая операция заключается в том, чтобы создать комплекс определенных условий, существенных, для данной массовой операции.

  Например, для игры в кости таким условием является попадание кубика на стол. А другие условия, такие как температура воздуха, влажность, не имеют значения.

  Или рассмотрим другой пример – стрельба из лука. Для стрелка важен ряд таких условий как его положение, расстояние до мишени, также стоит учитывать погодные условия – ветер, осадки, видимость. Но если стрелку разрешено стрелять из разных положений, то ряд условий меняется.

События, абстракция событий

  События с математической точки зрения – любой объект или явление, которое может появиться или не появиться при определенной совокупности условий.

  События делятся на три группы: достоверные, возможные и невозможные.

  Достоверными называют те события, которые появляются всегда, в любом случае, если соблюден ряд соответствующих условий. В этом случае между условиями и событием прослеживается причинно-следственная связь

  Возможные события – события, которые при соблюдении необходимых условий могут произойти, а могут не произойти. Получается, что создание условий не гарантирует возникновения желаемого события. Это свидетельствует о неоднозначных, или говоря по-другому не прямых причинно-следственных связях между событиями.

При изучении возможных событий возникает такое понятие как частота события при многократном повторении наблюдения.

  Невозможными же событиями называют те, которые никогда не появляются при соблюденных условиях. Вероятность появления таких событий бесконечно мала, практически равна нулю.

Ученые, внесшие вклад в развитие и изучение

  Как говорилось ранее, сначала понятие теории вероятностей не имело строгого математического вида. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Они принадлежали Блезу Паскалю и Пьеру Ферма. Первым руководством стал трактат Гюйгенса «О расчетах в азартной игре». Там он писал: «Я полагаю, что при внимательном изучении предмета, читатель поймет, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».  

Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, они открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. 

Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше издания писем Паскаля и Ферма.

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений.

 Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы.

 Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря Андрею Николаевичу Колмогорову. Им получены основополагающие результаты в геометрии, математической логике, теории множеств, изучении различных функций и в ряде других областей математики и её приложений.

  Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать два десятка.

Основные понятия

  В результате исследования и изучения различными учеными теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

  Основные понятия теории:

•  Вероятность – степень возможности наступления некоторого события.
•  Вероятностное пространство – понятие для формализации теории вероятностей.
•  Случайная величина -  величина, которая принимает в результате опыта одно значение из множества исходов, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
•  Функция распределения - функция, характеризующая распределение случайной величины.
•  Математическое ожидание – среднее значение случайной величины.
•  Независимость - в теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми, если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.
•  Условная вероятность - вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
•  Закон больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

  Мне кажется, что наиболее понятным и интересным разделом теории вероятностей является вероятность. Именно поэтому я заострила свое внимание на ней.

Вероятность как раздел теории вероятностей

  Рассмотрим вероятность, как раздел науки, теории.

  Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным.

  Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей.

  В математической статистике понятие вероятности -  числовая характеристика события — вероятностная мера, принимающая значения от  до .

  Значение 1 соответствует достоверному событию. 

  Невозможное событие имеет вероятность 0.

  Если вероятность наступления события равна , то вероятность его ненаступления равна . В частности, вероятность  означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

  Вероятность можно рассчитать, разделив число благоприятных для вас исходов на общее число всех исходов.

 Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в экономике, эконометрике, квантовой физике, статистике.

Исследовательская часть – примеры задач на расчет вероятности

  Рассмотрим несколько простых задач:

1. В корзине 12 красных шаров и 4 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета? Решение: В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. На результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара. Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета". Общее число всех возможных исходов: 12+4=16 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 4 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров). P(A)=4/16=1/4=0,25. Ответ: 0,25.

2. Самый распространенный пример с подбрасыванием монеты. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки? Исходов 2 – орел или решка (считается, что монета никогда не падает на ребро). Благоприятный исход – решка, 1. 

Вероятность 1/2=0,5. Ответ: 0,5.

3. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел? Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов: 1) PP – оба раза выпала решка; 2) PO – первый раз решка, второй раз орел; 3) OP – первый раз орел, второй раз решка; 4) OO – оба раза выпал орел. Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1. Вероятность: 1/4=0,25 Ответ: 0,25.

4. В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 10 черных, 2 желтых и 13 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет не зеленое такси. Решение: возможное число исходов 25 (число всех машин). Сказано, что приедет не зелёное такси. Это означает, что приедет либо черное, либо жёлтое такси. Таким образом, число благоприятных исходов 10+2=12. Искомая вероятность равна 12 к 25  или  0,48. Ответ: 0,48.

5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится 12 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется некачественной. Результат округлите до сотых. Решение: сказано, что на 150 качественных сумок приходится 12 с дефектами. Значит, число возможных исходов 150+12=162. Число благоприятных исходов 12 (некачественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100 к 108 или 12 к 162. Это равно 2\27 = приблизительно 0,07. Ответ: 0,07.

. В семье из двух детей младший ребенок мальчик, какова вероятность того, что старший тоже мальчик? Решение: множество исходов будет составлять: 1 – Д М; 2 – М М. Всего: 2. Множество благоприятных событий всего одно М и М. Значит, вероятность того, что старший ребенок тоже мальчик = 1 к 2 = 0,5. Ответ: 0,5.

6.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите

вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,14

7.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите

вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Ответ: 0,5

8.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Ответ: 0,25

9.

Фабрика выпускает сумки. В среднем из100 качественных сумок  

восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что

купленная сумка окажется качественной.  

Ответ: 0,92    

                                                                                                                                  10. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?                              7:50=0,14

                                                                                                                                                                                                          11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Ответ: 0,36

12. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстераБ.с

вероятностью 0,45. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  

Решение   Пусть событие Т  выиграл белыми, а событие М он выиграл чёрными  и вероятность 0,45  в 1 случае, а 0,4 во2.  Найдем пересечение событий, так как события независимы,потому 0,45*0,4=0,18.

                                                                                                                                                                                       13. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно

разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?    Решение

Всего исходов равно числу карточек-24,благоприятные—6. Вероятность 6:24=0,25.

                                                                                                                                          14. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему

«Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

                                                 0,2+0,15=0,35

                                                                                                                                                                   15. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.  

Решение:  Так как автоматов 2 ,то0,4*0,4=0,16 что не равно 0,22,значит ,что кофе закончится в 1 автомате и во 2 зависимы. Обозначим А-событие , что  кофе останется в 1 , а через В во 2.Р(А)=Р(В)=1-0,4=0,6. Кофе остался хотя бы в одном автомате А объединённое с В  ,Р(АиВ)=1-0,22=0,78-противоположное событие , что кофе закончится в обоих автоматах и по формуле пересечения получим 0,6+0,6-0,78=0,42

                                                                                                                                                                         16. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три — промахнулся. Результат округлите до сотых.      

Решение:   Пусть А1,А2,А3,А4,А5 событие попадания, тогда Р(А1)=Р(А2)=Р(А3)=Р(А4)=Р(А5)=0,6 ,поэтому Р(А1иА2иА3и А4иА5)=0,6*0,6,(1-0,6)*(1-0,6)*(1-0,6)=0,36*0,064=0,02304=0,02.

17. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства .

Решение:  Пусть х- искомая вероятность, п-закупили яиц, в1 хозяйстве закупили  х*п яиц, из них 0,6*х*п высшей категории, во 2 ----(1-х)*п яиц, из н  0,4*(1-х) высшей категории, всего 0,48, поэтому получим     0,6хп+0,4(1-х)п=0,48п,  х=0,4  

                                                                                                                                                                 18. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?  

Решение:   Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2,а промаха 0,8, вероятность промаха при каждом последующем выстреле—0,7. Найдем число выстрелов, когда цель не поражена с вероятностью 1-0,98=0,02.

2выстрел------0,8*0,3=0,24,  3 выстрел---0,24*0,3=0,072,  4выстрел---0,072*0,3=0,0216,              5 выстрел----0,0216*0,3=0,00648это меньше, чем 0,02.  

Ответ:5

19. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из не пристрелянного револьвера,то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.

Решение:   Р=0,8-попадает из пристрелянных револьверов, а из не пристрелянных, то Р=0,25.              5 револьверов 2 пристрелянные тогда Р=0,4,   для не пристрелянных  Р= 0,6. Пусть 1 событие  А и Р(А)=0,4*0,8=0,32,  2 событие В, тогда Р(В)=0,6*0,25=0,15. События А и В несовместны, следовательно искомая вероятность :  0,32+,0,15=0,47.  

                                                                                                                                                                   Ответ: 0.47.

задача 20.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение:

Пусть  – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда  – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачиу 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,то

 21. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Решение:

Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

4+6; 6+4; 5+5.

Ответ: 3.

Задача 22.

В классе 21 учащийся, среди них два друга— Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение:

Пусть один из друзей находится в некоторой группе   Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 :20 =0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 23.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт  к выходу Д

Решение:

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью 0,5 (ведь на каждой развилке возможны два независимых  равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой,то 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625.

Задача 24.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А) ХХХХ

В) ХОХХ

С) ХХОХ

D) ХХХО

E) ХООХ

F) ХХОО

J) ХООО

H) ХОХО

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью

Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть

Задача 25.

Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

Пусть событие А: «учащийся верно решит 12 задач»,

событие В: «учащийся решит больше 12 задач»,

событие С: «учащийся решит больше 11 задач».

При этом вероятность события С есть сумма вероятностей событий А и В:

 – это и есть искомая вероятность.

Задача 26.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятность этого события

Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого ) и промахивается (вероятность ). Вероятость этого события

Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:

Задача 27.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Пусть вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы,  – из I хозяйства – . Тогда вероятность того, что яйцo, купленное у агрофирмы,– из II хозяйства – .

Высшую категорию получает яйцо, если оно

1) из I хозяйства и I категории

или

2) из II хозяйства и I категории,

то есть

Задача 28.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года Тогда вероятность противоположного события – хотя бы одна лампа не перегорит – есть

Ответ: 0,999657.

 29. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?

Решение:

От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).

Значит,вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна

8:16=0,5

Ответ: 0,5.

  30.  Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Решение:

Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

4+6; 6+4; 5+5.

Ответ: 3.

Задача 31.

В классе 21 учащийся, среди них два друга— Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение:

Пусть один из друзей находится в некоторой группе.Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 :20 =0,3.

Ответ: 0,3.

  32  Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

Частота события «гарантийный ремонт» составляет

Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.

Разница между частотой события и вероятностью составляет

Ответ: 0,006.

Задача 33.

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение:

На циферблате между 6 часами и 9   располагаются три  часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25.

Заключение

  Рассмотрев теорию вероятностей как науку можно понять, что ее возникновение и дальнейшее развитие нельзя назвать случайностью. Оно было вызвано необходимостью дальнейшего развития математики, техники.

  В жизни происходят случайные события, многие из них имеют неопределенный характер связей.

  Задача науки, называющейся теорией вероятностей – это поиск закономерностей в случайных явлениях.

  Теория вероятностей является инструментом для отыскания неоднозначных связей между событиями во многих отраслях науки, техники, торговли.

  Эта тема является актуальной в наши дни, так как благодаря теории вероятностей можно достоверно вычислить многие полезные вещи. Например, колебания предложения и спроса, цен, многих других экономических аспектов.

  Можно также заметить, что теория вероятностей – основа немаловажной науки статистики.

  Многие ученые, технологи говорят, что именно с помощью теории вероятностей человечество способно создать искусственный разум, работающий как лучшая вычислительная машина.

  В любом случае, с развитием кибернетики, внедрением новейших технологий и ростом промышленности, экономики и эконометрики значение теории вероятностей только возрастает.

  Ее изучение является важной составляющей для тех, кто хочет разбираться в математике, физике, химии, статистике и многих других науках.

Список использованной литературы

1. Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин «Элементарное введение в теорию вероятностей». Москва: издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1970.
2. А.А. Боровков «Теория вероятностей».  Москва: издательство «Наука», 1986.
3. Сайт «wikipedia.ru» - электронный ресурс.

4  ЕГЭ  2015. Математика. Теория вероятностей .ФИПИ, типовые экзаменационные варианты под редакцией И.  В.  Ященко.

     5 4  ЕГЭ  2014. Математика. Теория вероятностей. ФИПИ, типовые        экзаменационные варианты под редакцией И.В.Ященко.