«Геометрическая интерпретация комплексных чисел» в учебнике Ф.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс» Анализ содержания, планирования.
статья по алгебре (10 класс) по теме

Психолого-дидактический анализ темы  «Геометрическая интерпретация комплексных чисел» в процессе профильного обучения математике

  В последние годы происходит модернизация содержания образования, одним из аспектов которой является включение в школьные программы новых разделов и тем, связанных с комплексными числами и с элементами теории вероятностей и математической статистики.

Нынешний общеобразовательный стандарт предусматривает внесение в профильный курс темы «Комплексные числа». Из истории методики математики известно, что данная тема периодически включалась в программу базовой школы и исключалась из нее. Причины обращения к этой теме состоят в том, что ряд фактов элементарной математики связан с комплексными числами (решение квадратных уравнений, тригонометрические формулы кратных аргументов); идея расширения числовых множеств получает логическое завершение. Кроме того, общеизвестно большое прикладное значение теории функций комплексной переменной (в аэродинамики, например), что особенно важно для тех учеников, чье дальнейшее обучение и профессиональная деятельность будут связаны с приложениями математики.

  В настоящее время сделаны конкретные шаги в этом направлении. Профильная дифференциация обучения позволила включить изучение комплексных чисел в программы классов с углубленным изучением математики. Последовательное расширение запаса чисел имеет целью, прежде всего, создание нового математического аппарата, способного решать новые задачи. Применение комплексных чисел в решении геометрических задач, описание всех движений плоскости должны оказать на учащихся более сильное эмоциональное воздействие, показать им пользу комплексных чисел при решении важнейших задач аэродинамики.

  Исходя из всего сказанного, можно сформулировать общую цель внедрения комплексных чисел в школьное обучение. Она состоит в обогащении курса математики, усилении его развивающего потенциала, создании нового математического аппарата, способного решать новые задачи – как внешние для математики, «практические», так и задачи, определяемые внутренними потребностями математики, такими как,  применение комплексных чисел в решении геометрических задач, в описании связи движений плоскости с действиями над комплексными числами и т.п.

Целями изучения данной темы  в 10-11 классах средней школы, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики являются следующие:

• выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме
•  пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел
• в простейших случаях находить комплексные корни уравнений  с действительными коэффициентами
• применять изученные преобразования плоскости к действиям над комплексными числами

  Для успешного изучения и готовности восприятия темы «Комплексные числа» учащиеся 10 - 11 классов должны

уметь:

• анализировать, обобщать изученный материал,

• логически  мыслить  в  нестандартных    условиях,

• пользоваться современными источниками информации,

• проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, тригонометрические функции;

знать:

• идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач,

• геометрический материал, связанный с преобразованиями плоскости (поворотом, параллельным переносом, симметрией, гомотетией);

обладать:

• пространственным воображением,

• математическим мышлением,

• творческими способностями,

• стремлением для продолжения образования и к самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

Все перечисленные знания, умения и навыки соответствуют требованиям к уровню подготовки выпускников. Владея ими,  учащиеся уже 10 класса  на профильном уровне способны изучить данную тему, так как весь геометрический материал, связанный  преобразованиями плоскости  рассмотрен еще в 8 классе. Учащиеся умеют проводить операции над векторами, находить длину вектора, для углов от 0˚ до 180˚ определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов.

Учащиеся знакомы с идеями расширения числовых множеств от множества натуральных до множества действительных чисел, основами тригонометрии, формулами тригонометрии. Изучены методы решения уравнений (в частности, рациональных и квадратных).

Учащиеся умеют выполнять действия с многочленами и алгебраическими дробями, выполнять тождественные преобразования рациональных выражений, числовых выражений, содержащих радикалы.

Литература

1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9. -  М.: Просвещение, 2001.
3. Валуцэ И.И., Дилигун Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука,1990.
4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и                    математический анализ. 11 класс. -  М.: Мнемозина, 2004.
5. Глейзер Г.И. История математики. -  М.: Просвещение, 1988.
6. Глейзер Г.Д. Геометрия 6-9. -  М.: Просвещение, 1987.
7. Гусак А.А., Гусак  Г.М., Гусак Е.А. В мире чисел. Минск: Народная асвета, 1987
8. Дорофеев А.В. Высшая математика. -  М.: Дрофа, 2003.
9. Дорофеев Т.В., Седова Е.А., Троицкая С.Д. Концепция профильного курса математики. // Математика в школе.- № 7, 2006.
10. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10 класс. Под ред. Фирсова В.В. -  М.: Просвещение, 1980.
11. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. -  М.: Просвещение, 1965.
12. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М.: Просвещение,1974.
13. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. -  Минск: Высшая школа, 1984.
14. Молодший В.Н. Основы учения о числе. -  М.: Учпедгиз, 1963.
15. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс. - М.:Мнемозина, 2006.
16. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. -  М.: Просвещение, 2002.
17. Соломонник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. -  М.: Высшая школа, 1978.
18. Стандарты школьного математического образования. //Математика в школе.-  № 4, 2006.
19. Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций. -  М.: Дрофа, 2005.
20. Шарыгин и.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс. - М.: Просвещение, 1983.
21. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику. -  М.: Высшая школа, 1974.
22. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции Справочник для поступающих в вузы. Киев: Наукова думка, 1971.