Методика преподавания начал статистики, комбинаторики и теории вероятностей в 5-6 классах
методическая разработка (5, 6 класс) по теме

Методика преподавания начал статистики, комбинаторики

и теории вероятностей в 5-6 классах

        Имея опыт преподавания математики в 5-6 классах по учебным комплектам В.У. Ванцяна, А.Г. Мордковича и И.И. Зубаревой,  Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон, Н.Я. Виленкина, решением школьного методобъединения, учитывая мнение родителей наших учащихся, мы уже несколько лет работаем по учебникам последнего. Меня лично вполне устраивает доступность, логичность и последовательность изложенного в них материала, удобно распределённый по разделам тренировочный задачный материал, а также разработанный авторами комплект дидактических материалов.

        Единственная тема, которая потребовала серьёзной дополнительной методической работы, это «Основы статистики, комбинаторики и теории вероятностей», которая включена теперь в ГИА и ЕГЭ. В учебниках Н.Я. Виленкина эта тема представлена отдельными задачами (которых совсем немного), что недостаточно для формирования у детей ни понятия о теории, ни начальных навыков решения задач по этой теме.  

        Однако практика показывает, что в 5-6 классах большинство учащихся вполне готовы к восприятию этого материала, если он адаптирован к их возрасту, и  выкроить несколько часов для начала изучения этой темы имеет смысл. Пропедевтика изучения комбинаторики, статистики и теории вероятностей в 5-6 классах значительно упрощает восприятие этой темы в 9 классе  уже на более высоком в теоретическом смысле уровне.

        Используя  элементы технологий на основе личностной ориентации учебного процесса: технологию развивающего обучения, педагогику сотрудничества, технологию индивидуализации обучения а также компьютерные технологии, я построила изучение этой темы включениями в текущий учебный план в такой последовательности: (см приложение 1)

        Результаты контрольных работ показали, что материал был усвоен учащимися хорошо, в процессе работы по этой теме большинство учащихся проявляли интерес к теме и довольно быстро стали оперировать новыми понятиями и приёмами решения задач.

        Однако были и трудности: отдельные ученики пятого класса пропустили уроки по болезни, некоторым задачи  по комбинаторике и теории вероятностей давалась хуже и, как следствие, мотивация для работы  была у них ниже. Родители таких учеников также стали тревожиться об усвоении темы и успеваемости своих детей, один даже нашёл в интернете формулы для расчёта сочетаний и решил с ребёнком задачу с их помощью. Пришлось провести пару дополнительных индивидуальных занятий с такими учащимися, а также разъяснительную работу с их родителями.

        Кроме того, пользуясь возможностями сайта «Дневник.ру», я выложила для всех детей и их родителей краткие памятки-правила решения задач по комбинаторике (см приложение 2) и  теории вероятностей (см приложение 3), а также (после проведённого в классе анализа) написанные контрольные работы в 5 классе (см приложение 4) и 6 классе (см приложение 5) работы с ответами и решениями.    

Приложение 1

5 класс:

1. Начала статистической обработки данных: даём понятия упорядоченного ряда данных, его объёма, медианы, моды, среднего, размаха. Практическая работа в группах по этой теме: записать предложенный ряд в упорядоченном виде, найти его характеристики.

2. Некоторые приёмы решения комбинаторных задач: перебор вариантов, построение дерева вариантов, нахождение числа перестановок из n элементов (понятие факториала).

3. Правила нахождения числа возможных вариантов выбрать m элементов из n (с учётом и без учёта порядка выбранных элементов). Самостоятельная работа по этой теме

4. Первичные сведения по теории вероятностей: понятия невозможного, достоверного и случайного события, классическое определение вероятности, буквенные обозначения. Контрольная работа по теме.

        6 класс:

5. Начала статистической обработки данных: повторяем понятия упорядоченного ряда данных, его объёма, медианы, моды, среднего, размаха. Даём понятие варианты и её частоты. Практическая работа в группах по этой теме: записать предложенный ряд в виде таблицы данных, найти его характеристики.

6. Повторение приёмов решения комбинаторных задач: нахождение числа перестановок из n элементов (понятие факториала), нахождения числа возможных вариантов выбрать m элементов из n (с учётом и без учёта порядка выбранных элементов). Самостоятельная работа по этой теме.

7. Первичные сведения по теории вероятностей: понятия невозможного, достоверного и случайного события, классическое определение вероятности, буквенные обозначения. Даём правила сложения и умножения вероятностей. Контрольная работа по теме.

Приложение 2

Три правила решения задач по комбинаторике для учащихся 5 класса:

1. Число перестановок из n элементов равно  n! («эн факториал»),                                 где n! = n(n-1)( n-2)... 2∙1.

Например:

            Расставить по порядку 5 учеников,

        или раздать пяти детям 5 разноцветных шаров,

        или составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6  различные пятизначные числа так, чтобы цифры не повторялись, можно

5!=5∙4∙3∙2∙1=120 разными способами.

        Ранее такие задачи ребята решали чисто логически. Например, в третьем случае можно рассуждать так: первой цифрой числа можно выбрать одну из пяти имеющихся цифр. Если первая цифра выбрана, тогда второй цифрой можно выбрать одну из четырех оставшихся, третьей — одну из трех, четвертой  - одну из двух, то есть всего чисел получится 5∙4∙3∙2=120.

        2. Выбрать m элементов из n имеющихся можноn(n−1)(n−2)...⏟всегоmмножителей

 способами, если порядок выбранных элементов ВАЖЕН.

Нарпимер:

        Выбрать из пятнадцати конкурсантов победителя, первого призера и второго призера можно 15∙14∙13=2730 разными способами.

        Ранее рассуждения велись аналогично: победителем пожно выбрать одного из пятнадцати конкурсантов. Когда победитель выбран, первым призером можно выбрать одного из четырнадцати оставшихся, затем вторым призером — уже одного из тринадцати.

        3.   Выбрать m элементов из n имеющихся можноn(n−1)(n−2)...⏟всегоmмножителей : m!

 способами, если порядок выбранных элементов НЕ ВАЖЕН.

Нарпимер:

        Выбрать из пятнадцати конкурсантов трех для участия в следующем туре можно (15∙14∙13):(3∙2∙1)=2730:6=455 разными способами.

        Логически объясняем задачу так: поскольку здесь выбранные конкурсанты равноправны, то, чтобы не считать одну тройку несколько раз, результат надо поделить на число перестановок из m (в данном случае трех) элементов, то есть на 3!=3∙2∙1=6.  

        Примечание: на практике при решении задач третьего типа мы стараемся сначала сократить частное, записанное в виде дроби, а потом умножать.

Например:

        сколькими можно выбрать пять сортов конфет из двенадцати имеющихся?

Приложение 3

Начальные сведения по теории вероятностей для 5 класса.

1. Большими латинскими буквами обозначаем события: А, В, С …
2. N – число всевозможных исходов данного опыта.
3. N(А) — число исходов, приводящих к событию А.
4. Р(А) — вероятность наступления события А.

        Вероятностью события называем отношение числа исходов, приводящих к событию А, к числу всевозможных исходов:

Р(А)=N(A)N .

Пример 1. Какова вероятность, что наугад выбранное двузначное число будет оканчиваться нулём?

Решение:  

А -  наугад выбранное двузначное число оканчивается нулём.

Всего двузначных чисел: N = 90.

Двузначных чисел, оканчивающихся нулём: N(А)=9.

Вероятность, что наугад выбранное двузначное число будет оканчиваться нулём:

Р(А)=N(A)N =990 =110 = 0,1.

Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять синих и четыре зелёных шара, одновременно наугад вынимают  три шара. Найти вероятность того, что выбранные шары:

а) все синие;

б) все зелёные.

Решение:

Всего вариантов выбрать три шара из девяти: N =9⋅8⋅73! =9⋅8⋅73⋅2⋅1 = 84 (см. документ задачи по комбинаторике)

а) А — выбранные шары все синие.

Вариантов выбрать три синих шара (три из пяти):  N(А)=5⋅4⋅33!=5⋅4⋅33⋅2⋅1 = 10.

Вероятность, что все три шара окажутся синими:

Р(А)=N(A)N =1084 =542 ≈0,12

б) В — выбранные шары все зелёные.

Вариантов выбрать три зелёных шара (три из четырёх):  N(В)=4⋅3⋅23!=4⋅3⋅23⋅2⋅1 = 4.

Вероятность, что все три шара окажутся синими:

Р(В)=N(В)N =484 =121 = ≈0,05

Приложение 4

5 класс

Контрольная работа.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

 1 вариант.

1. Среди учащихся 5 классов был проведен опрос: сколько времени вы тратите на выполнение домашнего задания по математике. Были получены следующие результаты ( в минутах):

        10, 12, 15, 20, 15, 14, 18, 15, 25, 20.

        Для данного ряда данных найдите:

        а) объем,

        б) моду,

        в) медиану,

        г) среднее значение,

        д) размах.

1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если:

        а) цифры могут повторяться,

        б) цифры должны быть различными.

1. Вычислите:

        а) 6! - 5!   ;

        б)51!49! .    

1. В вазе находятся 4 красных и 7 белых гвоздик. В темноте наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность, что все они окажутся белыми?
2. Сколькими нулями оканчивается число 37! ?        

Контрольная работа.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

 2 вариант.

2. 1. Среди учащихся 5 классов был проведен опрос: сколько времени вы тратите на выполнение домашнего задания по русскому языку. Были получены следующие результаты ( в минутах):

        12, 14, 15, 20, 13, 14, 20, 15, 25, 20.

        Для данного ряда данных найдите:

        а) объем,

        б) моду,

        в) медиану,

        г) среднее значение,

        д) размах.

1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, 0, если:

        а) цифры могут повторяться,

        б) цифры должны быть различными.

1. Вычислите:

        а) 4! ▪ 2!   ;

        б)60!58! .    

4. В вазе находятся 4 красных и 7 белых гвоздик. В темноте наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность, что все они окажутся красными?

5.  Сколькими нулями оканчивается число 49! ?        

Приложение 5

6 класс

Контрольная работа по теме

Комбинаторика. Теория вероятностей.  1 вариант.

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6?

2. Сколько различных четырехзначных чисел, начинающихся с двух нечетных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не повторяются)?

3. Из колоды карт (36 штук) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:

а) валет;

б) «картинка»?

4. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших на них очков равно: а)5, б)12.

5. На одной полке стоит 12 книг, из которых две – сборники стихов, а на другой 15 книг, из которых три – сборники стихов. Наугад с каждой полки берут по одной книге. Какова вероятность того, что обе они окажутся – сборники стихов?

Контрольная работа по теме

Комбинаторика. Теория вероятностей. 2 вариант.

1. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3?

2. Сколько можно составить пятизначных чисел из цифр 1,2,3,4,5, в которых цифры 4 и 5 стоят рядом (цифры в числе не повторяются)?  

3. Из колоды карт (36 штук) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:

а) с четным числом красной масти;

б) король черной масти?

4. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших на них очков равно: а)4, б)10.

5. В одном мешке находятся 3 красных шара и 2 синих, а в другом – 2 красных и 3 синих. Из каждого мешка наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба они окажутся красными?

Ответы и указания:

1 вариант

1. В разряде сотен можем поставить любую из шести предложенных цифр, в разряде десятков — тоже шесть, и шесть — в разряде единиц. Итого 6х6х6=216 чисел.

2. Первыми двумя цифрами числа по условию мы можем поставить 13 или 31 (всего два варианта). Третьей — любую из оставшихся четырёх, четвертой — любую из оставшихся трёх цифр. Итого  2х4х3=12 чисел.

3. Всего возможных вариантов вытащить одну карту из колоды: N=36.

 а)Событие А — вытащили валет. Всего вариантов вытащить валет: N(A) = 4.

Вероятность вытащить из колоды валет: Р(А)=N(A)N=436=19≈0,11.

 б)Событие В — вытащили «картинку». Всего «картинок» в колоде:  N(В) = 16.

Вероятность вытащить из колоды «картинку»: Р(В)=N(В)N=1636=49≈0,44.

4.Всего возможных вариантов выпадания очков на двух кубиках: N=6•6=36.

 а)Событие А — произведение выпавших очков равно 5. Всего таких вариантов: N(A) = 2. (5 и 1, или 1 и 5). Вероятность Р(А)=N(A)N=236=118≈0,06 .

 б)Событие В — произведение выпавших очков равно 12. Всего таких вариантов: N(В) = 4. (4 и 3, или 3 и 4, или 2 и 6, или 6 и 2).

Вероятность  Р(В)=N(В)N=436=19≈0,11.

5. Вероятность выбрать сборник стихов с первой полки212 , а  со второй315 . Вероятность, что обе окажутся сборники стихов: Р=212•315=130 .

Ответы и указания:

2 вариант

1. Первой цифрой шестизначного числа можем записать любую из трёх предложенных цифр, второй — тоже три и так до последней шестой цифры. Итого 3х3х3х3х3х3=729 чисел.

2. Поскольку цифры 4 и 5 должны стоять рядом, будем воспринимать их как одну цифру.

 Тогда составляем четырехзначные числа из четырёх цифр. На первое место можно поставить любую из четырёх  цифр, на второе — любую из оставшихся трёх, на третье — любую из двух оставшихся, на четвертое ставим одну оставшуюся цифру. Итого 4х3х2х1=24. Но так как цифры 4 и 5 можно поменять местами (два варианта), то всего можно составить 24х2=48 чисел.

3. Всего возможных вариантов вытащить одну карту из колоды: N=36.

 а)Событие А — вытащили чётное число красной масти. Всего таких карт: N(A) = 6.

Вероятность вытащить из колоды чётное число красной масти: Р(А)=N(A)N=636=16≈0,17.

 б)Событие В — вытащили короля чёрной масти. Всего чёрных королей в колоде:  N(В) = 2.

Вероятность вытащить из колоды валет: Р(В)=N(В)N=236=118≈0,06.

4.Всего возможных вариантов выпадания очков на двух кубиках: N=6•6=36.

а) Событие А — произведение выпавших очков равно 4. Всего таких вариантов: N(A) = 3. (2 и 2, или 1 и 4, или 4 и 1). Вероятность Р(А)=N(A)N=336=112≈0,08 .

 б)Событие В — произведение выпавших очков равно 10. Всего таких вариантов: N(В) = 2. (5 и 2, или 2 и 5).

Вероятность  Р(В)=N(В)N=236=118≈0,06.  а) 3/36=1/12      б) 2/36=1/18

5.  Вероятность выбрать красный шар из первого мешка35 , а  из второго25 . Вероятность, что оба шара окажутся красными: Р=35•25=625 .