Главные вкладки

    Методика преподавания начал статистики, комбинаторики и теории вероятностей в 5-6 классах
    методическая разработка (5, 6 класс) по теме

    Краткий курс для обучающихся 5-6 классов и их родителей

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Методика преподавания начал статистики, комбинаторики

    и теории вероятностей в 5-6 классах

            Имея опыт преподавания математики в 5-6 классах по учебным комплектам В.У. Ванцяна, А.Г. Мордковича и И.И. Зубаревой,  Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон, Н.Я. Виленкина, решением школьного методобъединения, учитывая мнение родителей наших учащихся, мы уже несколько лет работаем по учебникам последнего. Меня лично вполне устраивает доступность, логичность и последовательность изложенного в них материала, удобно распределённый по разделам тренировочный задачный материал, а также разработанный авторами комплект дидактических материалов.

            Единственная тема, которая потребовала серьёзной дополнительной методической работы, это «Основы статистики, комбинаторики и теории вероятностей», которая включена теперь в ГИА и ЕГЭ. В учебниках Н.Я. Виленкина эта тема представлена отдельными задачами (которых совсем немного), что недостаточно для формирования у детей ни понятия о теории, ни начальных навыков решения задач по этой теме.  

            Однако практика показывает, что в 5-6 классах большинство учащихся вполне готовы к восприятию этого материала, если он адаптирован к их возрасту, и  выкроить несколько часов для начала изучения этой темы имеет смысл. Пропедевтика изучения комбинаторики, статистики и теории вероятностей в 5-6 классах значительно упрощает восприятие этой темы в 9 классе  уже на более высоком в теоретическом смысле уровне.

            Используя  элементы технологий на основе личностной ориентации учебного процесса: технологию развивающего обучения, педагогику сотрудничества, технологию индивидуализации обучения а также компьютерные технологии, я построила изучение этой темы включениями в текущий учебный план в такой последовательности: (см приложение 1)

            Результаты контрольных работ показали, что материал был усвоен учащимися хорошо, в процессе работы по этой теме большинство учащихся проявляли интерес к теме и довольно быстро стали оперировать новыми понятиями и приёмами решения задач.

            Однако были и трудности: отдельные ученики пятого класса пропустили уроки по болезни, некоторым задачи  по комбинаторике и теории вероятностей давалась хуже и, как следствие, мотивация для работы  была у них ниже. Родители таких учеников также стали тревожиться об усвоении темы и успеваемости своих детей, один даже нашёл в интернете формулы для расчёта сочетаний и решил с ребёнком задачу с их помощью. Пришлось провести пару дополнительных индивидуальных занятий с такими учащимися, а также разъяснительную работу с их родителями.

            Кроме того, пользуясь возможностями сайта «Дневник.ру», я выложила для всех детей и их родителей краткие памятки-правила решения задач по комбинаторике (см приложение 2) и  теории вероятностей (см приложение 3), а также (после проведённого в классе анализа) написанные контрольные работы в 5 классе (см приложение 4) и 6 классе (см приложение 5) работы с ответами и решениями.    

    Приложение 1

    5 класс:

    1. Начала статистической обработки данных: даём понятия упорядоченного ряда данных, его объёма, медианы, моды, среднего, размаха. Практическая работа в группах по этой теме: записать предложенный ряд в упорядоченном виде, найти его характеристики.

    1. Некоторые приёмы решения комбинаторных задач: перебор вариантов, построение дерева вариантов, нахождение числа перестановок из n элементов (понятие факториала).

    1. Правила нахождения числа возможных вариантов выбрать m элементов из n (с учётом и без учёта порядка выбранных элементов). Самостоятельная работа по этой теме

    1. Первичные сведения по теории вероятностей: понятия невозможного, достоверного и случайного события, классическое определение вероятности, буквенные обозначения. Контрольная работа по теме.

            6 класс:

    1. Начала статистической обработки данных: повторяем понятия упорядоченного ряда данных, его объёма, медианы, моды, среднего, размаха. Даём понятие варианты и её частоты. Практическая работа в группах по этой теме: записать предложенный ряд в виде таблицы данных, найти его характеристики.

    1. Повторение приёмов решения комбинаторных задач: нахождение числа перестановок из n элементов (понятие факториала), нахождения числа возможных вариантов выбрать m элементов из n (с учётом и без учёта порядка выбранных элементов). Самостоятельная работа по этой теме.

    1. Первичные сведения по теории вероятностей: понятия невозможного, достоверного и случайного события, классическое определение вероятности, буквенные обозначения. Даём правила сложения и умножения вероятностей. Контрольная работа по теме.

    Приложение 2

    Три правила решения задач по комбинаторике для учащихся 5 класса:

    1. Число перестановок из n элементов равно  n! («эн факториал»),                                 где n! = n(n-1)( n-2)... 2∙1.

    Например:

                Расставить по порядку 5 учеников,

            или раздать пяти детям 5 разноцветных шаров,

            или составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6  различные пятизначные числа так, чтобы цифры не повторялись, можно

    5!=5∙4∙3∙2∙1=120 разными способами.

            Ранее такие задачи ребята решали чисто логически. Например, в третьем случае можно рассуждать так: первой цифрой числа можно выбрать одну из пяти имеющихся цифр. Если первая цифра выбрана, тогда второй цифрой можно выбрать одну из четырех оставшихся, третьей — одну из трех, четвертой  - одну из двух, то есть всего чисел получится 5∙4∙3∙2=120.

            2. Выбрать m элементов из n имеющихся можноn(n−1)(n−2)...⏟всегоmмножителей

     способами, если порядок выбранных элементов ВАЖЕН.

    Нарпимер:

            Выбрать из пятнадцати конкурсантов победителя, первого призера и второго призера можно 15∙14∙13=2730 разными способами.

            Ранее рассуждения велись аналогично: победителем пожно выбрать одного из пятнадцати конкурсантов. Когда победитель выбран, первым призером можно выбрать одного из четырнадцати оставшихся, затем вторым призером — уже одного из тринадцати.

            3.   Выбрать m элементов из n имеющихся можноn(n−1)(n−2)...⏟всегоmмножителей : m!

     способами, если порядок выбранных элементов НЕ ВАЖЕН.

    Нарпимер:

            Выбрать из пятнадцати конкурсантов трех для участия в следующем туре можно (15∙14∙13):(3∙2∙1)=2730:6=455 разными способами.

            Логически объясняем задачу так: поскольку здесь выбранные конкурсанты равноправны, то, чтобы не считать одну тройку несколько раз, результат надо поделить на число перестановок из m (в данном случае трех) элементов, то есть на 3!=3∙2∙1=6.  

            Примечание: на практике при решении задач третьего типа мы стараемся сначала сократить частное, записанное в виде дроби, а потом умножать.

    Например:

            сколькими можно выбрать пять сортов конфет из двенадцати имеющихся?

    Приложение 3

    Начальные сведения по теории вероятностей для 5 класса.

    1. Большими латинскими буквами обозначаем события: А, В, С …
    2. N – число всевозможных исходов данного опыта.
    3. N(А) — число исходов, приводящих к событию А.
    4. Р(А) — вероятность наступления события А.

            Вероятностью события называем отношение числа исходов, приводящих к событию А, к числу всевозможных исходов:

    Р(А)=N(A)N .

    Пример 1. Какова вероятность, что наугад выбранное двузначное число будет оканчиваться нулём?

    Решение:  

    А -  наугад выбранное двузначное число оканчивается нулём.

    Всего двузначных чисел: N = 90.

    Двузначных чисел, оканчивающихся нулём: N(А)=9.

    Вероятность, что наугад выбранное двузначное число будет оканчиваться нулём:

    Р(А)=N(A)N =990 =110 = 0,1.

    Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять синих и четыре зелёных шара, одновременно наугад вынимают  три шара. Найти вероятность того, что выбранные шары:

    а) все синие;

    б) все зелёные.

    Решение:

    Всего вариантов выбрать три шара из девяти: N =9⋅8⋅73! =9⋅8⋅73⋅2⋅1 = 84 (см. документ задачи по комбинаторике)

    а) А — выбранные шары все синие.

    Вариантов выбрать три синих шара (три из пяти):  N(А)=5⋅4⋅33!=5⋅4⋅33⋅2⋅1 = 10.

    Вероятность, что все три шара окажутся синими:

    Р(А)=N(A)N =1084 =542 ≈0,12

    б) В — выбранные шары все зелёные.

    Вариантов выбрать три зелёных шара (три из четырёх):  N(В)=4⋅3⋅23!=4⋅3⋅23⋅2⋅1 = 4.

    Вероятность, что все три шара окажутся синими:

    Р(В)=N(В)N =484 =121 = ≈0,05

    Приложение 4

    5 класс

    Контрольная работа.

    Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

     1 вариант.

    1. Среди учащихся 5 классов был проведен опрос: сколько времени вы тратите на выполнение домашнего задания по математике. Были получены следующие результаты ( в минутах):

            10, 12, 15, 20, 15, 14, 18, 15, 25, 20.

            Для данного ряда данных найдите:

            а) объем,

            б) моду,

            в) медиану,

            г) среднее значение,

            д) размах.

    1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9, если:

            а) цифры могут повторяться,

            б) цифры должны быть различными.

    1. Вычислите:

            а) 6! - 5!   ;

            б)51!49! .    

    1. В вазе находятся 4 красных и 7 белых гвоздик. В темноте наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность, что все они окажутся белыми?
    2. Сколькими нулями оканчивается число 37! ?        

    Контрольная работа.

    Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

     2 вариант.

    1. 1. Среди учащихся 5 классов был проведен опрос: сколько времени вы тратите на выполнение домашнего задания по русскому языку. Были получены следующие результаты ( в минутах):

            12, 14, 15, 20, 13, 14, 20, 15, 25, 20.

            Для данного ряда данных найдите:

            а) объем,

            б) моду,

            в) медиану,

            г) среднее значение,

            д) размах.

    1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, 0, если:

            а) цифры могут повторяться,

            б) цифры должны быть различными.

    1. Вычислите:

            а) 4! ▪ 2!   ;

            б)60!58! .    

    4. В вазе находятся 4 красных и 7 белых гвоздик. В темноте наугад выбирают три гвоздики. Какова вероятность, что все они окажутся красными?

    5.  Сколькими нулями оканчивается число 49! ?        

    Приложение 5

    6 класс

    Контрольная работа по теме

    Комбинаторика. Теория вероятностей.  1 вариант.

    1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6?

    2. Сколько различных четырехзначных чисел, начинающихся с двух нечетных цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4,6,8 (цифры в числе не повторяются)?

    3. Из колоды карт (36 штук) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:

    а) валет;

    б) «картинка»?

    4. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших на них очков равно: а)5, б)12.

    5. На одной полке стоит 12 книг, из которых две – сборники стихов, а на другой 15 книг, из которых три – сборники стихов. Наугад с каждой полки берут по одной книге. Какова вероятность того, что обе они окажутся – сборники стихов?

    Контрольная работа по теме

    Комбинаторика. Теория вероятностей. 2 вариант.

    1. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3?

    2. Сколько можно составить пятизначных чисел из цифр 1,2,3,4,5, в которых цифры 4 и 5 стоят рядом (цифры в числе не повторяются)?  

    3. Из колоды карт (36 штук) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:

    а) с четным числом красной масти;

    б) король черной масти?

    4. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших на них очков равно: а)4, б)10.

    5. В одном мешке находятся 3 красных шара и 2 синих, а в другом – 2 красных и 3 синих. Из каждого мешка наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба они окажутся красными?

    Ответы и указания:

    1 вариант

    1. В разряде сотен можем поставить любую из шести предложенных цифр, в разряде десятков — тоже шесть, и шесть — в разряде единиц. Итого 6х6х6=216 чисел.

    2. Первыми двумя цифрами числа по условию мы можем поставить 13 или 31 (всего два варианта). Третьей — любую из оставшихся четырёх, четвертой — любую из оставшихся трёх цифр. Итого  2х4х3=12 чисел.

    3. Всего возможных вариантов вытащить одну карту из колоды: N=36.

     а)Событие А — вытащили валет. Всего вариантов вытащить валет: N(A) = 4.

    Вероятность вытащить из колоды валет: Р(А)=N(A)N=436=190,11.

     б)Событие В — вытащили «картинку». Всего «картинок» в колоде:  N(В) = 16.

    Вероятность вытащить из колоды «картинку»: Р(В)=N(В)N=1636=490,44.

    4.Всего возможных вариантов выпадания очков на двух кубиках: N=66=36.

     а)Событие А — произведение выпавших очков равно 5. Всего таких вариантов: N(A) = 2. (5 и 1, или 1 и 5). Вероятность Р(А)=N(A)N=236=1180,06 .

     б)Событие В — произведение выпавших очков равно 12. Всего таких вариантов: N(В) = 4. (4 и 3, или 3 и 4, или 2 и 6, или 6 и 2).

    Вероятность  Р(В)=N(В)N=436=190,11.

    5. Вероятность выбрать сборник стихов с первой полки212 , а  со второй315 . Вероятность, что обе окажутся сборники стихов: Р=212315=130 .

    Ответы и указания:


    2 вариант

    1. Первой цифрой шестизначного числа можем записать любую из трёх предложенных цифр, второй — тоже три и так до последней шестой цифры. Итого 3х3х3х3х3х3=729 чисел.

    2. Поскольку цифры 4 и 5 должны стоять рядом, будем воспринимать их как одну цифру.

     Тогда составляем четырехзначные числа из четырёх цифр. На первое место можно поставить любую из четырёх  цифр, на второе — любую из оставшихся трёх, на третье — любую из двух оставшихся, на четвертое ставим одну оставшуюся цифру. Итого 4х3х2х1=24. Но так как цифры 4 и 5 можно поменять местами (два варианта), то всего можно составить 24х2=48 чисел.

    3. Всего возможных вариантов вытащить одну карту из колоды: N=36.

     а)Событие А — вытащили чётное число красной масти. Всего таких карт: N(A) = 6.

    Вероятность вытащить из колоды чётное число красной масти: Р(А)=N(A)N=636=160,17.

     б)Событие В — вытащили короля чёрной масти. Всего чёрных королей в колоде:  N(В) = 2.

    Вероятность вытащить из колоды валет: Р(В)=N(В)N=236=1180,06.

    4.Всего возможных вариантов выпадания очков на двух кубиках: N=66=36.

    а) Событие А — произведение выпавших очков равно 4. Всего таких вариантов: N(A) = 3. (2 и 2, или 1 и 4, или 4 и 1). Вероятность Р(А)=N(A)N=336=1120,08 .

     б)Событие В — произведение выпавших очков равно 10. Всего таких вариантов: N(В) = 2. (5 и 2, или 2 и 5).

    Вероятность  Р(В)=N(В)N=236=1180,06.  а) 3/36=1/12      б) 2/36=1/18

    5.  Вероятность выбрать красный шар из первого мешка35 , а  из второго25 . Вероятность, что оба шара окажутся красными: Р=3525=625 .


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Примерная разработка уроков по статистике и теории вероятностей для 7-го класса

    Данная статья содержит разработки уроков по теме описательная статистика для7-го класса...

    Комбинаторика,статистика и теория вероятностей на итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов

    Выступление на заседании ГМО города Челябинска. Выступление представлено в форме статьи. Предлагается список литературы для учителей  математики 9 и 11 классов и методические рекомендации при орг...

    Презентация к выступлению по теме "Комбинаторика, статистика и теория вероятностей на итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов"

    Данная презентация является дополнением к выступлению на заседании ГМО города Челябинска. Особое внимание уделяется методам решения задач по данной теме. Кроме того, выполнен разбор  решения...

    Кружок для 9 класса "«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей » "

    Структура организации занятий кружка «Элементы комбинаторики,  статистики и теории вероятностей » в 9 классе....

    Урок профильного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики» Вероятность: мера случайности

    Урок профильного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики» Вероятность: мера случайности Цели урока: Вывод и отработка классического определения вероятности. Построение...

    Методика преподавания элементов статистики и теории вероятностей в старших классах

           Элективный курс создает условия для развития различных способностей и позволяет воспитывать дух сотрудничества в процессе совместного решения задач, уважительного отн...

    «Методика преподавания элементов статистики и теории вероятностей в старших классах»

    Актуальные проблемы преподавания математики в современной школе заключаются в пересмотре огромного опыта, связанного с активизацией  обучения школьников.  Проблема воспитания творческой акти...