Методическое пособие "Логарифмы. Преобразования, уравнения, неравенства"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

ГЛАВА II    ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

(из методического пособия «Логарифмы. Преобразования, уравнения, неравенства»).

Методы решения уравнений.

1. Простейшее логарифмическое уравнение.

         Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида     ,  

где  а > 0, . Это уравнение имеет единственное решение         

Пример 1.  Решить уравнение  

Пример 2.  Решить уравнение  

 Пример 3.  Решить уравнение  

Решение:

Допустимые значения х определяются условиями:

Решаем уравнение

  ,            

С учетом системы ОДЗ получаем один корень:  

 Ответ: 1

Задания для самостоятельного решения:

1.   = - 1;

2.   = 4;

3.   2

4.  

5.   -

6.  

7.  ;

8.   = 2;

9.  

10.

2. Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим.

При решении уравнений вида  

где а > 0, используется метод потенцирования.

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению  ;

получаем х=1, х=4.

Ответ:  1;4.

Пример 2. Решить уравнение  

Решение:

Ответ:  4.

Пример 3. Решить уравнение        

Решение: Запишем равносильную систему:

Уравнение системы сводится к квадратному уравнению

   корнями которого являются числа 1 и 4,  из которых только 4

удовлетворяет неравенству системы.

Ответ:  4.

        Иногда при решении уравнений используют свойства логарифмов. 

Пример 4.  Решить уравнение

Решение: Найдем область определения уравнения:

 =. Так как равны логарифмы, равны их основания, то равны и выражения, стоящие под знаком логарифма.

 Получаем   = ;     Оба корня удовлетворяют условию      

Ответ: 5; .

Задания для самостоятельного решения:

 1.  

2.  

3.    

4.   ;

5.  

6.  

7.   =2;

8.  

9.  

10.          

3. Метод замены переменной.

         Если уравнение можно привести к виду  , то, полагая

t = ,  получим уравнение . 

Пример 1.  Решить уравнение

Решение: Преобразуем уравнение, считая х > 0:

 уравнение примет вид

, корни которого t = 1, t = -7. Значит данное уравнение равносильно совокупности уравнений

  = -7, следовательно  х = 2, х =  . Оба корня удовлетворяют условию      

Ответ: 2;  .

Пример2. Решить уравнение log2(2x) - log2(4x) = 3

Решение: Преобразуем уравнение, считая х > 0:

(log22 + log2x) - (log24 + log2x) = 3(21og28 - 21og2x)2.

Пусть t = log2x. Тогда получим уравнение (1+t)(2+t)=3(6-2t)2, корнями которого являются. Таким образом, приходим к совокупности

и в результате получаем: х =4; . 

Ответ: 4; .

Задания для самостоятельного решения:

 1.  2 +1=0;  

2.    +  – 7 =0;

3.  

4.   = 2

5.    + 2  +

6.    + 2

7.   lglgх + lg(lg- 2) =0;

8.   2lglgх = lg(7 – 2lgх) – lg5;

9.    

10.  3

4. Метод логарифмирования.

Этот метод основан на следующем утверждении: если функции f(x) и h(х) принимают положительные значения на ОДЗ и а>0, а  1, то уравнение f(х) = h(x) равносильно уравнению на  ОДЗ.

Пример1. Решить уравнение         =0,01.

Решение: Область определения уравнения х>0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения, принимают только положительные значения, а тогда логарифмы этих выражений существуют. Взяв логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 10, получим уравнение

= lg 0,01  или     (1-lg х) lg х= -2.

Пусть u = lg х, получим  уравнение   и2 - и -2 = 0,   откуда

. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:

.

Получаем      . 

Проверка: Оба найденных значения х принадлежат области определения уравнения, таким образом,  

Ответ: 0,1; 100.

Пример2. Решить уравнение

Решение:  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 ( можно 5 или 10).  Получим  ,

  = ,  

  ,

группируем

Ответ: 1; . 

Задания для самостоятельного решения:

1.  

2.  

3.   = 10;

4.  

5.  

6.  

7.  

8.    = 500;

9.   ;

10.   =1.

5. Метод разложения на множители.

Пример1. Решить уравнение

Решение: ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

Пусть.

Получим уравнение , которое решим как квадратное относительно а и преобразуется к виду .

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

В результате получаем  х = 6,  х = -1,  х = -4 . В область определения уравнения входит только х = 6.

Ответ: 6. 

Задания для самостоятельного решения:

1.   3х+ 6х;

2.  

3.      + 1 = ;

4.  

5.  

6.   х  + 1 = 4х + 2

7.   3 +

8.   3

9.   3 -  = 5;

10.    – х

 6. Использование монотонности логарифмической функции.

Пример1. Решить уравнение  

Решение: Область определения уравнения х, кроме того  х   Запишем уравнение в виде

Заметим, что функция, стоящая в правой части уравнения – возрастает, а функция, стоящая в левой части уравнения – убывает.  Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня, который находим подбором, х = 4.

Ответ: 4.

Пример2. Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде

Так как   , то при всех х дробь,

С другой стороны, разность   2 - (π– 2x)2 ≤ 2.  Рассматривая только те значения х, при которых 0 < 2 - (π - 2х)2 ≤ 2, используя монотонность функции  log2t,  приходим к неравенствам

из которых следует, что равенство левой и правой частей уравнения выполняется только в том случае, когда

Так как число    удовлетворяет первому уравнению системы, то оно является решением данного уравнения.

Ответ:  .

 Задания для самостоятельного решения:

1.   lgх +  = 0;

2.    = 2;

3.    = х – 3;

4.  

5.  

6.   1 – lnх = ;

7.    =

8.  2=