Технологическая карта урока по теме:"«Основные тригонометрические тождества»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме

«Основные тригонометрические тождества»

Мудрые слова: «Величие человека в его способности мыслить»

                                                                                         Б.Паскаль

Технологическая карта урока

Учитель: Курманаева Л.П.

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс:10

Тема: Основные тригонометрические тождества

Количество уроков по теме: 48

Место урока в системе уроков по теме: 5

Тип урока: повторительно-обобщающий

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Технологии: информационно-коммуникационные,

Метод:

Средства обучения: презентация Power Point ,компьютер, проектор, экран, маска для сценки, тематическая наглядность (тригонометрический круг), раздаточный материал

(карточки)

Цели урока:

     образовательные - систематизация уже имеющихся  знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений

      воспитательные - воспитание самостоятельности, работоспособности, способности к сотрудничеству, воспитание патриотизма

      развивающие - развитие коммуникативных способностей, навыков сотрудничества, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики

Задачи урока:

      -  знакомство учащихся  с историей математики

      -повторение ранее изученного материала по тригонометрии

      -повторение формул тригонометрии

      - отработка навыка преобразования тригонометрических выражений с помощью основных тригонометрических формул

Оборудование:

      - мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, костюм для сценки, карточки

Методы деятельности: репродуктивный и частично- поисковый.

      Использование новейших технологий познавательной деятельности: презентации, контроль знаний в тестовом режиме, игровая технология, защита проекта

   Соотношение репродуктивных и продуктивных форм деятельности, самостоятельная деятельность учащихся:

Репродуктивная форма 50%

Продуктивная форма 50%

Самостоятельная работа 30 мин.

Ход урока:

  1. Вступительное слово учителя:

«Дорогие друзья!

      Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия  или столетия не поддаются решению.

 Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть.

      Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли.

       Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

       Я начала наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек.

       На нашем уроке вы познакомитесь с тремя эпизодами, мимо которых никак нельзя пройти равнодушными

    . Они взяты наугад из истории математики, густо насыщенной такими эпизодами - героическими и драматическими, исполненными высокого пафоса и гражданского мужества, а нередко забавными и курьезными.

2.Ученик рассказывает историю первую  -  «Гипатия»

ГИПАТИЯ

 -Вот она, хватайте ее! - архиепископ Кирилл властным жестом указал на паланкин, в котором возлежала молодая красивая женщина.

Толпа, окружавшая архиепископа, с диким ревом бросилась на паланкин. Четверо рослых нубийцев - носильщиков были вмиг опрокинуты и десятки грязных, грубых рук потянулись к женщине.

-Сюда ее, сюда! - продолжал неистовствовать Кирилл. - Тащи ее, проклятую чернокнижницу и язычницу!

Гипатия тщетно пыталась прикрыть свою голову от ударов обезумевшей толпы. Один из слуг Кирилла схватил за волосы несчастную женщину и поволок ее к тому месту, где стоял архиепископ.

-Братья мои во Христе! - зычным голосом закричал Кирилл, стараясь перекрыть им шум возбужденной толпы. - Эта мерзкая язычница не признала учения нашего божественного учителя. Она проповедует богопротивные догматы математики и философии, много лет льет она ядовитое зелье в дело нашей святой христианской церкви! Пришла пора рассчитаться с нечестивицей! Убить исчадие геенны! Очистить наш богоспасаемый город от скверны греха и словоблудия!

Звериный рев потряс площадь. Оборванные, грязные, десятки лет не мытые и нечесаные пустынники, утратившие во славу Христа человеческий разум, ринулись на женщину…

Это случилось в Александрии в 415 году. Гипатия Александрийская была первой известной нам женщиной-математиком. Она была растерзана толпой фанатиков - христиан по наущению архиепископа Кирилла за то, что не убоявшись угроз, продолжала преподавать в Александрийском музее философию и математику.

3. Сообщение темы и целей урока

учитель:

Мы переходим непосредственно к теме нашего урока: «Мир тригонометрии- основные тригонометрические тождества» Сообщается цель урока.

4.Актуализация опорных знаний:

1)Сформулируйте определение синуса, косинуса и тангенса  острого угла в прямоугольном треугольнике и найдите синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, противолежащий катет которого равен 8, а гипотенуза равна 10.

2) Сформулируйте определение синуса, косинуса и тангенса  угла поворота на единичной окружности.

3) Назовите область определения и область значений тригонометрических функций, знаки тригонометрических функций по четвертям.

4) Что такое 1 радиан?

5)Перевести:

 в радианы

а)30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,75°,180°,210°,225°,270°,7200°

  в градусы

π/3, π/2, -2π/3,3π/ 4, -3π, π/18, -5π/6, π/36.

6)Может ли синус быть равным

0,75; 5/3; -0,35; 0; √3 -2 ?

7)Найдите область значения функции:

а)у = 1+соsх, б) у = - соsх , в)у = 1- соsх , г)‌‌‌‌у = 6+ соs2х

8) Смежные углы относятся как 1:3. Найдите их в радианах.

9)Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как          2:3:4

‌ А теперь мы постараемся ответить на вопрос,  зачем нужна тригонометрия и  познакомимся с несколькими фактами из истории тригонометрии.

5.Ученик с  презентацией  «Зачем нужна тригонометрия?»

Зачем нужна тригонометрия?

Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы - модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Звук, электрический ток, радио представляют собой колебания различной частоты и  амплитуды.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (определение расстояния до недоступных предметов, составление географических карт и пр.).

Ещё древнегреческие   ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий ученый Птолемей в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря ей. В VIII в. усилиями математиков Ближнего и Среднего востока тригонометрия выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической дисциплиной. К этому времени хорды в тригонометрии были заменены синусами (отношениями половины хорды к радиусу круга), были введены понятия косинуса и тангенса, а также составлены таблицы значений тригонометрических функций.

Значительный вклад в тригонометрию внесли И. Мюллер Н.Коперник  И.Кеплер Й. Бюрг Ф.Виет. В их трудах встречаются сложные преобразования тригонометрических выражений и выводятся многие формулы.

Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась. Лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. она приобрела современный вид, удобный для решения вычислительных задач.

И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций.

7. Повторение формул приведения

Учитель: Настало время повторить формулы приведения. Сначала послушайте такую историю:

История: (Лошадиное правило).

     В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента ( п/2+ а )  или  (п + а).  

       Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ,  то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

Ученик отвечает у доски, а другой ученик,  надевший на голову маску лошади, помогает первому, мотая головой:

1) sin (90° + х) =

2) cos (180°- х) =

3) tg (180° + х) =

4) sin (360° + х)  =

5) sin (270° -  х) =

6) cos (7 п + х) =

8.Самостоятельная работа  с последующей проверкой

1) cos (180°+ х) = - cos х

2)  tg (180° - х) = -  tg х

3)  sin (270° + х)  = - cos х

4) tg (270° - х) =  сtg х

5) ) cos (360°- х) = cos х

            6) tg (90° + х) = - сtg х

9.Ученик рассказывает историю 2  -                АРХИМЕД

АРХИМЕД

Жителей Сиракуз трудно было удивить неожиданностями, но то что случилось в жаркий полдень лета от первой Олимпиады , не оставило равнодушными даже их. По главной улице города, по раскаленным от жаркого солнца плитам мостовой, высоко задирая кверху бороду, бежал старик и с восторгом выкрикивал одно и то же слово:

-Эврика! Эврика!

Старик был почти гол, бурая пена пятнами покрывала его спину и время от времени падала наземь, сорванная быстрым и резким движением. Вслед за стариком бежала стая ребятишек, создавая шум, который был слышен на морском берегу. На этот шум с разных сторон сбегались праздные сиракузсцы. Часть из них устремлялась вслед за мальчишками, часть с недоумением глазела на это забавное зрелище.

Бег закончился перед домом Гиерона. Старик, приняв немножко театральную позу, произнес торжественным голосом:

-Царь! Эврика! Я узнал, сколько золота содержится в короне!

Никто не отозвался.

-Царь! - повысил голос старик. - Я нашел способ узнать, обманул тебя ювелир или нет!

Снова никакого ответа. В толпе загудели, пытаясь выяснить, кто это такой.

Плешивый горшечник высказал предположение, что старика, кажется, зовут Архимедом. Так именно называл его Гиерон, когда они два дня назад беседовали на городской площади. Несколько голосов немедленно подтвердили это…

Это случилось в 3 в. до н. э. Говорят, что примерно так вел себя Архимед, когда открыл свой знаменитый закон о погружении тел в жидкость.

10.Повторение основных тригонометрических формул.

Учитель - повторяем основные тригонометрические формулы, на доске написано начало формулы, а окончание должен назвать кто-либо из учеников.

11.Проверка усвоенного материала с помощью теста на упрощение тригонометрических выражений с использованием основных тригонометрических формул

Тест

1) Упростить выражение:  7 cos2а +7sin2а - 5

а) 1+cos2а;     б) 2;      в) –12;       г) 12

2) Упростить выражение: 5 – 4 sin2а - 4cos2а

а) 1;     б) 9;     в) 1+8sin2а;      г) 1+cos2а.

3) Упростить выражение:  (1 – cos2а): cos2а – tg2а

а) ctg2а;   б) 0;   в) ctg2а - tg2а;   г) 2tg2а

4) Упростить выражение cos4х + sin2х·cos2х

а) cos2x;     б) 2sin2х;     в)- cos2х;     г) cos4х

Ответы: 1б, 2а, 3б, 4а

Ответы теста на экране через 3 минуты

13.Далее самостоятельная работа по карточкам:

1 вариант.

1) 1 - sin α cos α ctg α

2)  +

3) (sin a + cos a) 2 - 2 sin a cos a

4)

5) +

2 вариант

1) 1 - sin a cos a tg a

2) +

3) sin4a + cos4a + 2sin2a cos2a

4)

5) +

14.Ученик рассказывает историю 3   -  Эйлер                                                                                                                                        

ЭЙЛЕР.

… Работа была трудной. Даже для него, привыкшего считать безделками такие дела, перед которыми другие в бессилии опускали руки. Цифры, цифры, цифры…Колонки цифр, страницы цифр, стопки исписанных страниц, выкладки, и еще выкладки.

Стенные часы пробили половину третьего. Эйлер встал из-за стола. Комната была погружена во мрак. Свет единственной свечи, стоявшей на столе, освещал лишь небольшой заваленный бумагами круг.

Несколько шагов по мягкому ковру, несколько взмахов руками. Глубока усталость, вызванная изнурительной много часовой работой, не проходила. Ломило грудь, ныла поясница, несколько раз мучительно резко потянуло в глазу. Откуда такие немощи? Это в двадцать-то восемь лет!

На какой-то миг пронзительно захотелось бросить все, залечь в теплую мягкую постель и отоспаться за все долгие-долгие бессонные ночи. Но это невозможно. Его честь, честь ученого поставлена на карту. Надо за трое суток выполнить важное задание, во что бы то ни стало. Трудно сказать, почему он так опрометчиво взял на себя это обязательство.

Работа и вправду оказалась трудной, но в то же время чрезвычайно захватывающей. Настолько захватывающей, что математик, забывая сон и еду, весь отдавался во власть чарующей гармонии строгих зависимостей.

Эйлер потер глаза ладонью. Боль, кажется, немножко утихла.

И снова формулы, цифры, формулы…

Как хорошо сказал кто-то из старых геометров - жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой.

Работа была окончена в срок. Но оставила после себя страшный, чудовищный след - глаз, его правый глаз, так мучительно нывший в последнее время, не выдержал сверхчеловеческого напряжения и вытек. Двадцатидевятилетний математик стал кривым. Но не перестал вычислять. А когда вычислять стало уже нельзя, прекратилась и жизнь.

После его смерти сказали так:

«Эйлер перестал вычислять и жить. Именно так - вычислять, а потому и жить!»

Это был один из величайших математиков всех времен. Родился он в начале восемнадцатого века в Швейцарии, но почти половину своей долгой жизни прожил в России. Здесь он умер, здесь и покоится его прах. Мы по праву называем Эйлера отечественным математиком.

15.Подведение итогов урока:   учитель с заключительным словом

Заключение

Итак, одну терзают разъяренные христиане, другой забылся  до того, что, выскочив из ванны, побежал по улице почти голым,

третий от чрезмерного напряжения теряет свой глаз…

       Математика -  это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет себе окружающий мир. Но это -  особое орудие. Оно покоряет не только внешний мир, оно властно подчиняет себе и того, кто за него берется. А, подчинив, оно не остановит его перед тем, чтобы принести во имя науки любые жертвы, которые она от него потребует. Чтобы сделать в математике что-то действительно ценное, надо любить, ее так, как любил ее каждый из трех упомянутых математиков, как любили ее десятки и сотни других ее ревнителей.

    Не спорьте с безумствующими архиепископами, не бегайте голыми по улицам, не жертвуйте своими глазами во имя науки, но сделайте хотя бы малую часть того, что сделал каждый из них, и мир навсегда останется Вам благодарным.

 Рефлексия урока

Продолжите фразы:        

      - сегодня на уроке я узнал …

      - сегодня на уроке я научился…

      - сегодня на уроке я повторил…

      - сегодня на уроке я познакомился…

      - сегодня на уроке мне понравилось…

                                     Источники информации:

http://laila50.livejournal.com/111671.html

http://blogs.mail.ru/mail/kareglazka_liana/726E0A12FACCD455.html

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Archimedes_and_the_burning_mirrors.html

http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARHIMED.html?page=0,3

http://kid-mathematics.narod.ru/eiler.htm

http://flotprom.ru/publications/history/slava/eiler/

Н.И. Кованцов «Математика и романтика»