Нестандартные методы решения задач на движение.
план-конспект урока по алгебре (8, 9, 10 класс) на тему
Как правило, задачи на движение ученики решают с помощью уравнений: линейных, квадратных, рациональных. Если при решении некоторых задач применить знания из области геометрии, то такие задачи решаются существенно проще. Достаточно построить график движения и использовать свойства подобных треугольников. В данной работе приведен открытый урок, посвященный такому методу решения задач.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 16.28 КБ |
Предварительный просмотр:
Нестандартные методы решения задач на движение.
1. Цели:
- обобщить и систематизировать знания по следующим темам: квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, текстовые задачи, подобные треугольники;
– научить решать задачи на движение методом подобия;
– развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность;
– развивать межпредметные связи (геометрия, физика).
2. Оборудование и материалы.
1) – Плакат с заданием к дидактической игре;
– ответы к заданиям;
– таблица соответствия ответов буквам.
2) Плакат с подобными треугольниками к устному заданию.
3) Плакат с чертежом к задаче №1 (зависимость расстояния от времени движения).
4) Листы с планом урока, заданиями, которые выполняются на уроке и домашним заданием – на каждого ученика (Приложение 1, Приложение 2).
5) Плакаты с высказываниями Д. Пойа о математике.
Необходимые материалы можно оформить в виде презентации.
3. Литература.
1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. – М.:Просвещение, 2002.
2. Текстовые задачи: 7-11 классы: Учебное пособие по математике/ А.В. Шевкин. – М.: «ТИД «Русское слово – РС», 2003.
3. Журнал «Наука и жизнь», 12, 2000г.
4. Структура урока.
1. Мотивационная беседа, постановка цели.
2. Актуализация опорных знаний:
– дидактическая игра (решение квадратных уравнений), взаимопроверка в парах.
– устная работа: повторение подобных треугольников.
3. Краткий рассказ о математике В.И.Арнольде и его задаче («Задача о старушках»).
4. Решение задачи №1 стандартным методом.
5. Объяснение метода подобия на примере решения задачи №1.
6. Закрепление материала: решение задачи №2 («задача о старушках») методом подобия.
(Пояснение: стандартным методом эта задача решена на предыдущем уроке, в домашнем задании ребятам предлагается решить её методом пропорциональных отрезков).
7. Объяснение домашнего задания (на листе). (Приложение 2)
8. Подведение итогов урока.
- Ход урока.
- Сегодня на уроке вы познакомитесь с новым для вас способом решения задач на движение: методом подобия, научитесь применять этот способ при решении задач. Для этого вам понадобятся умение решать квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, а из геометрии – умение различать подобные треугольники и их свойства. Повторим эти понятия.
- 1) Дидактическая игра.
Решить по вариантам квадратные уравнения (на листе), напротив каждого уравнения записать ответ, вычисления выполнять в тетрадях.
1 вариант | 2 вариант | ||||
К | ; | С | Нет решения | ||
А | 1 | Р | 2 | ||
Ь | 5; – 6 | Д | 6; –5 | ||
Н | 0; 2 | Л | 0; | ||
О | 0 | О | 0 | ||
И | 2; | Е | 2; |
1 | 2 | 0; 2 | 0 | 0; | -6; 5 | -5; 6 |
А | Р | Н | О | Л | Ь | Д |
2) Назовите все пары подобных треугольников.
3. Владимир Игоревич Арнольд – известный учёный-математик, академик, преподаватель МГУ. В течении 40 лет он вёл семинары по математике для всех интересующихся математикой в Москве и Париже. На этих занятиях он формулировал десятки задач из серии нерешённых проблем, которые хотелось бы решить. Иногда проходят годы, прежде чем какая-то задача будет решена. А у самого Владимира Игоревича интерес к математике появился рано, в пятом классе. Учитель задал на дом интересную задачу, которую смог решить один Володя. Какая же это задача?
«…Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашёл решение задачки со старушками…» («Наука и жизнь», №12, 2000г.)
Да, ребята, речь идёт о той самой задаче о старушках, которую вы решили на прошлом уроке стандартным методом. А сегодня вам предстоит решить её новым методом.
4. Задача №1.
Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?
Первоначально решим эту задачу стандартным способом с помощью таблицы (таблица уже заготовлена на листе и на доске с заданиями для экономии времени).
V, км/ч | T, ч | S, км | |
1 пешеход |
| x | 1 |
2 пешеход | х + 5 | 1 | |
Вместе | 6 | 1 |
Составим уравнение:
+ = , ОЗ: 6х(х + 5), ОДЗ: х > 0 по смыслу задачи.
= 0,
х1 = 10, х2 = -3 не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 10 часов и 15 часов.
5. Метод подобия.
Пусть первый пешеход может пройти всё расстояние за х часов, тогда второй – за (х + 5) часов. Построим графики движения этих пешеходов. (Так как движение равномерное, то графики являются отрезками).
P
Отрезки СD и АВ показывают промежутки времени движения от одного пункта до другого первого и второго пешеходов соответственно. Отрезок MN изображает промежуток времени движения пешеходов до встречи. Поэтому:
CD = x; AB = x + 5; MN = 6; KD = x – 6; PB = x -1.
Так как Δ CKN Δ BPN и ΔDKN Δ APN по двум углам, то и, то есть , .
Получим уравнение:
(х – 1)(х – 6) = 36
= 0
Корни этого уравнения мы уже получили.
6. Решим теперь этим методом задачу о старушках.
Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.
Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?
7. Итог урока.
8. Домашнее задание.
1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..
Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая, а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время, поэтому
, , х > 0, значит х = 1,5.
До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.
2) Ответить на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь? (Посоветоваться с учителем географии).
3). Решить задачи методом подобия.
1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после встречи).
2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути? (3), №261.
Приложение 1.
Тема урока: «Нестандартные методы решения задач на движение». Вариант 1.
1. Решите уравнения.
1 вариант | ||
К | ||
А | ||
Ь | ||
Н | ||
О | ||
И |
3. Задача 1. Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.
Вопрос: в каком часу расцвело в этот день?
1) Первый способ.
V, км/ч | T, ч | S | |
1 старушка | |||
2 старушка | |||
Вместе |
2) Второй способ.
3) Третий способ .
Тема урока: «Нестандартные методы решения задач на движение».
Вариант 2.
1. Решите уравнения.
2 вариант | ||
С | ||
Р | ||
Д | ||
Л | ||
О | ||
Е |
2. Задача 1 Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.
Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?
1) Первый способ.
. | V, км/ч | T, ч | S |
1 старушка | |||
2 старушка | |||
Вместе |
2) Второй способ.
3) Третий способ.
Дополнительные задания.
Задание 4
Задача 2. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?
Задание 5.
1. Задача из экзамена за 9 класс.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько времени в пути был первый велосипедист после встречи).
2.Задача из вступительного экзамена в МИФИ (1994)г.
Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути?
Задание 6. Ответьте на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь?
Приложение 2.
Домашнее задание.
1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..
Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая, а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время, поэтому
, , х > 0, значит х = 1,5.
До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.
Решить этим способом задачу №1.
2) Ответить на вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь? (Посоветоваться с учителем географии).
3). Решить задачи методом подобия.
1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.
(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после встречи).
2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути? (3).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/12/13/picture-22828-1386943914.jpg)
Нестандартные методы решения развивающих и воспитательных задач за счет повышения мотивации на уроках технологии
Метод стимулирующих фотосессий...
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/11/picture-32313.jpg)
«Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики.» Исследовательская деятельность.
Исследовательская деятельность педагога - одна из форм работы учителя. Современный учитель переживает период переосмысления, отказа от некоторых устоявшихся традиций и стереотипов, выбора и пост...
![](/sites/default/files/pictures/2014/11/16/picture-529423-1416153262.jpg)
Нестандартные приемы и методы решения задач, уравнений, неравенств и систем
Научить детей видеть красоту математики, развивать и формировать интерес к ней — одна из важнейших задач математики. Именно стойкий и познавательный интерес является одним из инструментов, который сти...
![](/sites/default/files/pictures/2014/09/29/picture-489146-1411997572.jpg)
Тематическое планирование кружка " Нестандартные методы решения задач по математике"
Данный кружок предполагает формирование у обучающихся устойчивого интереса к математике, выявление и развитие математических способностей и логического мышления, а также проведение ориентации на профе...
![](/sites/default/files/pictures/2014/01/13/picture-380086-1389636208.jpg)
11 класс. Элективный курс "Нестандартные методы решения задач по математике"
Программа элективного курса для обучающихся 11 класса "Нестандартные методы решения задач по математике"...
![](/sites/default/files/pictures/2014/06/04/picture-454108-1401828254.jpg)
Нестандартные методы решения задач по математике
Рабочая программа учебного курса по математике для учащихся 10-11 классов " Нестандартные методы решения задач по математике" в рамках внеурочной деятельности (профильный уровень изучен...
![](/sites/default/files/pictures/2023/10/28/picture-1492540-1698450844.png)
Нестандартные методы решения задач (лайфхаки) при подготовке к профильной математике
Нестандартные методы решения задач (лайфхаки) при подготовке к профильной математике...