Методическая разработка урока "Сумма углов треугольник", 7 класс
методическая разработка по геометрии (7 класс) по теме

Методическая разработка первого урока геометрии главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника»           в 7 классе по теме «Сумма углов треугольника»

Л.С. Атанасян, Геометрия 7- 9, учебник для общеобразовательных учреждений

                          Учитель: Левина   Наталья   Александровна

Методические комментарии.       Геометрии отводится ведущая роль в формировании дедуктивного стиля мышления. Значительная роль в развивающей функции обучения отводится усвоению, открытию и доказательству теорем наряду с разнообразием геометрических задач. Одним из важных направлений в психолого-педагогических исследованиях, посвященных методам обучения математики, является «проблемное обучение». Существенным условием проявления проблемного обучения является исследовательский характер работы учащегося в процессе обучения. Деятельность учащихся на уроке должна быть так организована, чтобы ученик был активным, самостоятельным, решал задачи, требующие не только знания, но и определенной сообразительности и догадки.

Знания, полученные ранее в теме «Параллельные прямые» позволяют это сделать. В подростковом возрасте (12-13 лет) ведущей деятельностью учащихся является деятельность общения в процессе обучения. Для организации такой деятельности учитель предлагает учащимся включиться в поиск новых фактов (открытие теоремы о сумме углов треугольника) и способов доказательства этих фактов: каждому ученику предлагается карточка с изображением треугольника для выяснения взаимосвязи между углами треугольника практическим путём (измерить углы транспортиром и нахождение их суммы). В результате практической деятельности ученики, обобщая результаты друг друга, приходят к выводу: сумма углов треугольника не зависит от формы, размеров и расположения треугольника и равна 180°. В ходе такой деятельности развивается любознательность, интерес к математике, формируются универсальные учебные действия: обобщение, абстрагирование, синтез. Познавательная деятельность направлена на познание системы отношений в процессе отыскания различных методов, приёмов доказательства теорем и решения практических задач.

Технологическая карта урока

Тема урока: Сумма углов треугольника.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Оборудование: Компьютер, проектор, экран, набор карточек с треугольниками, транспортиры, ножницы.

Цели урока:  

Предметные:

1) открыть и доказать теорему о сумме углов треугольника;

2) научиться применять теорему к решению задач;

3) классифицировать виды треугольников и научиться распознавать треугольники с использованием теоремы о сумме углов треугольника

Метапредметные:

1) умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;

2) умение выдвигать гипотезы при решении задачи и понимать необходимость их проверки;

3) устанавливать причинно — следственные связи, проводить доказательные рассуждения и делать выводы;

4) формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать, используя разные основания.

Личностные:

 1) готовность и способность к саморазвитию на основе мотивации к обучению и познанию;

2) развивать познавательный интерес к математике;

3) развивать критичность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач и доказательстве математических утверждений.

Планируемые результаты:

1) учащиеся будут знать, что сумма углов треугольника не зависит от размера, вида и положения треугольника;

2) учащиеся убедятся, что теорема о сумме углов треугольника является важной характеристикой треугольника;

3) учащиеся научатся распознавать виды треугольников и находить углы треугольника с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Основные понятия:

Свойство углов треугольника, определение остроугольного треугольника, прямоугольного треугольника, тупоугольного треугольника

Организационная  структура урока

Схема урока

1. Ориентировочно – мотивационная часть

      1) Этап мотивации

      2) Этап постановки учебной задачи

2. Операционно -  познавательная часть

    1) Подготовка к восприятию (устная работа в парах и фронтально)

    2) Восприятие (практическая работа – открытие теоремы)

    3) Осознание, осмысление (доказательство теоремы разными способами)

    4) Закрепление, применение (ключевые задачи, тест)

3. Рефлексивно – оценочная часть

     1) Подведение итогов

     2) Планирование дальнейшей учебной деятельности

     3) Домашнее задание

Ход урока

1. Мотивационно – ориентировочная часть урока

 Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели и задач урока.

   По данным чертежа найдите величину угла Р, если

   угол N равен 80°, а угол М равен 70°.

• Решить задачу ученики не могут без

           дополнительных сведений об углах треугольника.

           Ученики ищут пути решения задачи, но не находят

          и приходят к выводу, что решить задачу

          невозможно без дополнительных фактов.

• Создана проблемная ситуация, которая

побуждает учеников включиться в поиск теоремы

 о сумме углов треугольника.

• У учеников появляется мотив открытия теоремы                                                                                    (чтобы решить задачу).                                                                      

Чтобы решить задачу необходимо найти факты, связывающие углы треугольника. Новые знания вероятно связаны с предыдущей темой изучения геометрии — это параллельность прямых. Вспомним признаки и свойства параллельных прямых. Работа в парах.

• Учащиеся поочередно рассказывают друг другу признаки и свойства параллельных прямых, проверяя тем самым домашнее задание.

2. Операционно -  познавательная часть урока

2.1 Актуализация знаний

Задача.    По данным чертежа назовите равные углы.

• <1+<2 и <6;

                                                                                                                                   <3+<2 и <9

                                                                                                                                   <3 и <6

                                                                                                                                   <6 и <7;

               <4 и <5;

               <1+ <2 и <7;

               <3; <2; <1      Учащиеся вовлечены во фронтальную работу, используя признаки и свойства параллельных прямых устанавливают параллельность прямых а и в и находят равные углы по «цепочке».

Задача. По данным чертежа найдите угол С треугольника АВС

• Данная задача готовит учащихся к восприятию теоремы о сумме углов треугольника и ее доказательству.
•  Обе задачи реализуют личностные цели: готовность и способность к саморазвитию на основе мотивации к обучению и познанию;

Найден угол С, он равен 30°. Проанализируем значения всех углов треугольника: 80°, 70°, 30°. Что можно заметить?

• Учащиеся предполагают, сумма углов треугольника равна 180°.

• Возможно это случайный результат, поэтому учитель предлагает ученикам выполнить практическую работу в парах, используя карточки и транспортир.

2.2 Изучение нового материала

Практическая работа №1:

 1) Измерьте углы треугольника, изображенного на карточке, с помощью транспортира;

 2) Найдите сумму углов треугольника;

• Учащиеся убеждаются в том, у всех получается примерно одинаковый результат 180°.

Измерение дает приблизительный результат. Как получить более точный результат практическим путем?

Попробуем поместить углы в одну точку. Как это сделать? Продолжим практический эксперимент.

 Практическая работа №2:

1) Отрезать углы треугольника

 2) Перенести углы треугольника в одно место, в одну точку.

• Учащиеся выполняют практическую работу №1 в парах, практическую работу №2 выполняют индивидуально. Учащиеся убеждаются практическим путем в справедливости гипотезы, что сумма углов треугольника равна 180°.

2.3 Осознание установленного факта

Докажем выдвинутую гипотезу геометрическим способом.

• Учащиеся  во фронтальной работе предлагают разные способы доказательства теоремы.  На этапе актуализации знаний были созданы все «эвристики», с помощью которых можно доказать теорему четырьмя способами.  Данная организация учебной деятельности учащихся способствует достижению личностных целей: критичности мышления, развитию инициативы, находчивости, познавательного интереса к предмету;  

• На этом этапе урока реализуются метапредметные цели: устанавливать причинно — следственные связи, проводить доказательные рассуждения и делать выводы;

Способ №1

1) Провести прямую MN параллельно стороне АС через вершину В;                                                                   2) <1 = <С,  <2 = <А

3)

Способ №2

1) Отложить от луча ВС  <1 =

2) Отложить от луча BА <2 =

3) < 1 =

4) <2 =

5) ВМ и BN совпадают по аксиоме параллельных, то

6)

    <А+ <В + <С = 180º

Способ №3

1) Отложить от луча ВС <1 =

2) Продолжить ВN и получить прямую NM

3) MN || AC, то <2 =

4)

Способ №4

1) Отложить от луча ВС <1 =

2)

3)

4)

 Итак, доказана теорема: сумма углов треугольника равна 180°.

2.4 Закрепление, применение.

Первичное закрепление нового материала

Тест №1 Определить вид углов треугольника, обозначенных знаком?

• Учащиеся решают задачи теста №1 фронтально, при этом учатся распознавать виды треугольников;
• Тест №1 позволяет достигнуть предметные цели: классифицировать виды треугольников и научиться распознавать треугольники с использованием теоремы о сумме углов треугольника

Контроль и коррекция знаний

При решении заданий теста №1 мы увидели разные виды треугольников. Сделайте классификацию треугольников по видам углов и дайте определение каждого вида треугольника. Дайте ответы на вопросы:

1) Какой треугольник называется прямоугольным

2) Какой треугольник называется тупоугольным

3) Какой треугольник называется остроугольным

• Учащиеся работают в парах, дают определения видов треугольников
• Затем ученикам предлагаются задачи теста №2 и проверить полученные знания, работая в парах.

Проверка полученных знаний на уроке

Тест №2 Найдите неизвестный угол треугольника.

• Учащиеся решают задачи теста №2 в парах, затем рассказывают свое решение вслух всему классу

3. Рефлексивно – оценочная часть урока

          3.1 Рефлексия учебной деятельности на уроке

Подведем итоги урока. Что нового сегодня вы узнали на уроке?

• Открыли и доказали теорему о сумме углов треугольника;
• Сумма углов любого треугольника равна 180° и не зависит от вида и положения треугольника
• Научились применять теорему к решению задач;
• Провели классификацию треугольников по видам углов, узнали какой треугольник называется остроугольным, прямоугольным, тупоугольным научились распознавать виды треугольников с использованием теоремы о сумме углов треугольника

3.2 Планирование дальнейшей учебной деятельности

Продолжите высказывания об уроке:

1) Самым интересном для меня на уроке было...

2) Я получил(а) полезную информацию о том, что...

3) Я хотел(а) бы еще узнать...

4) Мне понравилось...

5) Мне не понравилось…

На последующих уроках геометрии мы продолжим учиться применять теорему о сумме углов треугольника при решении более сложных задач и узнаем еще о других углах, связанных с углами треугольника.

             3.3 Домашнее задание

                §1, п.30,31, №224, 225, 227(а)

Приложение №1    Материалы к уроку «Сумма углов треугольника»

                                                                                           Рисунок №1                                

По данным чертежа назовите равные углы.

 По данным чертежа назовите углы, которые в сумме дают 180°.

Рисунок№2       

                                                                                                Рисунок №3

      Найти угол Р, если        

угол N равен 80°        

 угол М равен 70°      

Приложение № 2

Тест №1

Определить вид углов треугольника, обозначенных знаком ?

Приложение №3

Тест №2    Найти величину неизвестного угла.

Методическая разработка

 занятия по геометрии  в 8 классе по теме

 «Трапеция. Средние линии трапеции.»

Учитель:  Левина Наталья  Александровна 

Методические комментарии.       Геометрии отводится ведущая роль в формировании дедуктивного стиля мышления. Значительная роль в развивающей функции обучения отводится усвоению, открытию и доказательству теорем наряду с разнообразием геометрических задач. Одним из важных направлений в психолого-педагогических исследованиях, посвященных методам обучения математики, является «проблемное обучение». Существенным условием проявления проблемного обучения является исследовательский характер работы учащегося в процессе обучения. Деятельность учащихся должна быть так организована, чтобы ученик был активным, самостоятельным, решал задачи, требующие не только знания, но и определенной сообразительности и догадки.

Знания, полученные ранее в теме «Четырехугольники. Площадь четырехугольников» позволяют это сделать. В подростковом возрасте   ведущей деятельностью учащихся является деятельность общения в процессе обучения. Для организации такой деятельности учитель предлагает учащимся включиться в поиск новых фактов и способов доказательства этих фактов: каждому ученику предлагается канва занятия, которую учащиеся заполняют в течении занятия. В ходе такой деятельности развивается любознательность, интерес к математике, формируются универсальные учебные действия: обобщение, абстрагирование, синтез. Познавательная деятельность направлена на познание системы отношений в процессе отыскания различных методов, приёмов доказательства теорем и решения практических задач.

Технологическая карта занятия

Тема занятия: Трапеция. Средние линии трапеции.

Тип занятия: Систематизация знаний, изучение нового материала.                                                                            

Оборудование: Компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Цели занятия:  

Предметные:

1) обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах трапеции

2) открыть и доказать новые свойства трапеции

3) узнать приемы дополнительных построений при решении задач на трапецию

Метапредметные :

1) умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;

2) умение выдвигать гипотезы при решении задачи и понимать необходимость их проверки;

3) устанавливать причинно — следственные связи, проводить доказательные рассуждения и делать выводы;

4) формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать,  используя разные основания .

Личностные :

 1) готовность и способность к саморазвитию на основе мотивации к обучению и познанию;

2) развивать познавательный интерес к математике;

3) развивать критичность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач и доказательстве математических утверждений.

Планируемые результаты:

1) учащийся узнает о приёмах дополнительных построений при решении задач на трапецию и научится применять их при доказательстве теорем и решении задач;

2) учащийся научится применять свойство отрезка, соединяющего середины боковых и середины оснований при решении задач;

3) учащийся узнает теорему Эйлера, новые свойства средней линии трапеции;

4) учащийся систематизирует свои знания о свойствах трапеции.

Основные понятия: Свойство средней линии трапеции; формулы вычисления площади трапеции; прямая Эйлера; свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции; свойство отрезка, соединяющего середины оснований трапеции;

Организационная  структура занятия.

1. Ориентировочно – мотивационная часть

      1) Этап мотивации

      2) Этап постановки учебной задачи

2. Операционно -  познавательная часть

    1) Подготовка к восприятию (устная работа в парах и фронтально)

    2) Восприятие (практическая работа, доказательство свойств)

    3) Осознание, осмысление (доказательство теоремы разными способами)

    4) Закрепление, применение (ключевые задачи, тест)

3. Рефлексивно – оценочная часть

     1) Подведение итогов

     2) Планирование дальнейшей учебной деятельности

     3) Домашнее задание

Ход занятия

1. Мотивационно – ориентировочная часть занятия

 Мотивация учебной деятельности учащихся.                                             Постановка цели и задач.

1.1 Организационный этап: Здравствуйте! Сегодня на занятии мы будем работать тетрадях и с выданным раздаточным материалом. В тетрадях запишите число, занятие по геометрии. Лист «Приложение №2» подпишите.

1.2.Установление происхождения темы: Трапеция. Средние линии трапеции.

Неделю назад к этому занятию вам было выдано задание №4 :1) решить задачу№1; 2) выписать все теоретические положения о трапеции, которые вам известны. Сдайте листы.

• Учащиеся сдают задание, выполненное на листах.
• Работают в парах, проверяют решение задачи №1.

Задача№1  В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно 3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

• Ответ :16

                                      1) S = 0,5(BC + AD)*BK,  BC + AD = 8

                                      2) KH = 3, AK =DH = 1

                                      3) ∆ACD = ∆DBA (по трем сторонам), то

                                      ˂CAD =˂BDA

                                     4) ∆AOD – равнобедренный и прямоугольный,

                                       ˂ODA=45°

                                     5 )∆BKD -прямоугольный, равнобедренный, то BK = KD

                                     6) BK= 3 + 1= 4, S = 0,5*8*4 = 16

1.3.Мотивация учебной деятельности: Решите устно задачи

Задача №1

1) Основания трапеции равны 14 и 42. Найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

2) Найти площадь равнобедренной трапеции, боковая сторона которой равна 5, а высота и меньшее основание равны 4.

3) Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

• Учащиеся фронтально решают устно задачи

№1.1                                         №1.2                                             №1.3

Ответ: 21                                         Ответ: 28                              Ответ:?

• Учащиеся затрудняются в решении третьей задачи.

1.4. Постановка целей урока. Почему вы не можете решить эту задачу. Ведь не случайно она включена в список устных задач?  Наверное есть свойства трапеции, о которых нам неизвестно. Какие задачи можно поставить на этом уроке?

• Узнать свойства трапеции, связанные со средними линиями, т. е. Отрезками, соединяющими середины боковых сторон и середины оснований трапеции.
• Свойство средней линии трапеции, соединяющей боковые стороны трапеции нам известно.

Итак, тему урока можно обозначить так: Трапеция. Средние линии трапеции.

2. Операционно -  познавательная часть занятия

2.1 Актуализация знаний

Заполните таблицу в листе «Приложение №2» самостоятельно, а затем проверьте свое решение в парах.

• Учащиеся решают тест и приходят к необходимости доказать свойство: Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°,     то отрезок,  соединяющий середины оснований, равен

          полуразности оснований трапеции.

• Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

Необходимы дополнительные построения для доказательства свойства. Вспомним какие дополнительные построения в трапеции помогают решать задачи. Обратимся к материалам проекта «Дополнительные построения в трапеции»

• Учащиеся работают с Приложением №3 «Дополнительные построения в трапеции»

  2.2 Изучение нового материала

• Учащиеся предлагают построить прямые параллельные боковым сторонам трапеции через середину меньшего основания.
• Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

1) МК ׀׀ АВ, МТ׀׀ СД, то ˂МКТ + ˂МТК = 90° и ˂КМТ = 90°;

2) АN = NД, АК = ВМ и ТД = МС, тогда КN = NT;

3) МN – медиана треугольника КМТ, проведенная из вершины прямого угла, то МN равна половине гипотенузы КТ;

4) КТ = АД — АК — ТД = АД — (ВМ + МС) = АД — ВС

5) МN = 0,5КТ = 0,5(АД — ВС)

 2.3 Применение изученного материала

Теперь можно решить устно задачу: Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

1) Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, равна 11, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 1;

2) По свойству средней линии трапеции 0,5(а + в) = 11;

3) По свойству отрезка, соединяющего середины оснований 0,5(а — в ) = 1

4) а + в= 22, а — в = 2, то  а = 12, в = 10

2.4 Контроль и коррекция знаний

Работа в пара. Какие теперь виды трапеций можно определить? Разделите все трапеции на четыре группы и определите отличительное свойство этой группы.

• Произвольные трапеции.
• Прямоугольные трапеции.  Высота прямоугольной трапеции является боковой стороной трапеции.
• Равнобедренные трапеции. Диагонали и углы при основании равнобедренной трапеции равны.
• Трапеции, в которых сумма углов при одном основании равна 90°. Отрезок, соединяющий середины оснований равен полуразности оснований трапеции.

Работа в учебных четверках. Решите задачу на один из видов трапеции.

1) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 67°, угол Д равен 23°, средняя линия равна 10,5см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 3,5см. Найти наибольшее основание.                     (ответ :7см и 14см)

2) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 70°, угол Д равен 20°, средняя линия равна 24см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 12см. Найти наименьшее основание.                                         (ответ :12см и 36см)

3) В трапеции сумма углов при одном из оснований равна 90°, отрезки соединяющие середины оснований и боковых сторон равны 3,5 и 17,5. Найти основания трапеции.

 (ответ: 21 и 14)

4) Основания равнобедренной трапеции равны 30см и 40см, а диагональ 37см. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 420см²)

5) Найдите площадь равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно 10см, боковая сторона — 6см, а угол при меньшем основании — 120°.

(Ответ: 39√3 см²)

6 )Основания равнобедренной трапеции равны 11см и 17см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 196см²)

7) Основания прямоугольной трапеции равны 6см и 10см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

(Ответ: 48см²)

• Учащиеся решают задачу в парах, затем проверяют решение в своей четверке и открывают свой ответ на зашифрованном табло.

• На оборотной стороне откроется тема урока: m=1/2(a+b), n= 1/2(a – b)

3. Рефлексивно – оценочная часть занятия

3.1 Планирование дальнейшей учебной деятельности.

Каким общим свойством обладают все трапеции? Это свойство связан со средней линией трапеции.

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
• Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции.

• Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Чтобы решать более сложные задачи, нужно проверить и доказать эти свойства трапеции. Это и будет план учебной деятельности на последующих уроках.

3.2 Рефлексия учебной деятельности на занятии

 Подведем итоги занятия. Продолжите высказывания:

1) Самым интересным для меня было...

2) Я получил(а) полезную информацию о том, что...

3) Я хотел(а) бы еще узнать...

4) Мне понравилось...

5) Мне не понравилось…

3.3 Задание на длительное время:

Контрольные вопросы

       1) Определение трапеции.

2) Виды трапеций

3) Средняя линия трапеции. Ее свойство.

4) Площадь трапеции.

5) Теорема Пифагора.

6) Какие еще свойства трапеции тебе известны?

        Задачи.

1)В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

2) Найти площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 27, а боковые   стороны 13 и 20.

 3) В равнобедренной трапеции АВСД большее основание АД равно 22,              а  боковая сторона равна 10. Диагональ АС делит угол А пополам. Найти площадь трапеции.

4) Найти площадь равнобедренной трапеции, если угол при большем основании равен 60°. Средняя линия трапеции равна 4см, одно основание больше другого на 4 см.

5) Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

6) Диагонали трапеции АС и ВД пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 9, а площадь треугольника АОД равна 16. Найти площадь трапеции АВСД.

7) Доказать свойства средних линий трапеции:

1) Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями

2) Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой (проверить практическим путем).

3) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции

4) Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок,  соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований трапеции (вторым способом).

Приложение№2

Мозговой штурм «Трапеция. Неизвестное об известном»

Выясните, верно ли утверждение.

Приложение №3

 Дополнительные построения в трапеции при решении задач