Урок математики по теме: Предел функции в точке (1 курс СПО)
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Конспект урока математики на 1 курсе (11 группа) по теме «Предел функции в точке».

Цель урока: формирование у студентов наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.

Задачи урока:

• ввести понятие предела функции в точке;
• рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;
• рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;
• рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.

Тип урока: урок объяснение нового материала.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Мотивация изучения темы.
3. Подготовительная работа.
4. Изучение нового материала.
5. Решение задач.
6. Домашнее задание.
7. Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиям «предел функции в точке», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.

2. Мотивация изучения темы.

- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение в изучении понятия производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

3. Подготовительная работа.

- Перед тем как начать изучать новую тему, выполним следующее задание:

постройте график функции  если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)

Рис. 1

Рис. 2.

Рис. 3.

4. Изучение нового материала.

- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

- Чем они отличаются друг от друга?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

Очень часто при исследовании свойств функций бывает важно выяснить не только значение функции в той или иной точке, но и то значение, к которому стремится значение функции при стремлении аргумента к заданной точке.

Так вот это стремление значения функции называется пределом данной функции при стремлении аргумента к заданной точке. Давайте запишем это уже с помощью известного нам с вами значения предела:

 - Как мы с вами обозначали предел?

(Lim)

 - Запишем это. Стремление какой функции мы рассматриваем?

()
 - К чему у нас стремится х?
(к 4)
- И какое мы при этом получаем стремление функции?

(к 2)
- Мы получили такую запись . В общем виде она выглядит так .

Как мы с вами читаем такие записи?

(предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b)

5. Решение задач.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

№1. Вычислить:

а) .

Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 7.

б) ;    в) ;      г) ;     д) .

№2. Вычислить:

а)

Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0. Мы уже с вами встречались с подобными вещами, только вместо 0 что у нас с вами было в прошлой теме?

(бесконечность)

 - Правильно, мы встречались с неопределённостями вида «∞ на ∞» и «∞-∞». Это очень похожий на них ещё один вид неопределённости, который встречается при нахождении предела функции – неопределенность вида «0 на 0». Давайте запишем. Что мы в прошлых темах делали с такими неопределённостями?

(как-то пытались преобразовать заданную функцию)

 - А что можно попробовать сделать здесь?

(заданную алгебраическую дробь можно сократить: ).

Значит, функции  и  тождественны при условии х ≠ - 3. Но при вычислении предела функции при х → - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, .

Ответ: - 1,5.

б) ;        в) ;         г) ;        д) .

 - Давайте составим для себя алгоритм нахождения пределов функций. Что мы делаем в первую очередь?

(подставляем число, к которому стремится х в заданную функцию)

 - Правильно. Что делаем затем?

(если при подсчёте получается число, то записываем ответ. Если получается неопределённость, то пробуем преобразовать функцию)

 - А что будем делать после преобразования?
(снова подставлять число, к которому стремится х. После подсчёта, запишем ответ).

 - Всё правильно. И с таким алгоритмом мы с вами уже встречались в одной теме. В какой?
(предел числовой последовательности)

№3. Вычислить:

а) ;    б) ;     в) ;    г) .

6. Домашнее задание.

- Запишите домашнее задание. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях. На следующем уроке я обязательно пройду и у всех всё проверю.

7. Итог урока.  

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, правилами вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке. Спасибо за урок!