Теорема Виета.Обобщающий материал для учащихся 11класса
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему
Обобщающий материал по алгебре, применение теоремы Виета в различных разделах алгебры.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Применение теоремы Виета при повторении алгебры в 11 классе. | 22.8 КБ |
 Презентация к уроку 11 класс "Теорема Виета" | 199.51 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок повторения в 11 классе. Теорема Виета.
Цель урока: показать разнообразные применения теоремы Виета при повторении тем алгебры за курс средней школы.
Ход урока:
- Организационный момент.
- Повторение изученного материала.
Слайд1.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого6
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
Предложить классу записать символами то, что сказано стихами. Повторить теорему в словесной форме и записать символически. Проверить с использованием слайда 2
(ах2+вх+с=0, Д х1+х2=-
х1х2=
,
- Обобщение и систематизация знаний.
( на примерах из разных разделов математики)
а) Не решая уравнение -3х-10=0 вычислите сумму кубов его корней. (Слайд3)
Решение:
Пусть х1;х2 – корни данного уравнения. Выполним преобразования суммы кубов и подставим соответствующие значения суммы и произведения с использованием теоремы Виета. Ответ: 117 (слай4)
б) Корни уравнения -вх-в=0 таковы, что х13 +х2 3 + х13 х2 3 =75. Найдите в. Слайд5
Решение
По теореме Виета сумма корней равна в, произведение равно –в, По условию
х13 +х2 3 + х13 х2 3 = (х1+х2)3 -3х1х2(х1+х2)+ х13 х2 3=75. Значит в=±5.
в) Пусть х1; х2 – корни данного уравнения 3х2+14х-14=0. Сравните с 1 значение дроби
( 3х12+5х1х2+3 х22)/(4х1 х22+4 х12 х2) Слайд5
х12 х22
Решение:
Данное выражение легко привести к виду
(3(х1+х2)2 - х1х2) / 4 х1х2(х1+х2) =(3(-14/3)2 – (14/3)) / 4(-14/3)2= 14/3(14-1) / 4(14/3)2 = Слайд 6
г ) При каком значении параметра а корни х1 и х2 уравнения х2+3х+а=0 удовлетворяют равенству х1/ х1 + х2/ х1 +а > 0? Слайд7
Решение:
Если уравнение имеет корни, то значит 9-4а >0, отсюда а≤9/4. Из данного в условии соотношения для корней имеем:
(х12+х22+ ах1х2)/ х1х2=((х1+х2)2 - 2 х1х2+а х1х2)/ х1х2=(9 – 2а+а2)/а
Неравенство 9 – 2а+а20 верно при любом а, значит 0<а ≤
(Слайд8)
д) Вычислите без помощи таблиц lg2 и lg5 , зная , что lg2·lg5 =0,2104 (слайд9)
Решение:
По свойству логарифмов lg10=lg2+lg5=1? По условию lg2·lg5=0,2104.
Значит, если уравнение х2 – х+0,2104=0 имеет корни х1 и х2, то х1 =lg2 , х2=lg5 Решая составленное уравнение, находим: х1 =0,6995, х2=0,3050 слайд10
е) Чему равна сумма α и β, если tg α и tg β являются корнями уравнения 6х2 - -5х+1=0? Слайд11
Решение:
Воспользуемся формулой тангенса суммы tg(α+ β)= =
=1
α + β=45®+180*к, к€ Z (слайд12)
и) Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение второго и девятого членов равно 147. Найти прогрессию. Слайд13
Решение:
Составим систему в соответствии с условием задачи
(а1 +а10 )·10=280
а2·а9=147
По свойству арифметической прогрессии а1+а10=а2+а9, тогда систему перепишем иначе
а2+а9 =28
а2·а9=147
Теперь можно воспользоваться теоремой Виета и составит уравнение х2 -28х+147=0, которое имеет два корня х1=21, х2=7
Если положить, что а2=7, а9=21,то получится возрастающая прогрессия 5;7;…, если же считать, что а2=21, а9=7, то придём к убывающей прогрессии 23;21;19;…Слайд14.
К) Длины катетов некоторого прямоугольного треугольника являются корнями уравнения х2 - х+1=0. Не решая данного уравнения найдите радиус r окружности, вписанной в этот треугольник.Слайд15
Решение. Пусть S –площадь данного треугольника, Р – его периметр. По условию 2S=х1х2 Р= х1 + х2 +с, где с=х12 + х22 , тогда получим Р=3+
=
, воспользуемся равенством 2S=Рr, r=2S/Р= х1х2(3+
)=1/(3+
)=(3 -
)/2 Слай16
Л) Решите систему
{2х+2у=5
2х+у +4 слайд17
Решение. Рассмотрим уравнение z2- 5z+4=0 Его корни z1=4 z2=1, получим решения (2;0), (0;2) слайд18
М) Решите систему уравнений
Х(х+1)(3х+5у)=144
Х2+4х+5у=24 слайд19
Решение:
Данную систему приведем к виду
(Х2+х)(3Х+5У)=144
(Х2+Х)(3Х+5У)=24
Введём обозначения, получим уравнение t2- 24t+144=0, которое имеет корень 12, исходная система имеет два решения (3;0,6); (-4;4.8) Слайд20
- Итог Урока.
Повторить темы, где применялась теорема Виета. Что нового узнали на уроке?
- Домашнее задание.
Используя доп. литературу, Интернет составить коллекцию заданий, в которых применялась теорема Виета.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема Виета.
Не решая уравнение х 2 -3 х -10=0, вычислите сумму кубов его корней. Решение: Пусть х 1 ;х 2 – корни данного уравнения. Выполним преобразования суммы кубов и подставим соответствующие значения суммы и произведения с использованием теоремы Виета. Ответ : 117
Корни уравнения х 2 - b х-в=0 таковы, что х 1 3 +х 2 3 + х 1 3 х 2 3 =75. Найдите b . Решение По теореме Виета сумма корней равна в, произведение равно – b , По условию х 1 3 +х 2 3 + х 1 3 х 2 3 = = (х 1 +х 2 ) 3 -3х 1 х 2 (х 1 +х 2 )+ х 1 3 х 2 3 =75. Значит b =± 5 .
Пусть х 1 ; х 2 – корни данного уравнения 3х 2 +14х-14=0. Сравните с 1 значение дроби Решение: Данное выражение легко привести к виду (3(х 1 +х 2 ) 2 - х 1 х 2 ) / 4 х 1 х 2 ( х 1 +х 2 ) =(3(-14/3) 2 – (14/3)) / 4(-14/3) 2 = 14/3(14-1) / 4(14/3) 2 =
При каком значении параметра а корни х 1 и х 2 уравнения х 2 +3х+а=0 удовлетворяют равенству х 1 / х 1 + х 2 / х 1 +а > 0? Решение : Если уравнение имеет корни, то значит 9-4 а > 0, отсюда а ≤9/4. Из данного в условии соотношения для корней имеем: (х 1 2 +х 2 2 + ах 1 х 2 )/ х 1 х 2 =((х 1 +х 2 ) 2 - 2 х 1 х 2 + а х 1 х 2 )/ х 1 х 2 =(9 – 2 а + а 2 )/ а Неравенство 9 – 2 а + а 2 > 0 верно при любом а , значит 0< а ≤ 9 4
Вычислите без помощи таблиц lg2 и lg5 , зная , что lg 2· lg 5 =0,2104 Решение : По свойству логарифмов lg 10= lg 2+ lg 5=1? По условию lg 2 · lg 5=0,2104. Значит, если уравнение х 2 – х+0,2104=0 имеет корни х 1 и х 2, то х 1 = lg 2 , х 2 = lg 5 Решая составленное уравнение, находим: х 1 =0,6995, х 2 =0,3050
Чему равна сумма α и β , если tg α и tg β являются корнями уравнения 6х 2 - 5х+1=0? Решение : Воспользуемся формулой тангенса суммы
Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение второго и девятого членов равно 147. Найти прогрессию. Решение: Составим систему в соответствии с условием задачи (а 1 +а 10 )·10=280 а 2 ·а 9 =147 По свойству арифметической прогрессии а 1 +а 10 =а 2 +а 9, тогда систему перепишем иначе а 2 +а 9 =28 а 2 ·а 9 =147 Теперь можно воспользоваться теоремой Виета и составит уравнение х 2 -28х+147=0, которое имеет два корня х 1 =21, х 2 =7 Если положить, что а 2 =7, а 9 =21,то получится возрастающая прогрессия 5;7;…, если же считать, что а 2 =21, а 9 =7, то придём к убывающей прогрессии 23;21;19;…
Длины катетов некоторого прямоугольного треугольника являются корнями уравнения х 2 - х+1=0. Не решая данного уравнения найдите радиус r окружности, вписанной в этот треугольник Решение . Пусть S –площадь данного треугольника, Р – его периметр. По условию 2 S =х 1 х 2 Р= х 1 + х 2 +с, где с = , тогда получим Р=3 + = 3+ , Воспользуемся равенством 2 S =Р r , r =2 S /Р= х 1 х 2 (3 + )= 1/(3 + )=( 3 - )/ 2
Решите систему Решение : Рассмотрим уравнение z 2 - 5 z +4=0 Его корни z 1 =4; z 2 =1, получим решения (2;0), (0;2) 2 х +2 у =5 2 х+у =4
Решите систему уравнений: Решение : Данную систему приведем к виду (Х 2 +х)(3Х+5У)=144 (Х 2 +Х)(3Х+5У)=24 Введём обозначения, получим уравнение t 2 - 24 t +144=0, которое имеет корень 12, исходная система имеет два решения (3;0,6); (-4;4.8) x (х+1 )(3х+5у)=144 x 2 +4х+5у=24
Домашнее задание Используя доп. литературу, Интернет составить коллекцию заданий, в которых применялась теорема Виета.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Диагностика учащихся 11класса за 2 четверть
Анализ диагностики.Анализ показывает, что учащиеся готовятся к ЕГЭ. Многие боятся предсто...
Диагностика учащихся 11класса за 2 четверть
· Настроить учащихся на серьезные раздумья, связанные с их будущим профессиональным выбором;· Активизировать потребность в самопознании и пробуд...
Программа факультативного курса "Решение комбинированных задач по химии" для учащихся 11класса
Элективный курс «Решение комбинированных задач по химии» предназначен для учащихся 11 классов, увлекающихся химией. Программа курса рассчитана на 34 часа (1час в неделю). Актуальность данн...
Характеристика на учащегося 11класса
Характеристика на учащегося 11класса...
Рабочая программа по английскому языку для учащихся 11класса.Автор В,П.Кузовлев.
Данная программа предназначена учащимся 11 класса.Автор В.П.Кузовлев....
Теорема Пифагора. Раздаточный материал.
Задачи по теореме Пифагора....
Теорема Пифагора.Раздаточный материал. Таблица.
Карточки для закрепления темы "Теорема Пифагора"...