Методические рекомендации по изучении темы:"Решение тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Данное пособие предназначено для студентов первого курса очного отделения. В пособии содержится теоретический материал по теме: "Простейшие тригонометрические уравнения", примеры решения простейших тригонометрических уравнений, а также уравнений,решаемых методом разложения на множители,  методом сведения к квадратному уранению, и однородных тригонометрических уравнений. В пособии есть задания для самостоятельной работы, контрольная работа по данной теме, справочная информация.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл trigonometricheskie_uravneniya.docx141 КБ

Предварительный просмотр:

Кировское областное государственное образовательное автономное учреждение среднего профессионального образования

"Вятский электромашиностроительный техникум"

Пособие по изучению темы:

 «Тригонометрические уравнения»

Киров

2014 г.

Пособие печатается по решению предметно- цикловой комиссии естественно- научных дисциплин.

Автор  - Лопатина Наталья Владимировна

Пособие предназначено для самостоятельного изучения темы: «Тригонометрические уравнения» студентами очного отделения КОГОАУ СПО ВЭМТ.

Содержание

1. Простейшие тригонометрические уравнения...........................................  4-12

1.1 Арккосинус. Решение уравнения cosx=b..................................................4-5

1.2 Арксинус. Решение уравнения sinx=b......................................................6-8

1.3 Арктангенс. Решение уравнения tgx=b.....................................................8-10

1.4 Арккотангенс. Решение уравнения ctgx=b..............................................10-12

2. Тригонометрические уравнения.................................................................12-16

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным...................................................12-13

2.2 Однородные уравнения первой степени..................................................13-14

2.3 Однородные уравнения второй степени..................................................14-15

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители...............................15-16

3. Контрольная работа по теме........................................................................16

4. Справочный материал..................................................................................17-18

Раздел 1. Простейшие тригонометрические  уравнения.

1.1 Арккосинус. Решение уравнения cosx = b.

Арккосинусом числа b называется такое число х, косинус которого равен b.

arсcos (-b)=π- arсcosb

Пример.   1) arсcos 1=0

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «cosα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

α (град)

(рад)

0

sin α

0

1

0

cosα

0

-1

tgα

0

1

-

-1

0

ctgα

-

1

0

-1

-

   

2) arсcos=

  3)arсcos(- )= π- arсcos=π- = =

  • Задания для самостоятельной работы.

Заполните таблицу.

-1

0

2

arccos b

Решение уравнения cosx = b.

Если b, то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =±arсcosb +2где k.

Если b, то уравнение не имеет корней.

  • Вопросы для самопроверки
  1. Каково  будет  решениеуравнения  cosx = b  при  ‌b ‌ > 1?
  1. При  каком  значении  b уравнение  cosx = b  имеетрешение?

Какой  формулойвыражается  это  решение?

  1. В  каком  промежутке  находится  arccosb ?

В  каком  промежуткенаходится  значение  b?

  1. Каким  будет  решениеуравнения   cosx = 1?
  1. Каким  будет  решениеуравнения   cosx = -1?
  1. Каким  будет  решениеуравнения   cosx = 0?
  1. Чему  равняется arccos( - b)?

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

Пример1.

Решить уравнение cosx= .

b=

x = ±arсcos +2где k

x =  +2где k

Ответ: x =  +2где k

Пример2.

Решить уравнение 2cosx+1=0.

2cosx  +1=0

2cosx= 1

cosx=

b=

x = ±arсcos +2где k

x = )+2где k

x =  +2где k

Ответ: x =  +2где k

Пример3.

Решить уравнение cos(5х)= .

b=

 = ±arсcos +2где k

=  +2где k

5х= +2где k׀ :5

х= +где k

Ответ: где k

Пример4.

Решить уравнение cos) = .

b=

 = π+2где k

=  +2где k

=  +2где k׀ ∙5

х=  +10где k

Ответ: х=  +10где k

  • Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1)cosx =

2) cosx =

3) 2cosx-10=0

4) cos=0

5)  cos4x= 1

6)cos(2х)=

7)cos) =

8)2cos()=

1.2  Арксинус. Решение уравнения sinx = b.

Арксинусом числа b называется такое число х, косинус которого равен b.

arсsin (-b)=- arсsinb

Пример.   1) arсsin 1= 

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «sinα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

α (град)

(рад)

0

sin α

0

1

0

cosα

1

0

-1

tgα

0

1

-

-1

0

ctgα

-

1

0

-1

-

2) arсsin=

3) arсsin(-)=  - arсcos = -

  • Задания для самостоятельной работы.

Заполните таблицу.

1

1.5

0

arcsin b

Решение уравнения sinx = b.

Если b, то уравнение имеет бесконечно много корней, которые находятся по обобщенной формуле:x =arсsinb +гдеk.

Если b, то уравнение не имеет корней.

  • Вопросы для самопроверки
  1. Каково  будет  решениеуравнения  sinx = b  при  ‌b ‌ > 1
  1. При  каком  значении  b уравнение  sinx = b имеетрешение?

Какой  формулойвыражается  это  решение?

  1. В  каком  промежутке находится  arcsinb ?

В  каком  промежуткенаходится  значение  b?

  1. Каким  будет  решениеуравнения   sinx = 1?
  1. Каким  будет  решениеуравнения   sinx = -1?
  1. Каким  будет  решениеуравнения   sinx = 0?

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

Пример1.

Решить уравнение sinx= .

b=

x = +где k

x = +где k

Ответ: x = +где k

Пример2.

Решить уравнение 2sinx+1=0.

2sinx  +1=0

2sinx= 1

sinx  =

b=

x = arcsin +гдеk

x = )+где k

x =  +где k

Ответ: x =  +где k

Пример3.

Решить уравнение sin(3х)= .

b=

 = +где k

=  +где k

3х= +где k׀ :3

х= +где k

Ответ: х= +где k

Пример4.

Решить уравнение sin) = .

b=

 = +где k

=  +2где k

= 2где k׀ ∙2

х= 4где k

Ответ: х= 4где k

  • Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1)sinx =

2) sinx =

3) 2sinx-5=0

4) sin=0

5)  sin3x= 1

6)sin(7х)=

7)sin) =

8)2sin()=

1.3  Арктангенс. Решение уравнения tgx = b.

Арктангенсом числа действительного числа b называется такое число х, тангенс которого равен b.

arсtg (-b)=- arсtgb

Пример.   1) arсtg 1= 

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «tgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

α (град)

(рад)

0

sin α

0

1

0

cosα

1

0

-1

tgα

0

1

-

-1

0

ctgα

-

1

0

-1

-

2) arсtg=   

3) arсtg(-)=  - arсtg= -

       

  • Задания для самостоятельной работы.

Заполните таблицу.

-

1

-1

0

2

arctgb

Решение уравнения tgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arctgb +гдеk

  • Вопросы для самопроверки
  1. При  каком  значении  b уравнение  tgx = b имеет решение?

Какой  формулойвыражается  это  решение?

  1. В  каком  промежутке    находится  arctgb ?

В  каком  промежуткенаходится  значение  b?

  1. Каким  будет  решение уравнения   tgx = 1?
  1. Каким  будет  решение уравнения   tgx = -1?
  1. Каким  будет  решение уравнения   tgx = 0?

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

Пример1.

Решить уравнение tgx= .

x = +где k

x = +где k

Ответ: x = +где k

Пример2.

Решить уравнение tgx+3=0.

tgx =-3

tgx =

tgx=

x =  +где k

x =  +где k

Ответ: x = +где k

Пример3.

Решить уравнение tg(4х)= 0.

 =arctg 0+где k

= 0 +где k

 4х= 0+где k׀ :4

х= +где k

Ответ: х= +где k

Пример4.

Решить уравнение tg) = .

 = arctg(-1)+где k

 = +где k

=  +где k

= где k

= где k׀ ∙2

x=где k

Ответ:x=где k

  • Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1)tgx =

2) tgx =

3) 2tgx+7=0

4) tg=0

5)  tg(-4x)= 1

6)tg(5х)=

7)tg) =

8)tg()=

1.4  Арккотангенс. Решение уравнения ctgx = b.

Арккотангенсом числа действительного числа b называется такое число х, котангенс которого равен b.

arссtg (-b)=- arсtgb

Пример.   1) arссtg 1=

Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. В строке «ctgα» найдем значение 1 и посмотрим вверху таблицы соответствующий угол в радианах.

α (град)

(рад)

0

sin α

0

1

0

cosα

1

0

-1

tgα

0

1

-

-1

0

ctgα

-

1

0

-1

-

     2) arссtg= 

3) arссtg(-)=  π- arсtg=π - ==

  • Задания для самостоятельной работы.

Заполните таблицу.

-

-1

1

1.5

0

arcctg b

Решение уравнения сtgx = b.

Решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

x = arсctgb +гдеk

  • Вопросы для самопроверки
  1. При  каком  значении  b уравнение  ctgx = b имеет решение?

Какой  формулойвыражается  это  решение?

  1. В  каком  промежутке  находится  arcctgb ?

В  каком  промежуткенаходится  значение  b?

  1. Каким  будет  решение уравнения   ctgx = 1?
  1. Каким  будет  решение уравнения   ctgx = -1?
  1. Каким  будет  решение уравнения  ctgx = 0?

Примеры решения  тригонометрических  уравнений.

Пример1.

Решить уравнение ctgx= .

x = +где k

x = +где k

Ответ: x = +где k

Пример2.

Решить уравнение tgx+3=0.

ctgx =-3

ctgx =

ctgx=

x =  +где k

x =  +где k

x =  +где k

Ответ: x = +где k

Пример3.

Решить уравнение ctg(2х)= 0.

 =arcctg 0+где k

=  +где k

 2х=  +где k

2х= где k

 2х= где k ׀ :2

х= +где k

х= +где k

Ответ: х= +где k

Пример4.

Решить уравнение ctg) = .

 = arcctg(-1)+где k

 = +где k

 = +где k

=  +где k

= где k

= где k׀ ∙3

x=где k

Ответ:x=где k

  • Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения.

1)ctgx =

2) ctgx =

3) 2ctgx+1=0

4) ctg=0

5)  ctg(-5x)= 1

6)ctg(4х)=

7)ctg) =

8)tg()=

Раздел 2. Тригонометрические  уравнения.

2.1 Уравнения, приводимые к квадратным

Пример 1.

2sin2x + 3sinx -2=0

Это квадратное уравнение относительно sinx.

Введём новую переменную у = sinx.

Тогда уравнение примет вид:

2 + 3у -2=0

Это квадратное уравнение относительно у.

D = 32 - 4∙2∙(-2) = 9 + 16 = 25.

у1 =, у2 =-2.

а) у1 =, т.е. sinx =, х = (-1)n.+πn, nZ.

б) у2 =-2, т.е. sinx = -2, нет корней.

Ответ:  х = (-1)n.+πn, nZ.

Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. 6sin2x - 5sinx+1=0.
  2. 8sin²x – 6sinx-5 =0.

Пример 2.

6sin2x – 5cosx +5=0

Заменяя sin2x = 1-cos2x, получим

6· (1-cos2 x)-5cosx+5 =0

6 – 6cos2 x-5cosx+5 =0

- 6cos2x-5cosx+11 =0

Разделим каждое слагаемое уравнения на (-1).

6cos2x + 5cosx-11=0

Получили  квадратное  уравнение относительно cosx.

Пусть у = cosx, тогда уравнение принимает вид:

2 + 5у – 11= 0,

у1= 1, у2 = -.

а) cosx = 1, х1= 2πn, nZ.

б) cosx= -, нет корней.

Ответ:  х= 2πn, nZ.

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. 8cos2x + 6sinx – 3=0.
  2. 2sin2x – 5cosx – 5=0.

Пример 3.

tgx + 3ctgx = 4

Заменяя ctgx=, получим tgx + = 4,

Умножим каждое слагаемое на tgx:

tg2x - 4 tgx + 3=0, ОДЗ: х+ πn, nZ.

Это квадратное уравнение относительно tgx.

Пусть tgx = у, тогда

у2- 4у + 3=0,

у1= 3, у2= 1.

а) tgx = 3, х1= arctg3 + πn,  nZ.

б) tgx = 1, х2 =  + πn, nZ.

Ответ: х1= arctg3 + πn,  nZ,

            х2 =  + πn, nZ.

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. tgx – 4сtgx = 3.
  2. tgx - 2сtgx + 1= 0.

2.2 Однородные тригонометрические уравнения.

2.2.1. Однородные тригонометрические уравнения первой степени.

Пример 1.

sinx - 2cosx = 0

В однородных уравнениях первой степени каждое слагаемое 1-ой степени.

Делим обе части на cosx,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin2x + cos2x = 1).

Получим

 = 0

tgx – 2 =0

tgx = 2

 х = arctg2 + πn,  nZ.

Ответ:

        х= arctg2 + πn,  nZ.

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. sinx+3cosx = 0.
  2. cosx = sinx.

2.2.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Пример 1.

sin2x - 5sinx·cosx +6cos 2x =0

В однородных уравнениях второй степени каждое слагаемое 2-ой степени. Решаем делением обеих частей на cos2x0 (или sin2x0).

Разделим обе части на cos2x,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin2x + cos2x =1)

Получим

0,

tg2x - 5 tgx+ 6=0,

Пусть tgx = у,  у2 – 5у + 6=0,

у1= 2,      у2 =3.

а) tgx =2, х1= arctg2 + πn,  nZ.

б) tgx =3, х2= arctg3 + πn,  nZ.

 Ответ:  х1= arctg2 + πn,  nZ.

              х2= arctg3 + πn,  nZ.

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. 3sin 2x  - 4sinx·cosx + cos 2x = 0.
  2. 5 cos 2x + 4sinx·cosx - cos 2x = 0.

Пример 2.

22cos2x + 8sinx·cosx = 7

Представим 7=7·1= 7·( sin2x + cos2x), получим  однородное уравнение

2-ой степени.

Разделим обе части на cos2x,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так какsin2x + cos2x =1)

Получим  7tg2x - 8tgx – 15 = 0.

Пусть tgx = у,  7у2 – 8у – 15=0,

              у1= -1,      у2 = .

а) tgx = -1, х1= -  + πn,  nZ.

б) tgx = , х2= arctg + πn,  nZ.

Ответ: х1= -  + πn,  nZ;

            х2= arctg + πn,  nZ.

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

  1. 6sin2x + 4sinx·cosx = 1.
  2. 4sin2x – sin2x = 3.

2.3 Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки.

Пример1.

sin2x+2sinx=0

Вынесем sinxза скобки, получаем

sinx(sinx + 2)=0

sinx=0        илиsinx + 2=0

x = ksinx = -2 корней нет, так какb = -2

Ответ:x = k

Пример2.

cos2x – 3sin2x = 0

Заменяя sin2x = 2sinx·cosx, получим

cos2x - 3·2sinx·cosx =0.

Вынесем множитель cosx за скобки:

cosx(cosx – 6sinx) = 0.

а) cosx = 0, х = 2πn, nZ,

или

б) cosx - 6sinx= 0 – однородное уравнение 1-ой  степени.

Делим обе части на cosx,

cosx0 (иначе и sinx =0, что невозможно, так как sin2x + cos2x = 1).

Получим 1-6tgx =0, tgx = ,

 х = arctg + πn,  nZ.

Ответ: х1 =2πn, nZ,

        х2= arctg + πn,  nZ

  • Задания для самостоятельной работы

Решите уравнения.

1) 6tg2x + 4tgx = 0.

2) 5sin2x – sin2x = 0.

Раздел 3.

3.1  Контрольная работа по теме: "Тригонометрические уравнения".

1. Решите уравнение:

а) sin 4x =

б) cos =  

в) 2tgх – 2 = 0

2. Решите уравнение и найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку: ctg (3x + ) = ; [-;π]

3. Решите уравнение:

а) 4sin² x – 5sinx  + 1=0

б) 2sin²x- 5sinx cosx + 7cos²x=1

в) sin² x +sinxcosx =0

Раздел 4.Справочный материал.

Таблица значений тригонометрических функций

0

sin α

0

1

0

cosα

0

-1

tgα

0

1

-

-1

0

ctgα

-

1

0

-1

-

Основные тригонометрические тождества

tg

tg                  ctg

1+1+

Формулы двойного аргумента

sin2= 2sincos

cos2=  =

tg2

Тригонометрические уравнения

cosx = b , b

x =±arсcosb +2где k

Частные случаи

cosx =0,          x = k

cosx =1,          x = 2где k

cosx =1,       x =2где k

sin x = b , b

x = arсsin b +где k

Частные случаи

sinx =0,           x = k

sinx =1,           x =  +2где k

sinx =1,        x = 2где k

tg x = b , b

x = arctg b +где k

сtg x =b , b

x = arcctg b +где k


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока алгебры в 10 классе по теме Решение тригонометрических уравнений"

Обобщающий урок по алгебре в 10 классе по теме "Решение тригонометричкских уравнений". Одна из задач урока:развитие навыка применять знания в нестандартных ситуациях, нацеливание на решение задания С1...

Дифференцированный подход при изучении темы: "Решение тригонометрических уравнений"

Данная работа представляет собой характеристику дифференцированного метода обучения при изучении темы: "Решение тригонометрических уравнений"...

Дифференцированный подход при изучении темы: "Решение тригонометрических уравнений"

В данной статье рассказывается о применении уровневой дифференциации на уроках алгебры при изучении темы: "Решение тригонометрических уравнений"...

Методические рекомендации по изучению темы «Решение квадратных неравенств в 9-ом классе» по учебнику Ю.Н. Макарычева.

Разобраны методы решения квадратных уравнений. Приведены различные случаи их решения....

Методическая разработка по математике по теме "Решения тригонометрических уравнений" (10-й класс)

На данном уроке используются знания:– понятие простейших тригонометрических уравнений;– формулы корней простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи;– методы решения уравнений приводящие...

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах,  Решение иррациональных,  показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений  часто сводится к решени...