Уравнения с параметрами
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Уравнения с параметрами.

Иногда уравнений , кроме букв , обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений . При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих- два корня. При решении таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.

Пример 1.    Решим уравнение:  

 В данное уравнение входит лишь один параметр  (а). Если , получаем линейное уравнение, имеющее лишь один корень , .

Если      ,то уравнение является квадратным и его корни выражаются через параметр (а) формулами  :         

Если    ,то имеем два действительных корня при      ,эти корни совпадают , при      подкоренное выражение отрицательно  и действительных корней нет.

Ответ записываем так: при      ,при    ,  при     ,   при     ,  действительных корней нет.

   Вообще решить уравнение с параметрами (а) или ( b) – это значит установить соответствие , с помощью которого для каждого значения параметра (а) или (b) указывается множество корней соответствующего уравнения . заметим, что если уравнение содержит параметр (а) , то допустимыми значениями параметра (а) считаются все те значения (а),при которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Например, допустимыми значениями параметр (а) в уравнении    Являются любые действительные числа , а в уравнении       - все действительные числа, отличные от 2.

Приме 2. Решим относительно Х уравнение:

Раскроем скобки и перенесем слагаемые, содержащие неизвестные , в одну часть уравнения ,а слагаемые, содержащие известные, в другую часть уравнения. Получим уравнение, линейное относительно Х:

 Если     и     ,то    . Если     то уравнение примет вид  . Это уравнение не имеет корней.

Если      то имеем уравнение         корнем которого может служить любое число.

Ответ: при      уравнение имеет единственный корень    ;  при       корней нет;  при       уравнение имеет бесконечное множество корней, его корнем является любое число.

Пример 3.  Решим относительно Х уравнение:      

Умножив обе части уравнения на выражение     – общий знаменатель дробей , получим целое уравнение      ,которое при условии      ,будет равносильно данному уравнению.

Это можно записать так:       Решим уравнение         Получим : при      уравнение имеет единственный корень      при      уравнение корней не имеет.

Дробь      при      может принимать различные значения. Нам надо исключить те значения  m   , при которых      обращается в нуль. Выясним , при каких значениях  m  корень      равен 0 или равен 2. Равенство      имеет место при    ;       не выполняется ни при каком     .

Значит корень уравнения       при    является посторонним корнем для исходного уравнения. Ответ: При      уравнение имеет  единственный корень      уравнение корней не имеет.

Пример 4. Решим относительно Х уравнение:

Приведем уравнение к целому виду, умножив обе его части на      и введем ограничение, что    .

Получим систему:   

Решив квадратное уравнение , найдем , что      .Корень      является для данного уравнения посторонним. Выясним, какие значения   могут быть пригодны для второго корня    .  Для этого, подставим  в равенство      вместо    выражение      решим полученное относительно    уравнение.

 ,      ,  .   Это значение    надо исключить, т.к. при     число     не является корнем данного уравнения. Ответ: при      уравнение имеет единственный корень   ,  при    уравнение корней не имеет.

    Линейные и квадратные уравнения  с параметром следует изучать в конце курса, когда пройдем весь материал по учебнику «Алгебра,8». С понятием параметра ( без употребления этого термина) учащиеся в сущности уже встречались: в курсе «Алгебры7» класса, когда изучались линейные уравнения      с одной и  2-мя переменными, при изучении линейной функции      в курсе 8 класса  при изучении квадратных уравнений   .

Мне кажется, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для обработки навыков. В чем же основная методическая особенность уравнений с параметрами? В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает  некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра не известно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он поможет перенимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестное известное, переменная постоянная величина, этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

   В некоторых случаях уравнения с параметрами могут облегчить работу и учителя. Например, решив уравнение с параметром    получим:  при    ;

                  При  

                  При  

                  При  

    Предавая параметру       различные числовые значения, можно написать сколько угодно много уравнений, корни которых легко найти по указанным выше формулам. Пять таких уравнений приведены в таблице. Иногда различным значениям параметра соответствуют уравнения различной сложности, этим обстоятельством можно воспользоваться для дифференцированного подхода к учащимся.

   Многие задачи на решение уравнений с параметрами связаны с определением расположения корней квадратного трехчлена                            на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если квадратный трехчлен     имеет два действительных корня   , то при      принимает отрицательные значения на промежутке      и положительные значения вне промежутка    ;  при      - положительные значения в промежутке      и отрицательные значения вне промежутка   .Поэтому, чтобы выяснить ( не находя корней уравнения   ) принадлежит ли произвольное число     промежутку      достаточно знать знак выражения      и знак коэффициента   . Так например, если    ,  то    находится в промежутках  . Если известно, что    ,  не находится между корнями    ,  то для того, чтобы выяснить , по какую сторону от промежутка ( справа или слева) лежит число   , достаточно сравнить его с некоторым числом , заведомо принадлежащим промежутку   .

 Пример 6.    При каких значениях параметра    оба корня уравнения      меньше чем 3? ( не проводя вычислений корней уравнения).

Рассмотрим функцию      т.к. коэффициент при   равен 1 ,то ветви параболы направлены вверх. Для того, чтобы корни     были меньше чем 3 , необходимо и достаточно , чтобы число 3 лежало правее  

       выполняется при всех   , существуют действительные корни. Второе и третье неравенства обеспечивают расположение точки    вне промежутка    справа от него.

Решая эту систему ,получаем     . Ответ: .

Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений с параметрами.

 Пример 5. Для каждого значения,    решить уравнение.  .

(1).  Отложим на оси абсцисс значения    , а на оси ординат – значения  . Тогда в координатной плоскости    геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, образуют фигуру изображенную на рис.1.

Из рис.1.видно, что при                                                              a

Уравнение (1) решений не имеет. При    каждому

 значению    соответствуют два корня уравнения,                            1

 а при   один корень     .

  При    корни находятся из следующих                                               x

 уравнений:                                      o          1

Они равны     соответственно.     Рис.1

При     корни находятся из уравнений       они равны  

  соответственно.

Ответ:     исходное уравнение не имеет решений;