Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

   В базовых учебниках «Математика 6» мало внимания уделено решению уравнений со знаком модуля. На трех-четырех уроках после изучения понятия модуля я рассматриваю с учащимися уравнения с модулем, переход  от самых простых к более сложным:

1.                             6)  
2.                        7)  
3.                              8)           (1)
4.                     9)  
5.                       10)   

   При решении данных уравнений школьники учатся применять определение модуля: получают навыки элементарных операций с модулем: привыкают о мысли о том, что знаком модуля могут быть как положительные, так и отрицательные выражения, но сам модуль может быть только неотрицательным  числом. Тренируются в применении свойств уравнений.

   При изучении темы мы руководствовались определением

 . Это определение дает учащимся более четкое представление о том, что им надо делать в каждом конкретном случае: сменить ли знак у числа или оставить его без изменения. При решении уравнений из списка (1) обычно составляют систему, содержащую собственно уравнение, требующее решения, и неравенство учитывающее определение модуля. Но в «6» классе учащиеся еще не изучают решение числовых неравенств, поэтому мы вынуждены решать не систему, а лишь уравнение, опираясь на определение модуля, и в конце делать проверку, чтобы удалить значения переменной, не являющейся корнями уравнения.

   Пример 1.  Решение уравнения:  

       и               Проверка:

                                                     и      

В обоих случаях значение модуля оказались меньше нуля, что противоречит определению модуля. Значит ,   не являются корнями исходного уравнения.

                                      Ответ: уравнение не имеет решения.

   Пример 2.                                        Проверка:

      и                      

Ответ: 0; 2.                                                                            

   Пример 3.                                            Проверка:

                    и               

         нет решения.                    

                    т.к.                      верно.

Ответ:  -2;   4.                                                                      

Данные уравнения развивают у учащихся  умение анализировать полученное решение. Они позволяют показать, что уравнение может и не иметь корней или иметь посторонние корни. Эти наблюдения существенно расширяют представления учащихся об уравнении.

Пример 4.             Данное уравнение можно решить, используя метод замены неизвестного. (Пример для учащихся «8» классов):

Положим    тогда   

Решением являются    ,  ;  поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:  ,  .Множество решения данных уравнений состоит из чисел:  -2; 2; -3; 3 .

Пример 5.             Данное уравнение равносильно совокупности                  

Уравнение первой системы имеет корни     ;   . Из двух этих решений     посторонний корень.

Уравнений второй системы имеет корни   ;    .

Т.к.     а        то решением второй системы совокупности  является число  .

То данное уравнение имеет два корня :   ;     .

Приведу два способа замены уравнения :  

Совокупностью систем.

1.способ.    

2.способ.    

Если в уравнении        функция      имеет более простой вид, чем     , то целесообразно уравнение (1) заменять первой совокупностью систем , а если более простой вид имеет функция  , то уравнение (1)  целесообразно заменять второй совокупностью систем. В частности уравнение вида:   ,    ,  при    равносильно совокупности уравнений    

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободится от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 6.         

                                                                                          Ответ:  0.

Решение уравнений вида    

Допускают простую геометрическую интерпретацию.  Решить уравнение (2) значит найти все точки на числовой оси ОX , которые отстоят от точки с координатой   (а)  на расстоянии  (с) . Таких точек две: точка с координатой (с + а)  и точка с координатой (а + с).

Решить уравнение    значит найти все точки на числовой оси  (о, х ) ,для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами  1 и 3  равна 6.  Ясно, что ни одна  точка из отрезка   не удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний для любой из них равна   . Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатой (5)  и точка с координатой (-1).

Аналогично интерпретуется решение уравнения  вида (3).

 Пример.   .  Нужно на числовой прямой  О,Х.,  найти все точки , каждой из которых разность расстояний от нее до точки с координатой (1) и расстояния от нее до точки с координатой (3) равна 2.  Т.к. длина   равна 2 , то ясно , что любая точка с координатой   удовлетворяет а, любая точка с координатой    не удовлетворяет ему. То решением исходного уравнения является множество всех чисел з промежутка          

.