Пособие для учащихся "Решение задач на проценты, сплавы и смеси". 2 часть
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся

Решение задач по теме «Задачи на проценты, сплавы и смеси»

В данной статье разберем решение некоторых задач второй части на проценты, сплавы и смеси. (Задание 22).

1. Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и, добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть x кг и  y кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда  x+y+5 кг — масса полученного раствора, содержащего  0.6x+0.3y кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20 %, откуда:

0.6x+0.3y=0.2(x+y+5)

Второе уравнение получается, если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 90%−го раствора той же кислоты:

Решим систему двух полученных уравнений:

Замечание 1. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: 4.5=0.5(x+y+5), откуда x+y=4. Первое уравнение принимает вид 0.3x+1.2y=1.8, откуда x=2.

Замечание 2. Решение задачи можно оформить в виде таблицы.

Ответ: 2 кг.

2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение:

Пусть первый раствор взят в количестве  x грамм, тогда он содержит 0,2x грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве  y грамм, тогда он содержит 0,5y грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой  x + y  грамм, по условию задачи, он содержит 0,3(x + y) грамм чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:

0.2x+0.5y=0.3(x+y)

Выразим x через y: x=2y.

Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:

                                                                    .

Ответ:  .

3.  При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего — (2x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05x кг меди, а во втором — 0,13(x + 4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2x + 4) кг меди, составим и решим уравнение:

0.05x+0.13(x+y)=0.1(2x+4)

0.02x=0.12

Откуда x=6 

Масса третьего сплава: (2x+4) кг, значит масса третьего сплава равна16 кг.

Ответ:16 кг.

Аналогичные задания.

Задание 22 № 314457. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

(Ответ: 3:1).

Задание 22 № 314402. Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится 50%, а во втором — 80% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% золота?

(Ответ: 5:1).

Задание 22 № 316383. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

(Ответ: 6 кг).