Методическое пособие "Заочные курсы по математике для обучающихся 7 классов."
учебно-методическое пособие по алгебре (7, 8 класс) на тему

Государственное автономное образовательное учреждение общеобразовательная школа-интернат Республики Коми

«Коми республиканский физико-математический

 лицей- интернат»

Заочные курсы по математике

для обучающихся 7 классов

Комплект заданий № 1.

Авторы –составители:

Ломакина Т.Е. – учитель математики

ГАОУОШИ РК КРФМЛИ;

Черняева В.И. – учитель математики

ГАОУОШИ РК КРФМЛИ.

                                      Сыктывкар 2013

Деятельность Заочных курсов по математике для обучающихся 7 классов сельских школ Республики Коми основывается на использовании традиционных и информационных технологий, и предоставляет обучающимся право свободного выбора интенсивности обучения, диалогового обмена обучающегося с преподавателем.

Основная цель курсов -  развитие у обучающихся творческих способностей и интереса к математическим дисциплинам.

Заочные курсы в своей деятельности призваны решать следующие задачи:

• обеспечивать доступ обучающихся  к электронным образовательным  ресурсам, разработанным в соответствие  с образовательной программой курсов;
• стимулировать развитие потребности у обучающихся в получении дополнительных знаний по математике, способности к личностному самоопределению и самореализации;
• создание условий для расширения образовательных возможностей обучающихся, проживающих в населенных пунктах, удаленных от крупных центров культуры, образования и науки.

Обучение на заочных курсах осуществляют преподаватели ГАОУОШИ РК «Коми республиканский физико-математический лицей-интернат». Преподаватели КРФМЛИ разрабатывают методические рекомендации и задания для обучающихся курсов, которые рассылаются обучающимся. Основная форма обучения на заочных курсах – самостоятельная работа обучающихся, разбор ими типовых примеров, задач и упражнений и выполнение  контрольных работ.

Взаимодействие преподавателей с обучающимися ведется по почтовой или электронной переписке (в зависимости от возможностей обучающихся), что делает доступным обучение для школьников, проживающих в любой точке республики.

Рецензии на выполненные работы высылаются на электронный или домашний адрес обучающихся заочных курсов.

Данное методическое пособие разработано для обучающихся 7 классов.

Учебный материал разбит на несколько групп. Задачи в каждой такой группе, как правило, решаются каким-то одним способом (естественно, такое разбиение задач в какой-то степени условно и могут быть приведены другие способы решения). Для того, чтобы ознакомить обучающегося с методами решения, каждая такая группа задач начинается с одного или двух разобранных  примеров, решение которых указывает примерный способ решения других задач данной группы.

Материалы данного сборника  также окажется полезным учителям, ведущим уроки по математике в сельских общеобразовательных школах.

§1. Задачи и примеры на все действия с дробями

Пример 1: Найдите значение выражения: .

Выполним вычисления по действиям.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

4) .

Ответ: 1.

Пример 2: Вычислите наиболее удобным способом: .

 Выполним вычисления по действиям.

1) ;

2) .

 Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы:

Найдите значение выражения:

1. . Ответ: 1.
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: 4.
6. . Ответ: .
7. . Ответ: .
8. . Ответ: .
9. . Ответ: 0,75.
10. . Ответ: .
11. . Ответ: 0,5.
12. . Ответ: .
13. . Ответ: .
14. . Ответ: .
15.  . Ответ: 10.
16.   . Ответ: .

17. . Ответ:45.

18. . Ответ: .

19. . Ответ: .

20. . Ответ: .

21. . Ответ: .

22. . Ответ: .

23.  . Ответ: 4,5.

24. . Ответ: -41.
25.  . Ответ: 107.
26. . Ответ: 8.
27. . Ответ: 1.
28. . Ответ: 1,5.
29. . Ответ: 14.
30. . Ответ: 20.

§2. Решение уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение:

,

,

,

.

Ответ: 4,708.

Пример 2. Решите уравнение :.

Решение:

,

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: 9,06.

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение: 

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Пример 3.  Решите уравнение: .

Решение:

, умножим обе части равенства на 60. Получим уравнение:

,

,

,

,

,

.

Ответ: 21.

Задачи для самостоятельной работы:

1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
5. . Ответ: .
6. . Ответ: .
7. . Ответ: .
8. . Ответ:.
9. . Ответ: .
10. . Ответ: .
11. . Ответ: .
12. . Ответ: .
13. . Ответ: .
14. . Ответ: .
15. . Ответ: .
16. . Ответ: .
17. . Ответ: .
18. . Ответ: 2,1.
19. . Ответ: .
20. . Ответ: .
21. . Ответ: .
22. . Ответ: .
23. . Ответ: нет корней.
24. . Ответ: 0.
25. . Ответ: .
26. . Ответ: нет корней.
27. . Ответ: - любое число.
28. . Ответ: 2,4.
29. . Ответ: 2,5.
30. . Ответ: 2.
31. . Ответ: 1,5.
32. . Ответ:  3.
33. . Ответ: .
34. . Ответ: .
35. . Ответ: .

Пример 4: Решите уравнение: .

Решение:

,

,

,

,

,

,

 или ,

                .

Ответ: 0,9; 1,1.

Пример 5: Решите уравнение: .

Решение: 

,

                     или                  ,

 ,                                               ,

  или                ,

                                       ,

,  или , или , или , или ,

,  , , , .

Ответ: ; ; ; .

Задачи для самостоятельной работы:

Решите уравнение:

36. . Ответ: 2,5; 0,5.
37. . Ответ: 2,8; 5,2.
38. . Ответ: 4; .
39. . Ответ: 3,8; 6,2.
40. . Ответ: -6;10.
41. . Ответ: -7; 3.
42. . Ответ: .
43. . Ответ: ; .
44. . Ответ: ; .
45. . Ответ: -1,75; 3,25.
46. . Ответ: -0,4; 6,4.
47. . Ответ: .
48. . Ответ: .
49. . Ответ: -10; 6.
50. . Ответ: -5; 1; 3; 5; 7; 13.

Задача 6. Задуманное число сначала увеличили в два с половиной раза, затем уменьшили в раза, вычли  и получили .

Решение:

Пусть задумали число .

Составим уравнение:  .

,

,

,

,

,

.

Ответ: 1,3.

Задачи для самостоятельной работы:

51. Из  вычли задуманное число, а разность увеличили сначала в  раза, а потом в  раза, в результате получилось число, в  раза меньшее,  чем 146. Какое число задумали?  Ответ: .
52. Сумма двух чисел равна , одно из них в 3 раза больше другого. Найти эти числа. Ответ: ; .
53. От неизвестного числа отняли 2 раза по , три раза по  и два раза по , после чего осталось . Узнай это число.  Ответ: .
54. Задумали число.  Разделили на него , к полученному частному прибавили , сумму умножили на , а затем вычли  из полученного произведения. В результате получили . Найти задуманное число. Ответ: 5.
55. При каких значениях  дробь на 1 меньше дроби ? Ответ: 20.
56. При каких значениях сумма дробей  и  равна их утроенной разности? Ответ: 2.
57. При каких значениях  разность дробей  и составляет их суммы? Ответ: 11.

§3 Задачи на части и проценты.

Задача 1. Найти два числа, если одно из них составляет  другого, а их сумма равна 22.

Решение:

Пусть - первое число, тогда - второе число.

Составим уравнение: .

Умножим обе части равенства на 7. Получим уравнение:

,

,

,

.

14 – первое число, тогда 8 – второе число.

Ответ: 8; 14.

Задача 2. Турист прошел в первый день  всего пути, во второй  того, что прошел в первый день, а в третий остальную часть пути, причем в третий день он прошел на 12 км больше, чем во второй день. Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?

Решение:

Пусть  км- длина всего пути. Тогда в первый день турист прошел  км.

 (км) – прошел турист во второй день.

  (км) – прошел турист в третий день.

Известно, что в третий день турист прошел на 12 км больше, чем во второй. Составим уравнение:

,

,

,

,

.

124 км – весь путь.

 (км) – прошел турист в первый день.

(км) - прошел турист во второй день.

(км) – прошел турист в третий день.

Ответ: 40, 36, 48 км.

Задачи для самостоятельной работы:

1. В классе число отсутствующих учеников равно  числа присутствующих. Сколько учеников в классе по списку, если присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?

Ответ: 32 ученика.

2. Автомобиль проехал в первый день  всего пути, во второй день  того, что проехал в первый, и в третий день - остальные 200 км. Каков был расход бензина, если на 10 км пути автомобиль расходует   литров бензина?

Ответ: 108,8 литров.

3. Три мальчика купили волейбольный мяч. Определить взнос каждого мальчика, зная, что  взноса первого мальчика равны  взноса второго или  взноса третьего, и что взнос третьего мальчика больше взноса первого на 64 рубля.  

  Ответ: 64,  96, 128 руб.

4. Участники автопробега в первый день прошли  всего пути, во второй день  оставшегося пути, в третий день  нового остатка, а в четвертый день- остальные 320 км. Как велик путь автопробега?

  Ответ: 1100 км.

5. Мать оставила для трех сыновей тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым пришел из школы младший сын, съел третью часть слив и ушел гулять. Вторым пришел средний сын. Думая, что его братья не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и тоже ушел гулять. Позднее всех пришел старший сын и съел 4 сливы – третью часть слив, которые он увидел на тарелке. Сколько слив оставила мать сыновьям?

   Ответ: 27 слив.

6. Три сестры разделили полученные сливы следующим образом: первая взяла треть всех слив и еще 8 штук; вторая взяла треть остатка и еще 8 штук; третья- треть нового остатка и оставшиеся 8 штук. Сколько слив получила каждая сестра?

  Ответ: 27; 18; 12 слив.

7. Вода, обращаясь в лед, увеличивается на    своего объема. На какую часть своего объема уменьшится получившийся лед при обратном переходе в воду?        

    Ответ: на  часть.

8. В два сосуда А и В одинаковой массы налита вода, причем масса сосуда А с водой составляет  массы сосуда В с водой. Если содержимое сосуда В перелить в А, то масса последнего с водой превысит массу сосуда В в 8 раз. Найти массу каждого сосуда и количество воды в каждом из них, зная, что в В первоначально было на 50 г больше воды, чем в А.

Ответ: 50 г- вес каждого сосуда. 150 г воды в А и 200 г  в В.

9.  После того, как туристы прошли 1 км  и половину пути, им еще осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь? Ответ: 9 км.
10.  Из работавших на пришкольном участке учеников треть были девочки, половина которых учится в 6 классе. Из работавших мальчиков  не учатся в 6 классе. Какое наименьшее число шестиклассников могло быть  среди работавших на пришкольном участке?

Ответ: 42 ученика.

                         П.1. Понятие процента

Проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств, и только для этого.

Один процент – это, по определению, одна сотая:

.

Соответственно,

.

Один процент от количества А – это, по определению, одна сотая часть количества А:

1% от А равен .

Соответственно,

 от А равно , где р – безразмерное число.

П.2. Вычисление количеств по процентам

Вопрос 1: Каково количество, составляющее   от А?

Формула ответа: .

Вопрос 2: Каково количество,  от которого есть А?

Формула ответа: .

Вопрос 3: Каково количество, большее чем А на ?

Формула ответа: .

Вопрос 4: Каково количество, меньшее чем А на ?

Формула ответа: .

П.3. Вычисление процентов по количеству

Вопрос 1: Сколько процентов составляет А от В?

Формула ответа: .

Вопрос 2: На сколько процентов А больше, чем В?

Формула ответа: .

Вопрос 3: На сколько процентов А меньше, чем В?

Формула ответа: .

    Задача 1: Смешали 22 кг 15% - ного раствора кислоты и 18 кг 25% - ного раствора той же кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученном растворе.

    Решение: 

    15% = 0,15;   25% = 0,25.

1.  (кг) кислоты в первом растворе.
2.  (кг) кислоты во втором  растворе.
3.  (кг) кислоты в новом  растворе.
4.  (кг) – масса нового раствора.
5.  кислоты содержится в новом растворе.

Ответ: 19,5%.

   Задача 2: В первый день со склада вывезли 40% имевшегося там сахара. Во второй день было вывезено 75% остатка. Сколько процентов от всего имевшегося там сахара осталось на складе?

     Решение:

Пусть кг сахара было на складе.

Тогда в первый день со склада вывезли  кг, а осталось .

Во второй день вывезли  кг.

Всего за два дня вывезли  кг.

На складе осталось  кг сахара, что составляет .

Ответ: 5%.

Задача 3: Как изменится число, если его вначале увеличить на 30%, а затем уменьшить на 30%?

   Решение:

Пусть  - заданное число.

Тогда после увеличения его на 30% получим .

Затем после уменьшения на 30% получим число , что составляет  от первоначального числа.

Значит,  первоначальное число уменьшилось на

Ответ: уменьшилось на 9%.

       Задача 4: Вкладчик добавил на свой счет 600 рублей, после чего дважды снимал по 10% от имеющейся суммы. В результате чего на его счету оказалось 5994 рубля. Определить сумму первоначального вклада?

   Решение: Пусть  рублей – величина первоначального вклада. Тогда  рублей стало на вкладе после увеличения. После того, как вкладчик снял 10% от имеющейся суммы, на вкладе осталось  рублей. После того, как вкладчик еще  снял 10% от оставшейся суммы, на вкладе осталось  рублей, что составляет 5994 рубля. Составим уравнение:

,

,

,

      .

6800 рублей составляет сумма первоначального вклада.

Ответ: 6800 рублей.

Задачи для самостоятельной работы:

11. Определить процент соли в растворе, если в 400г раствора содержится 32 г соли.

Ответ: 8%

12. Сколько сухой ромашки получится из 25кг свежей, если она при сушке теряет 84% своей массы?

    Ответ:  4 кг

13. Цена товара составляет 64 руб. После снижения цены товар стал стоить 56 руб. На сколько процентов была снижена цена на товар?   Ответ:  12,5%
14. Фотоаппарат стоил 100 руб. Эта цена была снижена на 14%, а через некоторое время новая цена снова была снижена на 20%. Сколько стал стоить фотоаппарат после второго снижения цен?

    Ответ: 68,8 руб.

15. Как изменится число, если его вначале увеличить на 20%, а затем уменьшить на 20%.  

Ответ: уменьшится на 4%.

16. Как изменится число, если его вначале уменьшить на 10%, а затем увеличить на 10%.

Ответ: уменьшится на 1%.

17. Цена товара сначала увеличилась на 15%, а затем еще на 20%, На сколько процентов повысилась цена по сравнению с первоначальной?

Ответ: на 38%.

18. Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить полученное число, чтобы вновь получилось заданное число?

 Ответ: на 20%.

19. В киоске в первый день продали 38% всех тетрадей, во второй день - 55% всех тетрадей, а в третий день- остальные 126 тетрадей. Сколько всего тетрадей продали в киоске за три дня?

Ответ: 1800 тетрадей.

20. Рабочему повысили зарплату с 480 руб. до 600 руб. Сколько процентов от первоначальной зарплаты составило повышение? На сколько процентов первоначальная зарплата была ниже новой? Ответ: 25%; 20%.
21. Первоначальный вклад в банк равен 400 руб. За год начисляется 3%. Найти сумму вклада через 2 года.

Ответ: 424,36 руб.

22. Антикварный магазин, купив два предмета за 2250 руб., продал их, получив 40% прибыли. Сколько стоил каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго - 50% прибыли.

Ответ: 900 и 1350 руб.

23. Ученики во время каникул совершили поход. Первые 25 км они прошли пешком, 20% остальной части маршрута проплыли по реке на лодке, затем опять шли пешком, причем на этот раз прошли в  раза меньше, чем проплыли на лодке, и, наконец, вернулись домой, проехав оставшийся путь за 1 час  20 минут в автобусе, скорость которого составляла 60 км/ч. Определите длину маршрута.

         Ответ: 150 км.

24. На овощную базу привезли 10 т крыжовника, влажность которого равнялась 99%. За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1% и составляет теперь 98%. Сколько крыжовника хранится теперь на базе?

Ответ: 5 т.

25. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Ответ: 410 кг.

26. Груши, содержащие 65% воды, потеряли при сушке 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши? Ответ: 30%.
27. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли? Ответ: 300 г.

Контрольная работа №1.

1. Найти значение выражения:

  .

2. Решить уравнение:

   а) 3, 5(1,8х – 2) – (3,4 – 1,6х) ∙ 3 = 16,1;

   б).

3. Сколько воды нужно выпарить из 65% раствора соли массой 350 грамм, чтоб в новый раствор содержал  91% соли?
4. База отпустила четырем столовым картофель. Первой столовой было отпущено 12,5% всего картофеля и еще 10 кг, второй -  остатка и еще 40 кг, третьей – 40% нового остатка, четвертой столовой – 75% третьего остатка и остальные 57 кг. Сколько картофеля отпущено всем четырем столовым?
5. В первом овощехранилище было 42 т картофеля, а в другом 51 т. В первое ежедневно привозили по 13 т картофеля, а во второе - в 1,5 раза больше. Через сколько дней во втором овощехранилище  стало на 40% больше картофеля, чем в первом?

Государственное автономное образовательное учреждение общеобразовательная школа-интернат Республики Коми

«Коми республиканский физико-математический лицей-интернат»

Заочные курсы по математике

для обучающихся 7 классов

Комплект заданий № 2.

Авторы –составители:

Ломакина Т.Е. – учитель математики

ГАОУОШИ РК КРФМЛИ;

Черняева В.И. – учитель математики

ГАОУОШИ РК КРФМЛИ.

Сыктывкар 2013

Деятельность Заочных курсов по математике для обучающихся 7 классов сельских школ Республики Коми основывается на использовании традиционных и информационных технологий, и предоставляет обучающимся право свободного выбора интенсивности обучения, диалогового обмена обучающегося с преподавателем.

                Основная цель курсов -  развитие у обучающихся творческих способностей и интереса к математическим дисциплинам.

Заочные курсы в своей деятельности призваны решать следующие задачи:

• обеспечивать доступ обучающихся  к электронным образовательным  ресурсам, разработанным в соответствие  с образовательной программой курсов;
• стимулировать развитие потребности у обучающихся в получении дополнительных знаний по математике, способности к личностному самоопределению и самореализации;
• создание условий для расширения образовательных возможностей обучающихся, проживающих в населенных пунктах, удаленных от крупных центров культуры, образования и науки.

Обучение на заочных курсах осуществляют преподаватели ГАОУОШИ РК «Коми республиканский физико-математический лицей-интернат». Преподаватели КРФМЛИ разрабатывают методические рекомендации и задания для обучающихся курсов, которые рассылаются обучающимся. Основная форма обучения на заочных курсах – самостоятельная работа обучающихся, разбор ими типовых примеров, задач и упражнений и выполнение  контрольных работ.

Взаимодействие преподавателей с обучающимися ведется по почтовой или электронной переписке (в зависимости от возможностей обучающихся), что делает доступным обучение для школьников, проживающих в любой точке республики.

Рецензии на выполненные работы высылаются на электронный или домашний адрес обучающихся заочных курсов.

Данное методическое пособие разработано для обучающихся 7 классов.

Учебный материал разбит на несколько групп. Задачи в каждой такой группе, как правило, решаются каким-то одним способом (естественно, такое разбиение задач в какой-то степени условно и могут быть приведены другие способы решения). Для того, чтобы ознакомить обучающегося с методами решения, каждая такая группа задач начинается с одного или двух примеров, решение которых указывает примерный способ решения других задач данной группы.

Материалы данного сборника  также окажется полезным учителям, ведущим уроки по математике в сельских общеобразовательных школах.

§4. Задачи на движение

П.1. Задачи на движение в одном направлении

Задача 1. Винни-Пух вышел из дома Пятачка к дому Кристофера Робина. Он проходит 50 м за 1мин. Через 2 мин вслед за ним вышел Пятачок, который за 1 мин проходит 60 м. На каком расстоянии от дома Пятачка находится дом Кристофера Робина, если они пришли туда одновременно?

   Решение:

    Скорость Винни-Пуха 50 м/мин., а скорость Пятачка 60 м/мин. Пусть минут шел Вини-Пух от дома Пятачка до дома Кристофера Робина, тогда за минуты прошел Пятачок это же расстояние.

Расстояние, пройденное Винни-Пухом, равно м, а Пятачком – м. Известно, что эти расстояния равны.

Решим уравнение:

;

;

;

.

12 мин шел Винни-Пух от дома Пятачка до дома Кристофера Робина.

(метров) – расстояние до дома Кристофера Робина.

Ответ: 600 метров.

Задачи для самостоятельной работы:

1. Один велосипедист догоняет другого со скоростью на 25% большей, чем у другого велосипедиста. В начальный момент времени расстояние между ними составило 14 км, а через четыре часа пути 2 км. Найти скорости велосипедистов.

       Ответ: 1) 12 км/ч, 15 км/ч; 2) 16 км/ч, 20 км/ч.

2. Винни-Пух за 1минуту проходит 50 м. Он вышел из дома Кристофера Робина, а через 6 минут вдогонку за ним отправился Кристофер Робин, который за 1 минуту проходит 70 м. Через сколько минут после своего выхода Кристофер Робин догонит Винни-Пуха?  Ответ: Через 15 минут
3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 12 км, выезжают в одном направлении друг за другом два велосипедиста. Если они выедут одновременно,  то второй догонит первого через 3 часа, если же второй выедет на час позже первого, то догонит его через 5,5 часов. С какой скоростью едет каждый велосипедист?  Ответ: 10 км/час; 14 км/час.
4. В 9 часов из пункта M  по маршруту MKL со скоростью 54 км/час выехал мотоциклист. Через 45 мин из K в L со скоростью 16 км/час выехал велосипедист. Определите, в котором часу мотоциклист обогнал велосипедиста, если расстояние между  M и K равно 69 км.  Ответ: В 10 часов 30 минут.  
5. Из города А в город В выехал мотоциклист. Спустя 36 минут вслед за ним выехал автобус, скорость которого на 10 км/час больше скорости мотоциклиста. Через 24 минуты после своего выхода автобус отставал от мотоциклиста на 26 км. Найти скорость автобуса.  Ответ: 60 км/час.    
6. На автомобильных гонках за 2 часа до финиша расстояние между автомобилями, идущими на первом и втором местах, составило 15 км. Сможет ли гонщик, занимающий второе место, прийти к финишу первым, если будет ехать со скоростью 107 км/час, а лидер  со скоростью 100 км/час. Ответ: Нет.
7. Из лагеря геологоразведчиков выехал вездеход со скоростью 30 км/ч. Через 2 часа вслед за ним был послан  другой вездеход. С какой скоростью он должен ехать, чтобы догнать первый через 4 часа после своего выхода?  Ответ: 45 км/час.                                                                                                      

П. 2. Задачи на движение навстречу друг другу

        Задача 2. Из деревни в город выехал велосипедист со скоростью 16 км/час. Спустя 30 минут навстречу ему из города отправился мотоциклист со скоростью 38 км/час. Сколько времени находился в пути мотоциклист до встречи с велосипедистом, если расстояние от деревни до города равно 80 км?

 Решение: 

          Пусть ч. -  время, которое ехал велосипедист до встречи с мотоциклистом, а ч. – время, которое ехал мотоциклист до встречи с велосипедистом. Тогда велосипедист проехал км, а мотоциклист - км. Известно, что всего они преодолели 80 км. Получим уравнение:

                        ,

                         ,

                         ,

                          ,

                          ,

           ч.=1 час 50 минут – время движения велосипедиста до встречи с мотоциклистом.

         1 час 50 минут – 30 минут = 1 час 20 минут находился в пути мотоциклист.

            Ответ: 1 час 20 минут

   Задача 3. Из двух городов, расстояние между которыми равно 135 км, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, при этом скорость одного из них на 25% больше скорости другого. Через 3 часа они находились на расстоянии 27 км друг от друга. Найти скорости велосипедистов.  Почему эта задача имеет два решения?

   Решение:

      Пусть км/ч – скорость первого велосипедиста, а км/ч  – скорость второго велосипедиста.

Тогда км/ч – скорость сближения велосипедистов. За 3 часа велосипедисты преодолели км.

Возможны два случая:

1 случай: Велосипедисты не встретились, тогда расстояние, пройденное ими равно

135-27=108 км. Получим уравнение:

,

.

16 км/ч – скорость первого велосипедиста.

 (км/ч)  – скорость второго велосипедиста.

2 случай: Велосипедисты встретились, тогда расстояние, пройденное ими равно

135+27=162 км. Получим уравнение:

,

.

24 км/ч – скорость первого велосипедиста.

 (км/ч)  – скорость второго велосипедиста.

Ответ: 1) 16 км/ч, 20 км/ч; 2) 24 км/ч, 30 км/ч.

Задачи для самостоятельного решения:

8. Из двух колхозов, расстояние между которыми 25 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них проходил в час на  км больше другого. С какой скоростью шел каждый, если через два часа расстояние между ними стало  км?

            Ответ: 1) 4 км/час; 4,75 км/час; 2) 7,75 км/час; 8,5 км/час.

9. Из А в В вышел поезд. Через 6 часов навстречу ему из В вышел второй поезд, скорость которого на 10 км/час меньше скорости первого поезда. Поезда встретились через  часа после выхода второго поезда. При встрече оказалось, что первый поезд прошел больше второго на 467,5 км. Найти скорость первого поезда. Ответ: 70 км/час.
10. Из двух мест, расстояние между которыми 59,5 км, отправляются одновременно навстречу друг другу пешеход и конный верховой. Скорость верхового относится к скорости пешехода, как 12 к 5. Найти скорость каждого, если они встретились через 5 часов после своего отправления.

       Ответ: 3,5 км/час; 8,4 км/час.

11. В 8 часов от станции А в направлении станции В, расстояние до которой  482,3 км, был отправлен поезд, шедший со скоростью  км/час. Через 36 минут навстречу ему из В со скоростью  км/час вышел товарный поезд. В котором часу и на каком расстоянии от станции В поезда встретились? Ответ: в 11 часов; 192,8 км.
12. Я еду в поезде, который идет со скоростью 40 км/час, и вижу, как в течение 3 сек мимо моего окна в противоположном направлении проходит скорый поезд, имеющий длину 75 м. С какой скоростью шел встречный поезд? Ответ: 50 км/час.
13. Петя и Коля, живущие друг от друга на расстоянии 840 м, вышли навстречу друг другу. После встречи каждый из них продолжил движение в том же направлении. Петя, дойдя до дома Коли, тотчас повернул обратно, а Коля, дойдя до дома Пети, тоже повернул обратно. Через какое время от начала движения произошла первая и вторая  встреча мальчиков, если скорость Пети 50 м/мин, а Коли 70 м/мин?     Ответ: 7 мин, 21 мин.
14. В 6 ч  утра  из А в В вышел пешеход. В 10 ч того же дня из В в А выехал велосипедист и встретил пешехода в 1 ч дня. Расстояние АВ равно 62 км. Найти скорость каждого, если их отношение равно 0,28. Ответ: 12,5 км/час; 3,5 км/час.
15. Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пешеход, скорость которого составляет 35% скорости велосипедиста. Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между ним и велосипедистом стало равно 10,8 км. Каково расстояние между А и В?   Ответ: 75,2 км.

П.3. Задачи на движение по реке.

Пусть  – собственная скорость лодки (катера, теплохода), т.е.  ее скорость в стоячей воде;

– скорость течения реки.

Тогда  – скорость лодки, двигающейся по течению реки,

 – скорость лодки, двигающейся против течения реки.

Зная скорости лодки, двигающейся по течению и против течения реки, можно найти собственную скорость лодки:  и скорость течения реки: .

Полезны и следующие формулы: ,

                                                          ,

                                                          .

  Задача 4. Катер прошел 48,6 км по течению реки за 3 ч и 52,2 км против течения реки за 4,5 ч. За сколько времени он проплывет по озеру 55,6 км, если собственная скорость катера не изменится?

  Решение:

1. (км/ч) – скорость катера, двигающегося по течению реки;
2. (км/ч) – скорость катера, двигающегося против течения реки;
3. (км/ч) – собственная скорость катера;
4. (ч) – время, за которое катер проплывет по озеру 55,6 км.

Ответ: 4 часа.

  Задача 5. Папа с сыном плывут на лодке против течения реки. В какой-то момент сын уронил папину шляпу. Только через 15 минут папа заметил пропажу. Определите, на каком расстоянии от лодки  находится шляпа, если собственная скорость лодки 6 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.

   Решение: 

1. (км/ч) – скорость лодки, движущейся против течения реки.
2. 15 мин. = ч.
3. 4+2=6 (км/ч) – скорость удаления лодки от шляпы.
4. (км) – расстояние между лодкой и шляпой.

Ответ: 1,5 км.

 Задача 6. Скорость моторной лодки против течения в 4 раза больше скорости течения реки. Какое расстояние пройдет лодка за 2 ч 48 мин, двигаясь по течению, если по озеру она проплывает за то же время 49 км.

  Решение:

      Пусть км/ч – скорость течения реки, а км/ч  – скорость лодки, двигающейся против течения реки.

км/ч  – собственная скорость лодки.

км/ч  – скорость лодки, двигающейся по течению реки.

1. 2 ч 48 мин=2,8 ч;
2.  (км/ч) – собственная скорость лодки;

Составим уравнение: ,

                                       .

    3,5 км/ч – скорость течения реки;

3.  (км/ч)  – скорость лодки, двигающейся по течению реки;
4. (км) – расстояние, пройденное лодкой  по течению реки за 2 ч 48 мин.

Ответ: 58,8 км.

Задачи для самостоятельной работы:

16. Мальчик сделал игрушечный парусник и пустил его по ручью. Парусник проплыл за 15 мин расстояние, равное 300 м. Найди скорость, с которой  течет ручей и вырази  её в км/ч. Ответ: 1,2 км/час.
17. Скорость течения реки 2,4 км/ч. За сколько времени по этой реке проплывет плот расстояние, равное 10,2 км. Ответ: 4 часа 15 мин.
18. Катер плывет вниз по течению реки. Какова скорость движения катера, если его собственная скорость 14,8 км/ч, а скорость течения реки 40 м/мин? Ответ вырази в км/ч. Ответ: 17,2 км/час.
19. Скорость катера против течения реки равна 280 м/мин, а скорость течения 2,7 км/ч. Какова собственная скорость катера и его скорость по течению? Ответ вырази в км/ч.      Ответ: 19,5 км/час; 22,2 км/час.
20. Лодка шла по течению реки со скоростью 10,5 км/ч, а против течения – 6,7 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки. Ответ: 1,9 км/ч; 8,6 км/ч.
21. Из пункта А в пункт В по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошел все расстояние между А и В за 6 ч, а плот за 30 ч? Ответ:  5 часов.
22. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через 4 ч после выхода, а еще через 20 мин прибыл в пункт В. Сколько времени плыл плот из В в А. Ответ: 52 часа.
23. Собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки. Найти скорость теплохода против течения, если, двигаясь по течению, он прошел 42 км за 1 ч 15 мин.           Ответ: 25,2 км/ч.
24. Пароход прошел расстояние между двумя пристанями, двигаясь по течению реки, за 4,5 часа. В обратном направлении то же расстояние пароход прошел за 6,3 часа. Скорость течения реки составляет 40м/мин. Найти расстояние между пристанями. Ответ: 75,6 км.
25. Катер, двигаясь по течению реки, обогнал плот и через 40 мин после этого остановился  для стоянки. Через 5 часов он двинулся дальше и через 1 час снова обогнал плот. Найти скорость течения реки, если катер двигался по течению со скоростью 12 км/час. Ответ: 2,4 км/час.
26. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу  вышли 2 моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки, которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения реки, 16 км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой. Сколько километров проплыла упавшая в воду шляпа, за 90 минут? Ответ: 3 км.

П.4. Разные задачи

27.   Скорость скорого поезда 60 км/ч, пассажирского 40 км/ч. Определить расстояние    (в км) между двумя городами, если известно, что скорый поезд проходит это расстояние на 5 часов быстрее, чем пассажирский. Ответ: 600 км.
28. Проехав за один час половину пути, шофер увеличил скорость на 15 км/ч и прошел вторую половину пути за 45 мин. С какой скоростью шла машина первую
    половину пути?  Ответ: 45 км/ч.
29. Половину пути мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч, затем задержался у переезда на 10 минут, после чего он увеличил скорость на 15 км/ч, чтобы наверстать потерянное время. Какое расстояние проехал мотоциклист? Ответ: 60 км.
30.  Велосипедист едет из одного города в другой co скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в конечный пункт на 4 часа раньше. Какое расстояние преодолел велосипедист? Ответ: 240 км.
31. Из поселка в город по двум дорогам, из которых одна была на 2,75 км длиннее другой, одновременно выехали два велосипедиста. Один ехал по более короткой дороге со скоростью 0,25  км/мин, другой по более длинной со скоростью 18 км/ч. Найдите длину каждой дороги, если известно, что первый велосипедист прибыл в город на 5 мин позже второго. Ответ: 9 км; 6,25 км.
32. На маршруте АВ длиной 40 км турист первые 5  ч шел с одной скоростью, а затем после 40-минутного привала снизил на 0,5 км/ч и прибыл в В, затратив на весь путь 9 ч. С какой скоростью шел турист после привала?  Ответ: 24,5 км/ч.
33. Турист выехал на мотороллере из А в В со скоростью 50 км/ч. Через 24 мин после отправления из А он должен был снизить скорость на 10 км/ч, так как дорога пошла в гору, и поэтому прибыл  в В на 18 мин позже, чем предполагал. Чему равно расстояние между А и В?    

Ответ: 80 км.      

34. Поезд шел от станции А до станции В со скоростью 80 км/ч, а от станции В до станции С со скоростью 90 км/ч. На весь путь от А до С поезду понадобилось 5  часов, считая 20-минутную остановку в В. Сколько километров между А и В и между В и С, если  расстояние между станциями А и С равно 400 км? Ответ: 160 км; 240 км.
35.  Велосипедист ехал из М в N по шоссе со скоростью 16 км/ч, а возвращался по проселочной дороге, которая была на 6  км длиннее, со скоростью 12  км/ч. Сколько километров проехал  велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4 ч?     Ответ: 24 км; 30 км.
36. Лыжная трасса состоит из подъема и спуска, причем подъем на 8 км короче спуска. Лыжник, двигаясь на спуске со скоростью 18 км/ч, а на подъеме со скоростью в   раза меньше, затратил на подъем на 15 мин. больше времени, чем на спуск. Найдите длину каждого из участков трассы. Ответ: 18 км; 10 км.
37. Пешеход должен был пройти некоторое расстояние, чтобы прибыть на  место к назначенному сроку. Пройдя 6 км за 2 часа, он рассчитал, что опоздает на 20 мин, если пойдет и дальше с той же скоростью. Увеличив свою скорость на 0,5 км/час, пешеход прибыл к месту назначения на 40 мин раньше срока. Какое расстояние должен был пройти пешеход? Ответ: 27 км.
38. От станции до дома отдыха 83 км. Автомобиль прошел это расстояние за  часа, причем первые 20 мин он шел со скоростью на 9 км/час больше, чем остальное время. С какой скоростью автомобиль шел последний час пути? Ответ: 60 км/час.
39. Велосипедист ехал по маршруту  АВ со скоростью 16 км/час, а возвращался по другой дороге, длина которой была на 6 км больше, со скоростью в   раза больше. На обратный путь он затратил на 7,5 минут больше времени. Найти длины обеих дорог. Ответ: 38 км; 44 км.
40. Автобус прошел  пути со скоростью 50 км/час, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/час. Найти путь, пройденный автобусом. Ответ: 90 км.

§5. Задачи на совместную работу

 Задачи на работу во многом схожи с задачами на движение.

Основными компонентами (параметрами) в задачах на работу являются:

          а) объем работы ;

          б) производительность труда, или скорость выполнения работы ;

          в) время работы .

Производительность – количество единиц работы, выполняемых за единицу времени.

 Если объем работы выражается в каких-либо единицах, то производительность труда измеряется в ед./час, ед./мин, ед./день и т.д. Например, производительность станка может выражаться число деталей (штук) в минуту, час, день и т.д.

 Зависимость между этими величинами напоминает зависимость между соответствующими параметрами движения:

     ;     ;      .

  Задача 1. Через две трубы бассейн наполняется за 8 часов. Если открыть только один кран, то он наполнится за 12 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть только второй кран?

   Решение:

1. – производительность одного крана,
2. – производительность обоих кранов при совместной работе,
3. – производительность второго крана,
4. (ч) – время, за которое второй кран наполнит бассейн.

Ответ: 24 часа.

   Задача 2. Токарь ежедневно перевыполняет норму выработки на 15 деталей. Сколько деталей обрабатывает ежедневно токарь, если шестидневное задание он выполняет за 4 дня?

Решение:

Пусть деталей должен обрабатывать токарь ежедневно, но  токарь обрабатывает деталь. Известно, что токарь должен обработать деталей, а обрабатывает за 4 дня деталей.

Получим уравнение: ,

                                        ,

                                         ,

                                           .

30 деталей должен обрабатывать токарь ежедневно.

45 деталей обрабатывает токарь ежедневно.

Ответ: 45 деталей.

   Задача 3.  Из пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу две автомашины. Через 3 часа 20 мин. они встретились. Если бы автомашина из пункта А вышла на 4 часа 30 мин. раньше, чем машина из пункта В, то они встретились бы через 1 час 20 мин. после выхода машины из В. За сколько времени проходит каждая машина весь путь от А до В?

   Решение:

3 часа 20 мин = часа; 1 час 20 мин =  часа; 4 часа 30 мин =  часа.

Пусть весь путь АВ=1.

- часть АВ, которую проходят две автомашины за 1 час.

Пусть x- часть АВ, которую проходит первая автомашина за 1 час, тогда - часть АВ, которую проходит вторая автомашина за 1 час. По условию, до встречи вторая автомашина  ехала  часа, тогда первая ехала  часа.

Получим уравнение:

;

;

;

.

За  часов проедет первая автомашина  весь путь АВ.

За  часов проедет вторая автомашина весь путь АВ.

Ответ: 7,5 часов и 6 часов.

Задачи для самостоятельной работы:

1. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй - на 110%. Вместе заводы выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый из заводов?  Ответ: 24 станка; 16 станков.  
2. Два трактора могут вспахать поле за 60 ч. После 12 ч совместной работы один    трактор был переведен на другой участок, и другой трактор, проработав еще 80 ч, закончил вспашку поля. 3а  сколько часов мог бы вспахать поле каждый трактор? Ответ: 100 часов; 150 часов.
3. Для наполнения бассейна проведены два крана. Первый, действуя один, может наполнить бассейн за 4 часа 30 минут, а второй за 6 часов 45 минут. Сначала открыли только первый кран на то время, в течение которого оба крана могли бы наполнить бассейн, затем открыли второй кран. Через сколько времени после этого бассейн наполнился? Ответ: 2 часа 42 минуты.
4. Водоем с помощью четырех  насосов наполняется за 5 мин. Первый насос вливает за это время 13,2 м3 воды, второй за минуту наполняет  водоема, третий за минуту вливает воды на 50% больше второго, а четвертый мог бы наполнить водоем за 36 минут. Определите вместимость водоема. Ответ: 43,2 м3
5. Цистерна заполняется одним насосом за 4 часа, а вторым – за вдвое большее время. Какую часть цистерны заполнит каждый насос, если они будут заполнять его вместе?           Ответ:  и .
6. Насос выкачивает из бассейна 2/3 воды за 7,5 минут. Он работал 5 минут, после чего в бассейне осталось 20 м3  воды. Определить емкость бассейна.           Ответ: 36 м3.
7. Два крана заполняют бассейн за 12 минут. Один из них заполняет тот же бассейн за 20 мин. За какое время заполнит тот же бассейн второй кран? Ответ: 30 мин.
8. Насос выкачивает воду из бассейна за 1,5 часа. Проработав 15 минут, насос остановился. Определить объем бассейна, если в нем осталось 30 куб. метров воды. Ответ: 36 м3.
9. Для выполнения заказа мастер и его ученик работали совместно 4 ч, а затем  мастер начал новую работу, и его ученик, работая один, закончил выполнение заказа за 5 ч. За сколько часов мог бы выполнить заказ каждый из них, если ученику на выполнение заказа нужно в 1,5 раза больше времени, чем  мастеру? Ответ:10 часов; 15 часов.
10. Бригада лесорубов должна была по плану за 10 дней заготовить некоторое количество леса. Перевыполняя дневную норму на 20 м3 , бригада уже за один день до срока  заготовила  на 60 м3  больше леса, чем планировалось первоначально. Сколько кубометров  леса намечалось заготовить?         Ответ: 1200 м3.
11. Одна  бригада может убрать все поле за 8 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы надо 75% этого времени. Сначала работала первая бригада в течение одного дня. Затем к ней присоединилась вторая, и они вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе? Ответ: 3 дня.
12. На уборке  улицы работают две машины. Одна из них может убрать всю улицу за 40 мин.,  другой для выполнения той же работы надо 75% этого времени. Уборку начали обе машины одновременно и работали вместе четверть часа. Затем вторая машина прекратила работу. Сколько потребуется времени одной первой машине, чтобы закончить уборку улицы?   Ответ: 5 минут.

13. Бассейн для плавания наполняется  двумя трубами за 6 час. 40 мин. Если обе трубы вместе будут открыты в течение 2 час. 40 мин., а затем одна труба будет закрыта, то для наполнения оставшейся части бассейна одной второй трубой понадобится 9 час. Сколько потребуется времени каждой трубе, чтобы наполнить бассейн? Ответ: 15 часов и 12 часов.
14. Чтобы выкачать всю воду из котлована, поставили два насоса. Один из них мог бы выкачать всю воду за 18 часов, другой за 16 часов. Сначала работал только первый насос в течение     часа, а затем один второй в течение 6 часов. Сколько потребуется времени, чтобы выкачать оставшуюся  воду, если оба насоса будут работать вместе? Ответ: 4 часа.
15. Двое рабочих, работая вместе, выполнят некоторую работу за 6 дней. Первый рабочий может ее выполнить за 10 дней. Если первый рабочий проработает несколько дней, а второй закончит после него оставшуюся часть работы, то оба они затратят   дней. Сколько дней работал каждый?   Ответ: 5 дней; 7,5 дней.

Контрольная работа №2

1. Из двух деревень одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 14,4 км/ч, а скорость второго составляет  скорости первого. Найти расстояние между деревнями, если велосипедисты встретились через 42 минуты.
2. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью 45 км/час. Спустя час вслед за ним из пункта А выехал автомобиль со скоростью 60 км/час, который обогнал автобус и прибыл в пункт В на 30 мин раньше его. Чему равно расстояние от А до В?
3. Пароход проходит расстояние между пунктами А и В и обратно за часа. Скорость парохода в стоячей воде 18 км/час, скорость течения реки 2 км/час. Найти расстояние от А до В. Ответ: 30 км.
4. На перевозку хлеба колхоз выделил две автомашины. Одна из них  могла бы перевезти весь хлеб за 16 часов, а другая за 12 часов. Сначала работала в течение 4 часов только одна первая машина, а затем в течение 2 часов только одна вторая. Сколько времени понадобится машинам, чтобы перевезти оставшийся хлеб, если машины будут работать вместе?      
5. Одна из соревнующихся бригад добилась среднего урожая зерновых по 45 ц с 1 га, а другая, у которой  под  зерновыми было на 20 га меньше, чем у первой,  по 48  ц с 1 га, причем  всего вторая бригада собрала на 300 ц зерна больше, чем  первая. Сколько центнеров зерна было собрано каждой бригадой?