Теория по применению производной для исследования функции
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Теория по применению производной для исследования функции

Всегда применяем формулу k = tga = f’().

1 тип задач. Дан график функции и касательная, проведенная  к нему в точке  .

Алгоритм решения

1. На графике находим  прямоугольный треугольник, в котором касательная является гипотенузой.
2. Определяем вид угла (острый или тупой) между  касательной и положительным направлением оси Ох (если угол острый, то тангенс – положительный,  если угол тупой, то тангенс – отрицательный).
3. Вычисляем тангенс этого угла (тангенс – это отношение противолежащего катета к  прилежащему катету).
4. Это и есть значение производной в данной точке.

2 тип задач.  Дан график функции.

Всегда применяем формулу k = tga = f’().

Алгоритм решения

1. Касательная параллельна прямой  у = 0х – 5, значит их угловые коэффициенты  равны  к = 0, tgα = 0,  α = 0, касательная параллельна оси Ох в точках максимума и минимума функции.
2. Находим количество этих точек. Их 7.

Алгоритм решения

1. Прямая параллельна касательной  у=6х+9, значит их угловые  коэффициенты равны  к = 6.
2. Находим производную у’.
3. Решаем уравнение  у’= 6.
4. Решение этого уравнения и будет ответом.

3 тип задач.  Дан график производной.

Всегда применяем формулу k = tga = ƭ’().

Алгоритм решения

1. Касательная параллельна прямой  у = -х – 3, значит их угловые  коэффициенты равны  к = -1.
2. Строим  прямую  у = -1, пересекающую график производной.
3. Находим количество точек  их пересечения. Их  3.

Алгоритм решения

1. Если  f’ > 0 на [а;в],  то  f(x) возрастает,  если  f’< 0 на[а;в],  то  f(x) убывает на этом отрезке.
2. f(x) возрастает на  (-4;-3], [-1;3], [5;9]. Находим их длины (количество клеток).
3. Ответ: 4.

Алгоритм решения

1. На графике производной точки минимума и максимума расположены на оси Ох.
2. Если производная меняет знак с (-) на  (+), то это точка минимума, если производная меняет знак с (+) на  (-), то это точка максимума.
3. Это  -3, 2. Их количество  2.

Алгоритм решения

1. На [-2;3]  f’(х) > 0, значит f(х) возрастает и поэтому свое наименьшее значение она принимает  в левом конце отрезка при х = -2.
2. Ответ: - 2.

Алгоритм решения

1. На [-6;-2]  f’(х)0, значит f(х) убывает и поэтому свое наибольшее значение она принимает  в левом конце отрезка при х = -6.
2. Ответ: - 6.