Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе "Площадь криволинейной трапеции и интеграл"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе "Площадь криволинейной трапеции и интеграл"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 689 КБ |
Предварительный просмотр:
ГБОУ гимназия №441 Фрунзенского района города Санкт-Петербурга
Методическая разработка урока в 11 классе «Площадь криволинейной трапеции и интеграл» учителя математики Верт Юлии Жан-Леопольдовны
Форма урока
Урок-лекция с элементами дискуссии.
Цели урока
Познакомить учащихся с формулой Ньютона-Лейбница, дать геометрическую интерпретацию этой формулы, закрепить навыки нахождения первообразных данных функций, начать формирование навыков по вычислению интегралов.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
(2 человека выходят к доске)
- Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции , осью Ох, прямыми , .
- Найти одну из первообразных функций
а)
б)
(Ответ: ; )
II. Устная фронтальная работа с классом
- Найти одну из первообразных:
- (Ответ: )
- , (Ответ: )
- (Ответ: )
- Выяснить, какая из криволинейных трапеций на рисунках может иметь площадь S=6,5
SI < 2+3=5
SII < 6
4 < SIII < 8
Следовательно SIII может быть равной 6,5.
III. Объяснение нового материала
На прошлом уроке мы выяснили, что для непрерывной функции f(x), принимающей положительные значения на отрезке [a;b] площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле , т. е. задача о нахождении площади сводится к вычислению интеграла.
Приближенное значение интеграла можно получить, составив интегральную сумму. Но нахождение предела интегральных сумм - процесс часто очень трудоемкий.
Для вычисления интегралов обычно используется формула:
где F(x) - любая первообразная f(x) на [a;b].
Эта формула справедлива для любой функции, непрерывной на отрезке [a;b] (в частности для изученных ранее квадратичной, степенной, показательной логарифмической, тригонометрической на каждом отрезке [a;b], где эти функции определены). Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница (в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления).
Поясним геометрически, как получается эта формула.
Обозначим S(x) площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x], где х - любая точка отрезка [a;b]. При х=а отрезок [a;х] превращается в точку и поэтому естественно считать, что S(a)=0. При х=b мы получаем, что S(b)=S.
Покажем, что S(x) является первообразной функции f(x), т.е. .
Рассмотрим разность , где .
- площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x+h].
S(x) - площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x].
Следовательно, разность - это площадь криволинейной трапеции с основанием [x;x+h].
Если число h мало, то площадь этой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника со сторонами h и f(x), т.е. .
Следовательно .
Левая часть этого равенства - разностное отношение. Предел разностного отношения при h0 - есть производная функции, т.е. S(x). Погрешность приближения при h0 становится сколь угодно малой, т.е. при h0 мы получаем равенство , а это и означает, что функция S(x) является первообразной функции f(x).
Пусть теперь F(x) – произвольная первообразная функции f(x), следовательно, она отличается от функции S(x) на постоянную, т.е. .
При x=a получаем (), следовательно, .
Отсюда .
.
При x=b получаем , но .
Т.о. .
Для положительной функции .
Следовательно .
Т.к. задача нахождения площади сводится к вычислению интеграла, то займемся вычислением интегралов.
Примеры
При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение: .
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:
IV. Закрепление материала
№ 632 (нечетные):
V. Домашнее задание
§33 – прочитать, формулы выучить, № 632 (четные), № 629 (2, 4) – построить фигуры, № 898 (1, 3) – на повторение.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/09/25/picture-20909.jpg)
конспект урока по алгебре и началам анализа 11 класс "Геометрический смысл производной"
Конспект урока алгебры и начал анализа 11 класс с использованием метапредмета "задача" по теме "Геометрический смысл производной", рабочий лист ученика, презинтация к уроку...
Разработка урока по алгебре и началам анализа 11 кл. по теме "Иррациональные уравнения"
Разработка урока по алгебре и началам анализа 11 кл. по теме "Иррациональные уравнения" по учебнику Колмогорова А.Н. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление. Цель...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/04/picture-189320-1360001590.jpg)
Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: "Вычисление площади криволинейной трапеции"
Конспект урока позволяет проверить умения обучающихся находить первообразные элементарных функций по таблице. Также данный материал помогает объяснить, что называется криволинейной трапецией и как нах...
урок по алгебре и началам анализа в 11-й классе Тема урока «Показательная функция»
урок по алгебре и началам анализа в 11-й классеТема урока «Показательная функция»...