Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе "Площадь криволинейной трапеции и интеграл"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

ГБОУ гимназия №441 Фрунзенского района города Санкт-Петербурга

Методическая разработка урока в 11 классе «Площадь криволинейной трапеции и интеграл» учителя математики Верт Юлии Жан-Леопольдовны

Форма урока

Урок-лекция с элементами дискуссии.

Цели урока

Познакомить учащихся с формулой Ньютона-Лейбница, дать геометрическую интерпретацию этой формулы, закрепить навыки нахождения первообразных данных функций, начать формирование навыков по вычислению интегралов.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

(2 человека выходят к доске)

1.  Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции , осью Ох, прямыми , .
2. Найти одну из первообразных функций

а)

б)

(Ответ: ; )

II. Устная фронтальная работа с классом

1. Найти одну из первообразных:

1.                                 (Ответ: )
2. ,                         (Ответ: )
3.                                         (Ответ: )

2. Выяснить, какая из криволинейных трапеций на рисунках может иметь площадь S=6,5

SI < 2+3=5

SII < 6

4 < SIII < 8

Следовательно SIII может быть равной 6,5.

III. Объяснение нового материала

На прошлом уроке мы выяснили, что для непрерывной функции f(x), принимающей положительные значения на отрезке [a;b] площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле , т. е. задача о нахождении площади сводится к вычислению интеграла.

Приближенное значение интеграла можно получить, составив интегральную сумму. Но нахождение предела интегральных сумм - процесс часто очень трудоемкий.

Для вычисления интегралов обычно используется формула:

где F(x) - любая первообразная f(x) на [a;b].

Эта формула справедлива для любой функции, непрерывной на отрезке [a;b] (в частности для изученных ранее квадратичной, степенной, показательной логарифмической, тригонометрической на каждом отрезке [a;b], где эти функции определены). Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница (в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления).

Поясним геометрически, как получается эта формула.

Обозначим S(x) площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x], где х - любая точка отрезка [a;b]. При х=а отрезок [a;х] превращается в точку и поэтому естественно считать, что S(a)=0. При х=b мы получаем, что S(b)=S.

Покажем, что S(x) является первообразной функции f(x), т.е. .

Рассмотрим разность , где .

 - площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x+h].

S(x) - площадь криволинейной трапеции с основанием [a;x].

Следовательно, разность  - это площадь криволинейной трапеции с основанием [x;x+h].

Если число h мало, то площадь этой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника со сторонами h и f(x), т.е. .

Следовательно .

Левая часть этого равенства - разностное отношение. Предел разностного отношения при h0 - есть производная функции, т.е. S(x). Погрешность приближения при h0 становится сколь угодно малой, т.е. при h0 мы получаем равенство , а это и означает, что функция S(x) является первообразной функции f(x).

Пусть теперь F(x) – произвольная первообразная функции f(x), следовательно, она отличается от функции S(x) на постоянную, т.е. .

При x=a получаем  (), следовательно, .

Отсюда .

.

При x=b получаем , но .

Т.о. .

Для положительной функции .

Следовательно .

Т.к. задача нахождения площади сводится к вычислению интеграла, то займемся вычислением интегралов.

Примеры

При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение: .

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

IV. Закрепление материала

№ 632 (нечетные):

V. Домашнее задание

§33 – прочитать, формулы выучить, № 632 (четные), № 629 (2, 4) – построить фигуры, № 898 (1, 3) – на повторение.