Уравнения с параметрами.
консультация по алгебре (9 класс) на тему

     Важнейшей теоремой  о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

ТЕОРЕМА ВИЕТА.  

 Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена   ах2 +bх +с  и коэффициентами этого трехчлена  существуют соотношения:

  х1 + х2 =-;

  х1х2 = .

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ВИЕТА.

 Если числа х1 и х2 таковы, что

  х1 + х2 = -р;

  х1х2 =g.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ  ВИЕТА.

х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2 = р2 – 2g,

х13 + х23 = (х1 + х2)(х12 + х22 –х1х2) = -р (р2 – 3g) = - р3 +3рg,

х14 + х24 = (х12 + х22)2 – 2х12 х22 = (р2 – 2g)2 – 2g2  = р4  - 3р2g + 2g2

Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.

    1. Для того чтобы корни квадратного  трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

                      Д = b2 – 4ac 0;     x1x2 = › 0, при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

                       х1 + х2  = -  › 0,

а оба корни отрицательны, если

                       х1 + х2  = -‹ 0.

    2.  Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений

                       х1х2 =  ‹ 0.

    3.  Решение задач, для которых характерны следующие формулировки:

 при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не меньше, не больше) заданного числа р;  корни расположены между числами р и g;  корни не принадлежат промежутку с концами  в точках р и g, опирается на утверждение о расположении корней квадратичной функции.

Пусть х1 и х2 – корни квадратного  трехчлена  ах2 +вх +с; Д › 0, А и В – точки на оси ОХ.

1*. Оба корня меньше числа А, то есть х1 ‹ А и х2 ‹А  тогда и только тогда, когда выполняются условия:

        Д › 0,

              хв = -‹ А,

              а f(А) › 0.

2*. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть   х1 ‹ А ‹ х2, то  выполняется неравенство:

              Д › 0,

              а f(А) ‹ 0.

3*. Оба корня больше числа А,  то есть  х1 › А и   х2 › А, то выполняется условие:

                   Д › 0,

             хв = -› А,

              а f(А) › 0.

4*.  Оба корня лежат между точками А и В, то есть

 А ‹ х1 ‹ В  и  А ‹ х2 ‹ В, то выполняется условие:

              Д › 0,

              А ‹  хВ ‹ В

             а f(А) › 0.

             а f(В) › 0.

5*. Корни лежат по разные стороны от отрезка АВ, то выполняется условие:

               Д › 0,

               а f(А) ‹  0.

               а f(В) ‹  0.

1.  Найти значение коэффициента к, при котором уравнение

3х2– 2кх – к +6 = 0 не имеет корней.

Ответ: (-6; 3).

2.  Найти значение коэффициента р, при котором уравнение

3х2– 2рх – р +6 = 0 имеет два корня.

Ответ: (-; -6)  (3; +).

3.  Найти три числа а,b,с, если известно, что их сумма равна 1, а квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственное решение  х = -1.

Ответ: а =, b =, с = .

4.  При каком целом а уравнение (а - 3)х2 + 2х = 3а – 11 = 0 имеет два равных корня?

Ответ: 4.

5.  Не решая уравнения  2х2 – 4х + 1 = 0, вычислить сумму чисел обратных его корням.

Ответ: 4.

6.  Не решая уравнения  2х2 – 4х + 1 = 0, вычислить сумму квадратов его корней.

Ответ: 3

7.  Найти  коэффициент g  в уравнении  х2 -2х + g =0, если корни уравнения х1 и х2 связаны соотношением 2х1 + х2 =3.

Ответ: 1.

8.  Найти все значения а, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней:

а) (1 –а)х2 + 4х -3 = 0;

б) (3а – 5)х2 –(6а – 2)х + 3а – 2 =0.

9.  Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет действительные корни:

а)  (1 – 3а)х2 – 4х – 3 = 0;

б)  (а – 1)х2 –(2а + 3)х + а + 5 = 0.

10. При каких значениях коэффициента р отношение корней уравнения

 х2 + рх + 1 = 0 равно 4?

Ответ: -2,5; 2,5

11. Найти наибольшее отрицательное значение к, при котором уравнение

 5х2 + 2кх +5 =0 имеет два положительных корня.

Ответ:-5.

12. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Ответ: (-6; -2)  (3; +).

13. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных отрицательных корня?

Ответ: (-6;-2).

14. При каких значениях а уравнение  2х2 +(3а + 1)х +а2 +а+2 =0 имеет хотя бы один корень.

Ответ: (-; -3] [5; +).

15.  Уравнение  ах2 + bх + 5 =0 имеет корень, равный 1.Чему равны а и b?

Ответ: 0, -5, 5, -10.

16.  При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

5х2 – 7х + а =0 относятся как 2 к 5?

Ответ:  2.

17.  В уравнении  ах2 + 8х +3 =0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1.

Ответ: 4, -16.

18.  При каких а сумма квадратов корней уравнения  х2 – 2ах + 2(а + 1) = 0

равна 20?

Ответ: -2, 3.

19. Найти все значения параметра а, при которых уравнение                                      х2 + (а + 1)х +2 =0 имеет два разных корня одного знака.

Ответ: (2; +).

20.  При каких значениях а корни уравнения  (а -3)х2 – 2ах +6а =0

положительны?

Ответ: [3; ].

21. Уравнение  ах2 + вх =2 =0, где а ‹ 0, имеет одним из корней число х =3. Найти действительные корни уравнения  ах4 + вх2 +2 =0.

Ответ: ;

22. При каком наименьшем целом положительном значении а корни уравнения (а +1)х2 - 4ах + а -5 =0 строго положительны?

Ответ:  6.

23.  При каких значениях а уравнение имеет два действительных корня одного знака  2х2 - 4а2х –а2 + 1 =0.

Ответ: (-1;-) (; 1).

24.Найти наименьшее значение а при котором корни х1 и х2 уравнения

х2 + ах + 6 =0  удовлетворяют условию х12 + х22 =13.

Ответ: -5.

25. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения   х2 + (4а +5)х +3 -2а =0.

Ответ: (-; -).

26. При каких значениях параметра а оба корня уравнения  4х2 - 2х + а =0

заключены между  -1 и 1?

Ответ:  [-2; ).

27. При каких а все корни уравнения  (1 +а)х2 – 3ах +4а = 0 больше 1?

Ответ: [ -; -1].

28.  При каких значениях а оба корня уравнения  х2 – 6ах + 2 - 2а + 9а2 =0

 больше 3-х?

Ответ:(; +).