Урок "Элементы комбинаторики и теории вероятностей"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Разработка   урока

Учитель: Хакимзянова Н.И.

Образовательное учреждение: МБОУ «Кубянская СОШ»

Класс: 9

Предмет: математика

Тема урока: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

                                                    Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов) 

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

- систематизировать знания, умения и  навыки, необходимые для вычисления комбинаторных и вероятностных задач, показать применение комбинаторики и теории вероятностей  в практических целях и в жизни человека.

Задачи урока:

образовательная:

 -рассмотреть и решить задачи по комбинаторике и теории вероятностей;

 -формирование  у школьников  позитивной мотивации к подготовке к ОГЭ  по математике.

 -отработка алгоритма решения задач на нахождение вероятности, выбора правила и выбора формулы.

развивающая:

 -развитие умений сравнивать, обобщать, находить различные      способы решения задачи;

 -развивать умение работать в команде,  развивать память, внимание, мышление.

 -развитие самостоятельности в мышлении.

 воспитательная:  

 -воспитывать умение ставить цели и реализовывать их.

 -закрепить уверенность в способности к стрессоустойчивости, самоорганизации;

  -воспитывать умение внимательно слушать и слышать, уважать другое мнение, поддерживать других и быть к ним благожелательными.

Методы: беседа, фронтальная работа, индивидуальная работа, самостоятельная работа.

Оборудование урока:                                                                                                       Мультимедийный проектор;                                                                                           Интерактивная доска.                                                                                                      

Использованные программы                                                                                                          MS PowerPoint

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний (8 мин)

1. Проверка выполнения домашнего задания. №716 (12 способов), №718 ( 6;  4 )

2)  Комбинаторные задачи. В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.

 Комбинаторика –  раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Приемы решения комбинаторных задач:

-решение методом перебора;

- решение с помощью дерева возможных  вариантов;

 -решение с помощью комбинаторного правила умножения;

 -решение с помощью таблиц;

- решение с помощью графов.

3) Установи соответствие: Используем структуру РЕЛЛИ ТЭЙБЛ. Два участника по плечу поочередно записывают свои ответы на одном листе бумаги.

В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Р е ш е н и е

О т в е т: 12 вариантов.

4) Повторение формул. При решение задач с большими числами удобно использовать формулы.

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»

Области применения комбинаторики:

-учебные заведения (составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

-азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

2. Этап обобщения и систематизации теоретических и практических знаний (10 мин)

Решение  задач на последовательности.  Используем структуру КОНЭРС. Это обучающая структура на взаимодействие УЧЕНИК – УЧЕНИК, для развития КОММУНИКАЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА, «углы», обучающая структура, в которой ученики распределяются по разным углам в зависимости от выбранного им варианта ответа. Направляясь к углам класса, ученики осознают, что существует разнообразие точек зрения по данной проблеме.  Обучающая структура КОНЭРС призвана для развития коммуникации и сотрудничества, своего собственного мышления, учит ценить и принимать разность точек зрения и идей. Учитель объявляет 3 угла: «Перестановки», «Размещения», «Сочетания». Перед учащимися лежат карточки №1. Нужно определить к какой последовательности относится задание, подойти к выбранному углу, обсудить, решить задачи. Учитель опрашивает  учащихся из разных углов.  Затем  решения и ответы вводятся через сканер и каждая группа видит решения через интерактивную доску.

Перестановки

Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение:

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р=6!=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р= 5!= 120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р=6!=720 Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда  получим ещё Р=6!=720 других комбинаций.

 Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно 720+720=1 440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

Размещения

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?

Решение.

а)

б)

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

 способов.

Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

Сочетания

Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров - остаться?

Решение.

Выбираем три элемента из 12; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а)  Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: =10.

б) Иванов и Петров не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 10 солдат;  количество способов:

 = 120 способов.

в)  Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

 = 45.

Ответ: а) 10 способов; б) 120 способов; в) 45 способов.

3. Этап воспроизведения знаний  в стандартных и  новых ситуациях.  (15 мин)

Определение: Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

В отличии от статистического подхода к вычислению вероятности такой подход называется классическим. Статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

2. Вероятность достоверного события считается равной 1. Вероятность невозможного события считается равной 0.

3. Классическая вероятностная схема (алгоритм). Этот способ применим только в тех случаях, когда все исходы некоторого испытания равновозможные.

Для нахождения вероятности случайного события А  при приведении некоторого испытания следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2) найти количество N(A)  тех исходов испытания, в которых наступает событие А;

3) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: P(A).

Формула нахождения вероятности события А:  .

Рассмотрим пример. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; б) не оранжевой; в) окрашенной; г) неокрашенной?

Решение:

а) ;

 б) ;

в) ;

г) .

Физминутка: Выполнение на тренажере упражнений для глаз.

Работа в группах.

Работа по учебнику у доски.

1 группа №798,802;    2 группа №799, 809

Проверка выполненных заданий по группам.

№798. Ответ:        120:1500=0,08

№802. Ответ:        1+2=3, 2+1=3, 6· 6=36, 2/36=1/18

№799. Ответ:        а) 1/6  б) 1/3

№809. Ответ:        9/10·8/9=0,8

4. Контроль сформированности умений и навыков. (8 мин)

Решение теста (http://сдамгиа.рф/)

Вариант 1

1.  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

2.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

3.  Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный в магазине монитор работает?

4.  В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

5.  На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Ответ:

Вариант 2

1. Стас выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

2. На экзамене 40 билетов, Яша не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

3. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш?

4.  На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

5.  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Ответ:

Вариант 3 (Один ученик выполняет на интерактивной доске. Задания выбирает из (http://сдамгиа.рф/)

1.  У бабушки 12 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

2.  На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

3. У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

4. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

5. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски?

Ответ:

Оценивание:  «5» - 5 б,  «4» - 4 б,   «3» - 3 б, «2» - <3.

5. Подведение итогов урока. Выставление оценок. (1 мин)  

Проблемный вопрос:  Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из  ОГЭ, ЕГЭ.

6. Домашнее задание.  (1 мин)

 Из учебника  п.35, №804, 805, вариант 11, формулы

Запасной ход. (2 мин)

   Синквейн.

Комбинаторика.

Интересная, занимательная.

Изучать, понимать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

Вариативность.

Теория вероятностей.
Новая, интересная.
Осознать, изучить, понять.

Помогает решать олимпиадные задачи.
Реальность.

Рефлексия  (2 мин)

Подведи итог своей работы.

ФИ_______________________________________________________________________

1. Мне было интересно работать на уроке.            Да.            Нет.

2. Мне было легко выполнять задания.                 Да.             Нет.

3. Мне было трудно выполнять задания.              Да.             Нет.

4. Труднее всего было выполнить задание_______________________________________

                                                   Комбинаторные задачи                                       (приложение)

                                                                         Способы решения.

Дерево вариантов                  Таблица                               Шифровка                       Формулы                                Правило умножения (N=)

                                                                                               Виды задач.