Дополнительные главы к школьному курсу математики.
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу.

Многочлены можно делить друг на друга «уголком», как целые числа. При этом, если а, в  N и а в, то а = вq + r, где 0≤ r ≤ в.

 Если многочлен а(х) делится на в(х), получается многочлен q(х) – частное и многочлен r(х) – остаток, таким образом

а(х)=в(х)• q(х)+ r(х).

Пример.

а(х)=х4+6х3-3х2-х+1

в(х)=х2-2х+3

х4+6х3-3х2- х +1         х2- 2х+3

х4-2х3+3х2        х2+8х+10

    8х3- 6х2  -  х

    8х3-16х2+24х

           10х2- 25х +1

           10х2-20х+30

        -5х – 29  

Значит, х4+6х3-3х2-х+1 =( х2-2х+3)( х2+8х+10) +(-5х – 29).

Прежде, чем делить данные многочлены надо представить их в каноническом виде, т.е. по убыванию степеней, причем приписать степени с нулевыми коэффициентами , если в исходном многочлене они отсутствовали.

В задачах часто возникает необходимость лишь в делении многочлена на двучлен вида (х- а). Это связано с тем, что число а есть корень многочлена р(х) тогда и только тогда, когда р(х) делится нацело на (х-а). (Следствие из теоремы Безу).

Итак, если вы угадали что многочлен р(х) имеет корень а, нужно поделить его на (х-а), получится многочлен q(х) меньшей степени , такой что

р(х)=(х-а)•q(х).

Пример.

р(х)=х-2х5+1разделить на х-1.

Решение.

-2х5+0х4+0х3+0х2+х+1                х-1

-2х5+2х4                                    -2х4-2х3-2х2-1                

       -2х4+0х3

       -2х4+2х3

        -2х3+0х2

        -2х3+2х2

               -2х2+ х

                        -2х2+2х

        -х+1

        -х+1

        0

Следовательно,

х-2х5+1=(-2х4-2х3-2х2-1)(х-1).

Теорема.

Рациональными корнями уравнения а0хn+а1хn-1+а2хn-2+…+аn-1х+аn=0

могут быть лишь числа m/p (m  Z , p  N),

где | m |-делитель числа | аn |,  p – делитель числа| а0|.

Пример.

4х4+8х3-3х2-7х+3=0

Делители числа 3  :   1; 3

Делители числа 4  :   1; 2; 4,

Возможные рациональные корни: 1; 3; 1/2; 3/2; 1/4; 3/4.

Единственный способ «бороться» с уравнениями степени 3 и выше состоит в угадывании корня. При этом надо подобрать только те целые числа, на которые без остатка делится свободный член уравнения.

Пример.

В уравнении х3-2х2+3х+22=0 нужно проверить лишь числа 1; 2; 11; 22.

Как корень а угадан, надо разделить «уголком» данный многочлен на (х - а).

( ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где  х1, х2 - корни квадратного трехчлена)

Найдите рациональные корни уравнения.

1.  х3-4х2+х+6=0                    [х=-1; 2; 3];
2.  8х3+16х2-9=0                    [х=1/2];
3.  3х5-6х4+4х3-8х2-3х+6=0   [х=2];
4.  4х5+8х4-5х3-10х2-3х-6=0  [х=2];
5.  х4-7х3+14х2-7х-1=0           [х=1];
6.  х4+8х3-18х2+8х+1=0         [х=1];
7.  2х3+х2-8х-4=0                   [х=2; 1/2 ];
8.  х3-7х+6=0                          [х=1; 2; -3];
9.  х5+5х-42=0                        [х=2];
10.  х3+х2+2х-4=0                    [х=1];
11.  х3-3х2+4=0                        [х=-1];
12.  х3-2х2-х+2=0                     [х=1;2];
13.  х3+х2-4х-4=0                    [х=-1];
14.  -х3+13х2-12х+20=0          [х=1;2;10];
15.  х3-4х2+х+6=0                    [х=-1;2;3].

Сравнение чисел.

При решении  уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется располагать числа на прямой. Если числа представляют собой сложные выражения с радикалами, это может стать проблемой. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, приближенный подсчет не является доказательством того, что одно число меньше другого, если они достаточно «близки».

Некоторые приемы сравнения чисел.

1)  Если числа положительные, ставим между ними галочку (мысля ее как неизвестный знак неравенства). Далее возводим числа в квадрат, убирая радикалы, и применяем свойства неравенства. В результате получим два рациональных числа, сравнив которые, сможем заменить галочку  знаком неравенства. Например,  сравним 3+2√2 и .

(3+2 ) ((3+2)234) ((9+12+8) 34)(17+1234)

  (1217) ((12)2172)288289.

Значит =, и 3+2√2  .

2)  Если слева и справа стоят отрицательные числа, то их надо умножить на (-1) и поменять галочку. Например, сравним числа и -.

(-)()(26) (2036),

Значит, есть , следовательно, есть . Значит, -.

Сравните числа.

1) + и ;

2) + и +;

3) - и -  ;

4) 2-  и 3- ;

5) -2 и - 2;

6) - и - .

Докажите, что

1) ;

2) ;

3) +2;

4) +2.