Уравнения с параметрами.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Уравнения с параметрами.

Уравнения, содержащие буквенные коэффициенты, называются уравнениями с параметрами.

Решить уравнение с параметрами – значит найти все решения данного уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.

При решении уравнений с параметрами можно ставить различные задачи.

Они появляются естественным образом уже при исследовании простейших уравнений, например, линейных. Параметров может быть несколько.

 Для примера рассмотрим линейное уравнение  ах = в.

Оно содержит два параметра а и в. При любых значениях параметров функция у=ах-в имеет смысл. Но, при а=0 уравнение ах=в разрешить относительно х невозможно, т.е. качественно изменяется задача. Т.о., множество значений параметра а разбивается на два подмножества определяемых соответственно условиями:   а и а.

Если а0, то уравнение имеет одно решение х =.

Если а=0, то мы имеем 0х=в и приходится выдвигать различные предположения относительно в.

Если а=0 и в=0, то мы имеем 0х=0. Следовательно, решениями являются все  

 х  R.

                  Если а=0 и в0, то имеем 0х=в. Это значит, что при указанных значениях параметров уравнение ах=в не имеет решений, т.е. хØ.

                  Можно сформулировать выводы:

1. уравнения следует рассматривать при всех допустимых значениях параметров (если в условии задачи нет специальных ограничений);
2. необходимо выделить те значения параметров, при которых меняется тип задачи(уравнение превращается в числовое равенство, квадратное уравнение становится линейным и т.д.).

Задачи с параметрами – это комбинированные задачи, при решении которых приходится одновременно использовать методы решения уравнений (или неравенств) различных типов.

1. Линейные уравнения с параметром.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-в=0. Оно приводится к виду ха=в.

При этом возможны следующие случаи.

1. При а0 уравнение имеет единственное решение х=, которое будет:

- положительным (х > 0), если  или

- нулевым х=0, если

-отрицательным (х<0), если  или

2.  При а=0 и в=0, 0х=0 и х – любое действителное число.
3. При а=0 и в0, 0х=в – уравнение корней не имеет.

 Пример 1.

                  Решить уравнение 2а(а-2)х=а-2.

                  Рассмотрим сначала значения а=0 и а=2, которые обращают в нуль коэффициент при х.

                  При а=0 уравнение принимает вид 0х=-2. Оно не имеет корней.

                  При а=2 исходное уравнение принимает вид 0х=0. Любое число х  R является его корнем.

При а0 и а2 заданное уравнение приводится к виду    х =. Отсюда х =.

Ответ: если а=0, то решений нет; если а=2, то х R; если а0 и а2, то х=.      

Пример 2.

Решить уравнение   (а2-1)х-(2а2+а-3)=0.

Запишем уравнение в виде:

(а2-1)х=2а2+а-3.

а2-1=(а-1)(а+1).

Разложим квадратный трёхчлен 2а2+а-3 на множители.

2а2 + а – 3 = 0.

Д=1-4·2·(-3)=1+24=25>0 – 2 корня.

а =;

а =.

2а2+а-3=2(а +)(а-1)=(2а+3)(а-1).

Уравнение примет вид:     (а-1)(а+1)х = (2а+3)(а-1).

1) Если а=1, то 0х=0, х – любое действительное число.

2) Если а=-1, то 0х=-2 – решений нет.

3) Если а1 и а-1, то х = .

Ответ: если а=1, то х R; если а=-1, то корней нет; если а1, то х =.

Пример 3.

Решить уравнение

.

ОДЗ:           

,

,

Т.к.  х ≠ 3, то

Т.к.  х ≠ -3, то    

Ответ: 1) если то х = ;

               2) если , то решений нет.

II. Уравнения с параметром и модулем.

Найти число решений уравнения .

Уравнения с параметром иногда бывает удобно решать графически.

Запишем уравнение в виде системы:

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат.

Уравнение  изображается ломаной.

Уравнение  определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

                                                у

                                                                  4                                           

                                     a > 0

                                     a = 0

                                                                  0                2                                              х

                          a < 0        

Следовательно, при а<0 решений нет, при а = 0 уравнение имеет единственное решение, при а >0 уравнение имеет два решения.

Ответ: если а<0, то нет решений;

            если а = 0, то уравнение имеет одно решение;

            если а>0, то уравнение имеет два решения.

III. Квадратные уравнения с параметром.

Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где хR – неизвестны, а,в,с – выражения, зависящие только от параметров, причем а 0, называется квадратным.

D = в2 – 4ас – дискриминант.

Допустимыми будем считать те значения параметров, при которых а,в,с – действительные числа.

Если D>0, a>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с<0 – разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку коэффициента в.

Если D<0, a>0, то уравнение имеет действительные и разные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента в.

Если D<0, a>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично устанавливаются свойства корней квадратного уравнения для а<0.

                  Пример 1.

Решить уравнение    (а2-1)х2=а+1.

Для решения этого уравнения рассмотрим следующие случаи:

1) а=1;   тогда уравнение принимает вид     0х2=4 и не имеет решений;

                  2) а=-1;  получаем уравнение     0х2=0, решением которого является любое число х R.

3)            Тогда имеем   х2=, откуда х2=.

Следовательно, при а>-1 и а получаем

х1=,

х2= - .

При а<-1 решений нет.

Ответ: если а=1 и а<-1, то решений нет; если а=-1, то х  R;

              если  то х = .

Пример2.

Решить уравнение .

Уравнение является квадратным при всех действительных значениях m, кроме m = 0.

D = 9m2 – 4m(-(m + 2)) = 9m2 + 4m(m + 2) = 9m2 + 4m2 + 8m = 13m2 + 8m

ОДЗ: 13m2 + 8m  0.

Введем функцию

f(x) = 13m2 + 8m

Находим нули функции:

13m2 + 8m = 0

m(13m + 8) = 0

m = 0              или             13m + 8 = 0

                                           13m = -8

                                            m =

             +                       –                        +

                                          0             1                       m

f(1) = 13∙12 + 8∙1 = 21

Значит , но т.к. при m = 0 корней нет, то

.

Значит при  корней нет.

Ответ: 1) если , то ;

            2) если , то корней нет.

Пример 3.

Решить уравнение (а – 5)х2 + 3ах – (а – 5) = 0.

При а – 5 = 0, т.е. а = 5 имеем 15х – 0 = 0, т.е. х = 0.

При а – 5 ≠ 0, т.е.а ≠ 5 уравнение имеет корни. Найдем их.

D = 9а2 – 4(а – 5)(-(а – 5)) = 9а2 + 4(а – 5)2.

Ответ: при а = 5 х = 0; при а ≠ 5  .

Пример 4.

В уравнении (k2 – 5k + 3)x2 + (3k – 1)x + 2 = 0 определить значение k так, чтобы один из корней был вдвое больше другого (кратное сравнение выполняется только для положительных чисел).

Применим теорему Виета.

Теорема. Пусть х1,х2 – корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно .

По теореме Виета и условию задачи составим систему:

Подставляя третье уравнение в первое и второе, получим:

Следовательно,

Подставим  в заданное уравнение. После упрощения получим уравнение х2 + 9х + 18 = 0, корни которого х1 = -6, х2 = -3.Получаем отрицательные корни, а они кратно не сравниваются. Поэтому задача решений не имеет.

Ответ: такие значения k не существуют.

Пример 5.

Решить уравнение .

ОДЗ:

Преобразуем данное уравнение, учитывая эти условия.

Домножим на а(х – 1)(х – а) ≠ 0.

Если а + 1= 0, т.е. а = -1, то 2х = 0, т.е. х = 0.

Если а + 1 ≠ 0. т.е.а ≠ -1, то

D = (а2 + 4а + 1)(а2 + 4а + 1) – 4∙2а(а + 1)(а + 1) = а4 + 4а3 + а2 + 4а3 + 16а2 + 4а + + а2 + 4а + 1 – 8а(а2 + 2а + 1) = а4 + 8а3 + 18а2 + 8а + 1 – 8а3 – 16а2 – 8а = а4 + 2а2 + 1

 , т.е.

Найдем значения а, при которых  х = 1  и х = а, чтобы исключить их.

  – недопустимо по условию;

  – невозможно;

 - недопустимо.

Итак, если а ≠ -1, а ≠ 0, а ≠ 1, то .

Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при а = 1.

Найдем корни уравнения:   х1 = 2, х2 = 1. Причем х2 не подходит по условию.

Ответ: при а ≠ 0 и а ≠ 1  ;

            при а = -1  х = 0; при а = 1  х = 2.

IV. Иррациональные уравнения с параметром.

Решение должно сопровождаться тщательной проверкой.

Пример 1.

Решить уравнение .

Корни этого уравнения должны удовлетворять условиям:

Возводим в квадрат обе части уравнения:   х2 + ах – 2а = (х + 1)2 .

Любой корень этого уравнения удовлетворяет первому условию, т.к. (х + 1)2  0. Следовательно, с учетом второго условия имеем:

     т.е.    

Если а=2, то 0х=5 корней нет; если а,то

При каких же а выполнено   ?

Решаем это неравенство.

(3а-1)(а-2)                          а

3(а-)(а-2)

(а-)(а-2)

Вводим функцию f(a).

f(a)=(a-)(а-2)

Находим нули функции.

(а-)(а-2)=0

а-=0    или    а-2=0

а=                  а=2

      +                          -                         +  

                             1                2                               a          

 f(1)=(1-)(1-2)=-

Следовательно,  

Ответ: х=  при ; корней нет при .

Пример 2.

=х

ОДЗ:              

Введем функцию f(a):        f(a)=a(a-1).

Находим нули функции.

а(а-1)=0          

а=0                 или        а-1=0

                                      а=1.

      +                        –                     +

                     0                    1                 2            х                   f(2) = 2(2 – 1) = 2

Т.к.  а, то .

При а=0                 =х

                                =х            Верно только при х=0.

Значит 0 выполняется при , а х=0 при а=0.

Возведём обе части уравнения в квадрат:        =

=  (1)

Обозначим = t. Тогда получаем систему уравнений:

  т.е.  

Вычтем почленно, получим          

Стало быть, имеем:  и  

1)                                                2)

D =>0 – 2 корня.                   D = 1 + 4(a – 1) = 4a – 3

 > a  х1 не является решением                  x1< 0  x1 не является решением

х2 < 0  х2 не является решением

Ответ: х = 0 при а = 0; х =  при а  1.

V. Показательные уравнения с параметром.

Пример 1.

Решить уравнение .

По определению показательной функции а > 0, в > 0.

1. Если а = 1, в = 1, то хR.
2. Если а = 1, в ≠ 1,то , значит х = 3.
3. Если а ≠ 1, в = 1. то , значит х = -1.
4. Пусть а≠1 и в≠1. Прологарифмируем данное уравнение по основанию а.

а)                                  б)

Тогда 0∙х = -4  хØ

Ответ: х R при а = в = 1; х = 3 при а = 1, в ≠ 1, в >0; х = 1 при а ≠ 1, в = 1, а > 0;

              при

Пример 2.

При каких значениях а уравнение  имеет единственное решение?

а > 0, т.к. .  Обозначим  = t, t>0.

Уравнение имеет единственное решение, если D = 0.

D = 25 – 4a2

25 – 4a2 = 0

Т.к. а > 0, то а = .

Ответ: а = .

VI. Логарифмические уравнения с параметром.

Пример 1.

Решить уравнение

ОДЗ:     Значит .

Преобразуем данное уравнение:    

а) Если , то уравнение принимает вид

Причем . Решим это неравенство. Для этого введем функцию

Нули функции: а = 1.

               +                          -

                          1           4                         а

Учитывая ОДЗ (а > 0, а ≠1), получаем: .

Оба корня лежат в промежутке (-2; 0).

б) Если х > 0, то уравнение принимает вид

Условие  выполняется при любом a > 0.

Корень  при условии, что а > 0.

Ответ:  при ,

              при .

Пример 2.

При каких значениях а уравнение имеет четыре решения?

ОДЗ: х > 0, т.е. .     Рассмотрим два случая.

а) Если  

     3 > 1  функция возрастает    

Исходное уравнение имеет два корня при 1 – 8а > 0 ,т.е. .

          и          

Т.к.  , то должны выполняться следующие условия:

1)  – верно при любом .

2) .

Итак, данное уравнение имеет два корня  и   при .

б) Если , т.е. 0 < x < 1

     и          

Т.к. , то должны выполняться условия:

1)  – верно при любом .

2)

Итак, данное уравнение имеет еще два корня  и  при .

Т.к. х1 и х2 верны при , а х3 и х4 верны при , то можно сделать вывод, что исходное уравнение имеет четыре решения при .

Ответ: .

VII. Тригонометрические уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение tg|x – 2| = a.

Т.к. , то cos|x – 2| 0

а) х-2.                                                б) x-2<0.

х-2                                             

х                                

Значит          (1)

Решаем исходное уравнение:

= arctg 

Т.к.    то  arctg

а) Если  ,  то  n = 0,1,2,3,4,…

б) Если   ,  то  n = 1,2,3,4,…

1)

x – 2 = arctg   

х = .

2) x – 2 < 0

-x + 2 =

Значит, .

Найденное решение удовлетворяет соотношению (1).

Ответ: при   ;

            при a < 0    

Пример 2.

Решить уравнение: (a – 1)cosx + (a + 1)sinx = 2a.

Запишем уравнение в виде

1. Если 3а – 1 = 0, т.е. а = , то уравнение примет вид

                          или                    

2. Если 3а – 1 0, т.е. а , то уравнение примет вид:

Уравнение имеет решение, если 1 – а2  0, т.е. , т.к. знаменатель не может равняться нулю.

Ответ: при ,     

Используемая литература:

1. Громов А.И., Савчин В.М. Математика. Подготовка к письменному экзамену: Учебное пособие. – Минск: Интерпрессервис. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.
2. Замыслова А.И. Репетитор по математике. – Ростов н/Д: Феникс, 2003.
3. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Рольф, Айрис – пресс, 1998.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.