Решение тригонометрических уравнений различными способами.
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Методическая разработка урока алгебры  и начал анализа в 10 классе (урок одной задачи).

Тема:  Решение тригонометрических уравнений различными способами.

Цели:

• показать разнообразие методов решения тригонометрических уравнений;
• выработка умения анализировать полученные решения.

Ход урока:

1. Организационный момент
2. Устные упражнения.
3. Решение уравнения. Сопоставление полученных решений.
4. Домашнее задание.

1. Организационный момент.
2. Устные упражнения.

•     Какие основные способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
•     Сопоставьте уравнение и способ решения.

Способы решения: 

преобразование к квадратному относительно какой-либо тригонометрической функции; разложением на множители; преобразование к однородному уравнению; решение уравнений с применением формул понижения степени; введение вспомогательного аргумента; метод универсальной подстановки.

Уравнения:

  ; 3 - 3 = 2 х; х + х - х - х = 0;

 cos7x + cosx = 0; 2sin3x + 2cos3x = ; sinx + tg = 0; х + 14 sinxcosx =15х;             х - х = sin 4x; 6х = 4 + sin2x;

3. Решение уравнения. Сопоставление полученных решений.

Постановка задачи

   Перед учащимися ставится задача: решить уравнение  3sin2x + 8 х =7. При этом первый вариант решает это уравнение методом сведения к однородному уравнению, второй  - применением формулы понижения степени и введением вспомогательного аргумента.

Результаты решения записываются на доске представителями вариантов.

Решение методом сведения к однородному уравнению.

3sin2x + 8 х =7,

6sinxcosx + 8 х = 7х + 7х,

7х - 6sinxcosx - х = 0,

7- 6tgx -1 = 0,

 tgx = y,

 7y2 – 6y -1 =0,

 y=1,  y = - ,

Решение применением формулы понижения степени и введением вспомогательного аргумента.

3sin2x + 8 х =7,

3sin2x + =7,

3sin2x = 4 cos2x = 3,

 sin2x + cos2x = ,      пусть   = sin ,

sinsin2x + coscos2x = ,

cos(2x - ) =  ,

2x –  =  0,6 + , k,

2x =  0,6 + arcsin0,6 + , k,

             x =  +  + , k.

Обсуждение итогов работы.

           При решение уравнения были получены следующие множества корней:  

          1 вариант -   x =  + , k    x = -arctg  + , n;

           2 вариант -    x =  +  + , k.

Покажем, что они соответствуют одним и тем же точкам на числовой окружности.

           arcsin0,6 = , arccos0,6 = ,  sin = 0,6, cos =0,8,  cos=0,6,    sin=0,8.

           sin2x = sin () = sin cos + sincos = 0,6∙0,6 + 0,8∙0,8 = 1,

           2x =  +2 , k,

             x =  + , k

            sin2x = sin () = sin cos - sincos = 0,6∙0,6 - 0,8∙0,8 = - 0,28.

   cos2x = 0,96, tg2x = -  .

    tg2x =,    -   = , решив квадратное уравнение получаем

    tgx = 7,    tg x = -  , х – угол четвёртой четверти, значит

              tg x = - ,          x = -arctg  + , n.

4. Домашнее задание. Решите уравнение 4х + 7cos2x =1 тремя способами: методом сведения к однородному уравнению, методом понижения степени уравнения, методом сведения к квадратному уравнению.