Урок одной задачи , 11 класс
методическая разработка по математике (11 класс) на тему

УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ    Материал старших школьников  и их учителей

Многие законы природы основаны на экстремальных принципах.

Еще древние геометры Греции (Евклид, Аполонний Пергский, Архимед) формулировали и решали задачи на нахождение, как бы выразился современный математик, локального и глобального экстремумов. Например, Аполлоний рассчитывал кратчайшие расстояния от точки до эллипса, гиперболы и параболы; в «Началах» Евклида формулировались задачи, которые может решать любой старшеклассник – «В треугольник АВС нужно вписать параллелограмм CDEF наибольшей площади». Архимеду были по плечу задачи оптимизации, касающиеся пространственных тел. Изыскания математиков вплоть до XVII были разрозненными, общий подход в решении экстремальных задач был впервые изложен в 1684 году в работе Готфрида Лейбница «Новый метод в нахождении наибольших и наименьших значений…». Справедливости ради, надо указать, что метод был основан на идеи  Пьера Ферма, изложенной им еще в 1636 году: если функция достигает своего экстремума в некоторой точке хо, то  в данной точке производная функции должна обратиться в ноль.

Задачи на отыскание наибольшего или наименьшего значения какой-либо величины встречаются в экономике, технике,  архитектуре, медицине. Математический аппарат, который предлагается и используется  в настоящее время для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, оперирует такими понятиями, как производная функции, локальный и глобальный экстремумы.

Немного необходимой теории

Пусть функция f(x)  определена на некотором интервале (а;b), содержащем точку xo.  Тогда эта точка  хо  называется локальным  минимумом  (максимумом)  функции f(x), если найдется такой подинтервал  (ао;bо), принадлежащий (а;b), что xо. (ао;bо),  и  f(x) > f(xо)     (f(x) < f(xо))  для всех х из данного подинтервала  (ао;bо).

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом 

 Производную функции определяют

Равенство нулю производной для существования локального экстремума (минимума или максимума) есть необходимое условие. Достаточным условием существования локального экстремума  является изменение знака производной при переходе через стационарную точку (точку, в которой производная равна нулю). Если производная не меняет свой знак, то стационарная точка не будет считаться локальным экстремумом.

С помощью второй производной, в случае её существования в стационарной точке xo, достаточное условие локального экстремума формулируются короче:

если xo – стационарная точка функции f(x) и f”(x)>0, то xo – локальный минимум;

если xo – стационарная точка функции f(x) и f”(x)<0, то xo – локальный максимум.

Наибольшего (или наименьшего) значения на отрезке непрерывная функция  достигает или в критической точке этой функции или на концах данного отрезка.

Глобальный экстремум разыскивают на отрезке  , в случае непрерывности функции f(x) на этом отрезке: среди стационарных точек отбирают те, которые принадлежат , затем вычисляют значения функции в данных точках и на концах отрезка. Наибольшее среди полученных значений – глобальный максимум, наименьшее – глобальный минимум функции на рассматриваемом отрезке.

Для функции, заданной на произвольном промежутке, существует следующее правило нахождения наибольших и наименьших её значений:

1. Находят все критические точки внутри промежутка;
2. Вычисляют значения функции в найденных точках и на концах промежутка, (в которых функция определена), и выбирают из этих значений наибольшее и наименьшее.

Пример  Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение. Функция внутри рассматриваемого отрезка имеет единственную критическую точку , в которой производная .

Для определения наибольшего и наименьшего значения этой функции вычислим её значения в критической точке и на концах отрезка . Следовательно, наибольшее значение равно 2, а наименьшее .

 Таким образом,   .

В XIX веке в работах ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона появились новые понятия и, соответственно, новые термины: вектор, векторное произведение, скалярное произведение.

Скалярным произведением векторов  и , координаты которых соответственно (х1;у1) и (х2;у2), называется действительное число х1у1 +  х2у2. (В учебнике Геометрия 7-9 и 10-11 группа авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. данное предложение отнесли к свойствам скалярного произведения, определяют они скалярное произведение векторов как результат операции умножения модулей двух векторов на косинус угла между ними).

Скалярное произведение векторов, как оказалось, можно применить для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Решение задачи разными способами.

Интересным представляется вопрос решения одной задачи разными способами, так как при этом можно увидеть задачу не только под другим углом, но и обнаружить взаимосвязи всех частей математики. Кроме того, можно сравнить стандартность применяемого приема или его оригинальность, объемы вычислительной и объяснительной работы. Эстетическая сторона работы для математика тоже важна. «Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним», - эти слова известного математика Д. Пойя стали принципом для многих  специалистов в различных областях знаний.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции

1. способ.

преобразуем функцию

у =

.  Значит, .

Таким образом, наибольшее значение функции на всей области определения (множестве действительных чисел) есть число 5, наименьшее значение  функции – это  число –5.

2. способ.

 Область определения функции , как уже отмечено было выше, есть множество действительных чисел. Период функции равен 2, так как исследуемая функция сумма функций, имеющих период 2.

Производная функции у/= 3 cos x - 4 sin x.  Стационарные точки х = аrctg + n, n.

Так как период рассматриваемой функции равен 2, то достаточно рассмотреть значения функции на концах отрезка  и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку,

х = аrctg    и   х = аrctg  + .

у(0) = у(2) = 4;

у (аrctg ) =

у(аrctg + ) = 3 sin (arctg+) + 4 cos (arctg+) =  - 3 sin (arctg) - 4 cos (arctg) = -5, так как sin (arctg) = ;  cos (arctg) = .

Таким образом, наименьшее значение функции есть число -5, наибольшее значение – число 5.

3. способ.

Скалярное произведение векторов обладает рядом свойств

1.

2. , - произвольное действительное число

3.

4.

В основе третьего способа решение задач на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции лежат следующие свойства скалярного произведения векторов:

Причём знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы  линейно зависимы (т.е. коллинеарны) или хотя бы один из векторов нулевой.

Значит, если , то , если , то .

Как работает данный метод,  покажем на примере известной уже задачи.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Рассмотрим 2 вектора:

Согласно неравенству     имеем        - ,

   где ,  .

Тогда имеем,

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение.

1. способ.

Рассмотрим векторы:

Имеем

Выясним, могут ли данные векторы быть сонаправленными:

Отсюда

Итак, при  векторы   сонаправлены,  и поэтому

Однако координаты вектора  не могут быть отрицательными, поэтому  принимает наименьшее значение при

Следовательно,

2. способ.

Рассмотрим функцию .

Область её определения есть отрезок

у/= ;

Область определения производной интервал (0;1).

Стационарные точки находятся из уравнения ;

Стационарная точка только одна – х =;

Вычислим значения на концах отрезка  и в точке х =;

у(0) = 4;

у(1) = 3;

у =

Делаем вывод, что наименьше значение функции унаим= 3, наибольшее значение функции –

унаиб = 5.

3) Найдите множество значений функции  .

Решение.

 1 способ 

Переформулируем задачу: «Найти значения параметра a, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы одно решение». Перепишем это уравнение. Поскольку , получаем ,

При  это уравнение имеет решение . При  уравнение
 квадратное и

Условие существования решения: , или , т.е. , откуда . Поскольку особое значение 1 параметра a входит в этот отрезок, заключаем, что .

2 способ  Найдите множество значений функции          .

Решение.

Область определения функции – множество R. Исследуем функцию.

1. , откуда следует, что  является асимптотой графика функции (единственная асимптота).
2. Преобразуем дробь, задающую функцию y:
3. Отсюда, у/=     
4. Критические точки функции: .
5.  Функция, определённая на R, может либо принимать своё максимальное (минимальное) значение в некоторой точке максимума (минимума), либо, уходя в бесконечность (т.е. бесконечно возрастая или бесконечно убывая), не достигать максимального или минимального значения. В данном случае при .
6. Значит, предельное значение функции, равное 1, меньше её значения  в единственной точке максимума х max = -3 и больше значения 0 в единственной точке минимума хmin = 1 . Отсюда следует, что при  для значений функции y выполняются неравенства  .

Делаем вывод, E(у) = [0;].

Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т11.Математика М: Аванта+, 1998;
2. Энциклопедия для детей. Т 7 часть 1, 2  Искусство М: Аванта+, 1998;
3. В.А. Васильева, Т.Д. Кудрина, Р.Н. Молодожникова, Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы, М: МАИ, 1992;
4. Л.И. Гуткин, Сборник задач по математике с практическим содержанием, М: Высшая школа, 1968;
5. З.А. Скопец, Геометрические миниатюры, М: Просвещение, 1990.