О предмете математики и о математических моделях
статья по алгебре (11 класс) на тему

В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс в общеобразовательных учреждениях, делается акцент на то, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. Жизнь требует обеспечения практической направленности обучения при его достаточно высоком научном уровне. Нужна не простая сумма знаний, нужны убеждения. Но воспитать убеждения учащихся может только учитель, сам имеющий глубокие убеждения, обладающий широким научным  мировоззрением, хорошо владеющий приёмами и методами формирования мировоззрения учащихся.

Формальные знания учащихся, как правило, являются следствием формального обучения. Необходимо подвергнуть критическому пересмотру всю методику обучения, чтобы его связь с жизнью не носила случайный, показной характер, а была органической, вытекающей из содержания и цели обучения.

 Рассмотрим некоторые аспекты изучения начал анализа в школе. Наша задача состоит не в том, чтобы научить учащихся формальным правилам вычисления производных и интегралов. Задача в том, чтобы учащиеся видели возникновение этих правил из потребностей практики и почувствовали необходимость их применения при решении широкого круга практических задач.

Что же изучает математика? Ответить  на этот вопрос затруднялись даже выдающиеся учёные потому, что математика – наука абстрактная. Есть области математики, обладающие такой высокой степенью абстрактности, что их связь с практикой установить очень трудно. Поэтому и появляются математические понятия,  и они уже сами начинают жить самостоятельной жизнью, сами становятся объектом изучения. Например, практическая задача о нахождении мгновенной скорости неравномерного движения и некоторые другие практические задачи привели к понятию производной, а изучение свойств этого понятия привело к развитию теории дифференциального исчисления, представляющего сегодня мощный математический аппарат исследования.

Задача о вычислении пути неравномерного движения, задача о вычислении площади криволинейной трапеции и другие задачи привели к появлению понятия интеграла и теории интегрального исчисления. В дальнейшем сами понятия производной и интеграла уточнялись, углублялись,   обобщались в различных направлениях и привели к таким разновидностям этих понятий, что их связь с практикой нелегко разглядеть. Но абстрактный характер математики не служит препятствием для её применения напротив, делает её наукой универсальной, могущей быть применённой к задачам самой различной природы.

Появление компьютерных технологий открыло широкие возможности применения математических методов в самых различных областях человеческой деятельности. Наблюдающийся сегодня интенсивный процесс математизации науки, техники, экономики стал возможным благодаря применению ЭВМ.

Чтобы приложить математику к решению конкретной практической задачи её нужно сделать математической, т.е. сформулировать её на языке математики. Математическая формулировка данной прикладной задачи называется её математической моделью. Математическая модель основана на таком упрощении реального исследуемого объекта, в котором сохраняются наиболее существенные черты и свойства этого объекта, описанные с помощью определённых математических понятий.

Пример: требуется вычислить площадь поверхности письменного стола. В качестве математической модели поверхностью такого стола можно взять прямоугольник, размеры которого получаются в результате измерений длины и ширины стола. Площадь полученного прямоугольника и берётся за величину площади поверхности стола.

Математические модели могут иметь тот или иной вид в зависимости от языка, выбранного для характеристики исследуемого объекта, определяемого природой этого объекта и характером поставленной задачи. В примере математической моделью поверхности стола был прямоугольник.

Надо помнить, что математическая модель получается в результате некоторых упрощений реального исследуемого объекта и поэтому является его приближённым описанием. Для достижения большей точности требуется модель большей сложности. После построения математической модели данного объекта, задача получает математическую формулировку и для её решения, мы уже можем воспользоваться математическими методами.  

Часто жизнь ставит такие задачи, в которых требуется высокая степень точности. Например, космические полёты. Иногда это приводит к математическим моделям такой сложности, для которых ещё неизвестен метод исследования. Тогда приходится специально разрабатывать этот метод. Так, практика стимулирует развитие математики.

Исследование математической модели заключается в разработке алгоритма её решения. Алгоритмом решения называется такая последовательность математических операций, которая приводит к искомому решению. Для простейших моделей алгоритм получается в виде формулы.  Таков, например, алгоритм вычисления корней квадратного уравнения или алгоритм вычисления площади треугольника.

Часто алгоритм реализуется с помощью компьютерных технологий. Для этого составляется программа, в которой алгоритм подвергается обработке, подробному анализу и сравнению с экспериментальными данными, полученными с натуры. Если результаты расчёта далеки от практики, то возникает необходимость уточнения математической модели. Если же эти результаты достаточно точны, то данная математическая модель может быть использована для характеристики исследуемого объекта и получения таких данных о нём, которые трудно получить  с помощью обычного эксперимента. Другими словами, объектом математики является математическая модель, а не сам реальный процесс. В этом выражается абстрактность математики. Но эта абстрактность не отдаляет математику от действительности, а скорее приближает к ней.

Результаты, вытекающие из исследования конкретной математической модели, имеют свои строго определённые границы применения, т.к. каждая модель получается путём определённых упрощений.

Математика возникла из практических потребностей человека, она была объективно необходима человеческому обществу в его борьбе за существование. Можно сказать, что математика возникла как прикладная наука. Развитие математики тесно связано с развитием человеческого общества, с развитием производительных сил. Эта связь имеет сложный характер и, как правило, осуществляется через посредство других наук, прежде всего естественных наук. Особенно тесно математика связана с астрономией и физикой. Эти две науки издавна служат важнейшей области приложения математики. Без математики прогресс этих наук был бы невозможен. Но и математика своим развитием во многом обязана этим наукам. К примеру, дифференциальное и интегральное исчисление, составляющие в настоящее время обширный и важнейший раздел современной математики, возникли из задач физики, а затем сами явились средством решения этих задач.  Исаак Ньютон, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, свои математические достижения рассматривал лишь как средство для решения задач естествознания. Приложения – важнейшее условие развития математики. Вся история математики есть история её приложений. Приведём  пример из астрономии.

Как хорошо известно, планета Нептун была открыта «на кончике пера» т.е. в результате математических расчётов. Поводом к поискам этой планеты послужило отклонение планеты Уран от предполагаемой орбиты. Было ясно, что на движение Урана оказывает действие сила тяготения ещё какой-то неизвестной тогда планеты. Эту планету не удавалось обнаружить с помощью телескопа.

В 1845 году двадцатидвухлетний студент Кембриджского университета Джон Адамс в результате трудоёмких вычислений, выполненных им вручную, нашёл массу, размеры и орбиту искомой планеты. Почти одновременно с ним аналогичные расчёты новой планеты осуществил молодой французский астроном Урбен Леверье (1811-1877), который сообщил немецкому астроному Иоганну Галле, где должна, по его расчётам, находится планета. Получив письмо от Леверье 23 сентября 1846 года, Галле в тот же вечер обнаружил Нептун на небе точно в том месте, которое было указано в письме. Это был триумф математики т.к. при расчётах был сконструирован специальный метод приближённого решения дифференциальных уравнений, описывавших движение Нептуна. Из этого примера видно, что невозможно математику делить на чистую и прикладную.

За последние годы роль математики в жизни общества неизмеримо возросла. Если раньше математические методы применялись лишь в естественных науках, то теперь благодаря электронно-вычислительной технике они находят широкое применение и в общественных науках и в производственном процессе. Абстрактный характер математики делает её универсальной наукой и позволяет ей органически сливаться с другими науками. В каждой науке наступает такой период, когда она уже исчерпала возможности своего внутреннего развития и для дальнейшего прогресса ей становится необходимым математический метод. В настоящее время математика – достаточно развитая наука, чтобы в ней нашлись методы, пригодные в любой науке. Но математика не стоит на месте, она развивается и сама по себе, и как прикладная наука. В ней постоянно возникают новые идеи, новые разделы.

Когда мы говорим о математизации какой- то науки, то речь идёт обычно о построении и исследовании математических моделей объектов данной науки. Вместе с математическими моделями в данную науку приходит математический язык и математическая форма мышления. В результате выигрывают не только науки, применяющие математические методы, но и сама математика получает такие идеи, которые крепко связывают её с жизнью.