Действительные числа.
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Действительные числа Алгебра и начала математического анализа 10 класс

Слайд 2

C одержание Натуральные и целые числа 1 Рациональные числа 2 Иррациональные числа 3 Действительные числа 4

Слайд 3

Натуральные и целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … – ряд натуральных чисел N или (Z + ) -1 , - 2 , -3 , -4 , -5 , -6 , -7 , -8 , -9 , -10 , -11 , … – ряд противоположных натуральным чисел Z – …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, 4, 5 , … – ряд целых чисел Z (Z + и Z – и 0)

Слайд 4

Множества чисел R Q Z N

Слайд 5

Делимость натуральных чисел Для двух натуральных чисел a и b , если существует натуральное число q такое, что выполняется равенство a = bq , то говорят, что число a делится на число b . a – делимое b – делитель q – частное a : b = q a b … – а делится на b без остатка

Слайд 6

1 о Если a ⋮ с и с ⋮ b , то a ⋮ b . 2 о Если a ⋮ b и с ⋮ b , то ( a + c ) ⋮ b . Пример: 144 ⋮ 12 и 12 ⋮ 3 , то 144 ⋮ 3. Пример: 84 ⋮ 3 и 63 ⋮ 3 , то (84 + 63) ⋮ 3. 3 о Если a ⋮ b и с не делится на b , то ( a + c ) не делится на b . Пример: 48 ⋮ 3 и 52 не делится на 3 , то (48 + 52) не делится на 3. Свойства делимости

Слайд 7

4 о Если a ⋮ b и ( a + c ) ⋮ b , то c ⋮ b . 5 о Если a ⋮ b и с ⋮ d , то ac ⋮ bd . Пример: 48 ⋮ 3 и (48 + 57) ⋮ 3 , то 57 ⋮ 3. Пример: 81 ⋮ 3 и 56 ⋮ 4 , то (81∙56) ⋮ ( 3∙4). 6 о Если a ⋮ b и с  N , то ac ⋮ bc , и наоборот . Пример: 48 ⋮ 12 и 11  N , то (48∙11) ⋮ (12∙11 ), и обратно. Свойства делимости

Слайд 8

7 о Если a ⋮ b и с  N , то ac ⋮ b . 8 о Если a ⋮ b и с ⋮ b , то для любых n , k  N следует ( an + ck ) ⋮ b . Пример: 48 ⋮ 3 и 13  N , то (48∙13) ⋮ 3. Пример: 81 ⋮ 9 и 54 ⋮ 9 , то (81∙17 + 54∙28) ⋮ 9 . 9 о Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n . Свойства делимости Пример: среди трех последовательных натур. чисел 111, 112, 113 только одно делится на 3. (111 ⋮ 3)

Слайд 9

На 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 . Пример: 56738 ⋮ 2 т.к. 8 ⋮ 2. Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 5: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (0 или 5). Пример: 56735 ⋮ 5 т.к. 5 ⋮ 5. На 10: необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0 . Пример: 56730 ⋮ 10.

Слайд 10

На 4: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами . Пример: 56736 ⋮ 4 , т.к. 36 ⋮ 4 . Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 25: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами . Пример: 56775 ⋮ 2 5 , т.к. 75 ⋮ 25 . На 8: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами . Пример: 56552 ⋮ 8 , т.к. 552 ⋮ 8 .

Слайд 11

На 125: необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами . Пример: 56375 ⋮ 125 , т.к. 375 ⋮ 125 . Признаки делимости Для того, чтобы натуральное число делилось На 3: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 . Пример: 56742 ⋮ 3 , т.к. (5+6+7+4+2) ⋮ 3 . На 9: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9 . Пример: 56545 ⋮ 9 , т.к. (5+6+7+4+5) ⋮ 9 .

Слайд 12

На 11: необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр, взятых со знаком «+», стоящих на нечетных местах , и сумма цифр, взятых со знаком « – », стоящих на четных местах, делилась на 11 . Пример: 8637519 ⋮ 11 , т.к. (9-1+5-7+3-6+8) ⋮ 11 . Признаки делимости Для того чтобы натуральное число делилось На 7 (на 13): необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образующих грани, взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком « – » для четных граней, делилась на 7 (на 13) . Пример: 254 390 815 ⋮ 7 , т.к. (815-390+254) ⋮ 7 .

Слайд 13

Обозначения abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f Пример: 2543 = 2∙1000 + 5∙100 + 4∙10 + 3 Пример: 100410 = 1∙100000 + 4∙100 + 1∙10 n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720 2! = 1 ∙ 2 = 2 1 ! = 1 0 ! = 1

Слайд 14

Деление с остатком a = b q + r a – делимое b – делитель Теорема 4. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b , то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r , причем r < b , такая что выполняется равенство: Пример: 37 : 15 = 2 ( ост. 7) а = 3 7, b = 15 , тогда 37 = 15 ∙ 2 + 7 ; где q = 2, r = 7. q – неполное частное r – остаток Замечание. Если а ⋮ b , то можно считать, что r = 0 .

Слайд 15

Простые числа Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом . 2, 3, 5, 7, 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97, 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , … – простые числа . Теорема 1. Любое , натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель. Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно. Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперед заданного натурального числа.

Слайд 16

C оставные числа Если натуральное число имеет более двух делителей, то его называют составным числом . 1 не является ни простым, ни составным числом . 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, … – составные числа Основная теорема арифметики. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Примеры: 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7; 56 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7 .

Слайд 17

1, 2, 3, 4, 6 , 8 , 12 , 16, 24, 32, 48, 96 Делители числа 72 : Наибольший общий делитель ( НОД ) 1, 2, 3, 4, 6 , 8 , 9 , 12 , 18, 24, 36, 72 Делители числа 96 : Среди них есть одинаковые : Их называют общими делителями чисел 72 и 96 , а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем ( НОД ) чисел 72 и 96 . Найти НОД чисел: 72 и 96 . НОД (72; 96) = 24 1, 2, 3, 4, 6 , 8 , 9 , 12 , 24

Слайд 18

Наибольший общий делитель ( НОД ) Два натуральных числа a и b называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1 , т.е. НОД( a, b) = 1 . Пример: 35 и 36 взаимно простые числа, т.к. НОД (35; 36) = 1 .

Слайд 19

18, 36, 54, 72, 90 , 108 , 126 , 144, … Кратные числа 12 : Наименьшее общее кратное ( НОК ) 12, 24, 36, 48, 60 , 72 , 84 , 96 , 108, … Кратные числа 18 : Среди них есть одинаковые : Их называют общими кратными чисел 12 и 18 , а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным ( НОК ) чисел 12 и 18 . Найти НОК чисел: 12 и 18 . НОК (12; 18) = 36 36, 72, 108, 144, …

Слайд 20

Разложение на простые множители 378 0 = 2 2 ∙ 3 3 ∙ 5 ∙ 7 2 2 3 3 3 5 7 3780 1890 945 315 105 35 7 1 2 2 2 2 3 3 7 7 7056 3528 1764 882 441 147 49 7 1 70 56 = 2 4 ∙ 3 2 ∙ 7 2 НОД (3780; 7056)= = 2 2 ∙ 3 2 ∙ 7 = 252 НОК (3780; 7056)= = 2 4 ∙ 3 3 ∙ 5 ∙ 7 2 = = 105840

Слайд 21

Рациональные числа Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби . Рациональные числа – это числа вида , где m – целое число, а n – натуральное. Q - множество рациональных чисел . m n Примеры: = 0,17(857142); = 0,(285714); 6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0). 5 28 2 7

Слайд 22

Рациональные числа Верно и обратное утверждение: Любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби . Примеры: 0,3333… = 0,(3) = ; 0,3181818… = 0,3(18) = . 7 22 1 3

Слайд 23

Рациональные числа Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь : Пусть х = 1,(23) = 1,23232323… Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период: 100х = 123,232323… х = 1,232323… 100х – х = 122,000000… Т.е. 99х = 122, откуда х = 122 99 Пример (1 способ): –

Слайд 24

Рациональные числа Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь : Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0 ,23 + 0,0023 + 0,000023 + … Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S 1 , где S 1 = b 1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01 , и первым членом b 1 = 0,23 : S 1 = = S = 1 + = 0,23 1 – 0,01 Пример (2 способ): 23 99 23 99 122 99

Слайд 25

Иррациональные числа Термины «рациональное число» , «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»). Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь . 0,1234567891011121314… π ≈ 3,1415926535897932… е ≈ 2,7182818284590452… √ 11 ≈ 3,31662479035539… Примеры:

Слайд 26

www.themegallery.com Спасибо за внимание !