Научная статья "Отработка умения решать задачи с помощью таблицы"
статья по алгебре (9 класс)

     Из пунктов А и B, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что турист, вышедший из пункта А, шёл со скоростью, на 1  большей, чем другой турист, и сделал в пути 30-минутную остановку.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию, турист, вышедший из А, сделал 30-минутную (0,5 часа) остановку:

 + 0,5 =      | *(x2+x)  ОДЗ: х≠0;-1

9х + 0,5х2 + 0,5х = 10х + 10

0,5х2 - 0,5х - 10 = 0

х2 - х - 20 = 0

D = 1 + (4*20) = 81

х1,2 =  

х1 = 5

х2 = -4  - не удовлетворяет условию (скорость не может быть отрицательной)

1) 5 + 1 = 6 () – скорость туриста, вышедшего из А

Ответ: 6 ;  5

     Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 , то он опоздает на 30 мин, а если на мопеде со скоростью 40 , то приедет за 2 часа до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию, при выезде туриста на велосипеде он прибудет на станцию на (2ч+30мин)=2,5ч позже, чем если бы он выехал на мопеде:

 – 2,5 =      | *120

8х – 300 = 3х

5х = 300

х = 60

Ответ: 60 км.

     Туристы на моторной лодке проплыли два часа против течения реки, после чего повернули обратно и 12 минут плыли по течению, выключив мотор. Затем они включили мотор и через один час после этого прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость собственная скорость лодки и скорость течения реки считаются постоянными.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть y  – собственная скорость лодки

По условию, после 1-ой части пути они развернулись и приплыли в точку отправления

2(y - x) = 0.2x + y + x

2y – y = 2x + 0.2x + x

y = 3.2x

Ответ: в 3,2 раза

     Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 2 км⁄ч, скорость лодки в стоячей воде 8 км⁄ч. На какое наибольшее расстояние по реке они смогут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 часа?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, пути туда и обратно равны:

10x = 6*(2-x)

10x = 12-6

16x = 12

x = 0,75

1) 10*0,75 = 7,5 (км) – наибольшее расстояние, на которое туристы могут отплыть.

Ответ: 7,5 км наибольшее расстояние, на которое туристы могут отплыть.

     Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад и через 1 час 12 минут после выхода из B увеличил скорость на 16 км⁄ч. В результате на обратный путь он затратил на 48 минут меньше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость автомобиля.              

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, время на путь из B в A на 0,8 ч меньше:

 – (1,2 +  ) = 0,8       ОДЗ: x≠ -16; 0

300x + 4800 – 1,2x2 – 19,2x -300x + 1,2x2 = 0,8x2 + 12,8x

0,8x2 + 32x – 4800 = 0 │ : 0,8

x2  + 40x – 6000 = 0

По Т. Виета:

X1 = 60

X2 = -100 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 60 км/ч первоначальная скорость автомобиля.

     Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна если известно, что она на 9 км/ч меньше скорости второго.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, первый бегун пробежал на 8 км меньше:

*(х+9) = х+8 │ *60

57х + 513 = 60х + 480

3х = 33

х = 11

Ответ: 11 км/ч скорость первого бегуна.

     Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад и через 1 час 12 минут после выхода из B увеличил скорость на 16 км⁄ч. В результате на обратный путь он затратил на 48 минут меньше, чем на путь от А до В. Найдите первоначальную скорость автомобиля.              

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, время на путь из B в A на 0,8 ч меньше:

 – (1,2 +  ) = 0,8       ОДЗ: x≠ -16; 0

300x + 4800 – 1,2x2 – 19,2x -300x + 1,2x2 = 0,8x2 + 12,8x

0,8x2 + 32x – 4800 = 0 │ : 0,8

x2  + 40x – 6000 = 0

По Т. Виета:

X1 = 60

X2 = -100 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 60 км/ч первоначальная скорость автомобиля.

     Автомобиль едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих направлениях.)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, на обратный путь было затрачено 13 мин:

 +   = 6,5

 + 3 *   = 6,5

Пусть   = а =˃   =

а +  = 6,5 │ *а

а2 -6,5а +3 = 0

По Т. Виета:

а1 = 6

а2 = 0,5 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в 6 раз скорость автомобиля при движении с горы больше.

     Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, одновременно выехали два автобуса. Во время пути один из автобусов сделал остановку на 15 минут, но в пункт В прибыл на 5 минут раньше второго. Известно, что его скорость в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите скорость каждого автобуса.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи первый автобус приехал на 5 минут раньше и сделал остановку на 15 минут:

 +  =      | *(1,5х * 3х)   ОДЗ: х≠0;-1

1,5х2 - 120х = 0

х(1,5х - 120) = 0

х = 0 – не соответствует условию задачи        х = 80

1)  1,5 · 80 = 120 () – скорость первого автобуса

Ответ: 120

     Из двух пунктов, расстояние между которыми 28 км, выходят одновременно навстречу друг другу два пешехода с одинаковыми скоростями. Пройдя 9 км, первый пешеход сделал остановку на 1 ч. После этого он увеличил скорость на 1 км/ч, и встреча пешеходов произошла на расстоянии 4 км от места задержки. Найдите скорость второго пешехода.    

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи первый пешеход сделал остановку на 1 ч.

1 +    +    =       | * х(х+1)        ОДЗ: х≠ -1;0

х2 + х + 9х + 9 + 4х = 15

х2 – х – 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

х1;2 =

х₁ = 3           х₂ = -2 – не соответствует условию задачи

Ответ: 3

     Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 километров и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 , стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи стоянка длится 8 часов.

  + 8 +   = 56    |*(х+4)*(х-4)      ОДЗ: х ≠ ±4

3х2 – 70х – 48 = 0

D = 4900 + 576 = 5476

Х1 = 24            Х2 = -   - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 24

     Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. к этому времени плот прошел 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть х  – собственная скорость лодки.

По условию задачи плот плыл на 1 час дольше.

13 – 1 =  +       |*(х + 4)*(х - 4)     ОДЗ: х≠ ±4

12х2 – 180х – 192 = 0  |:12

х2 – 15х – 16 = 0

D = 225 + 4 *16=289

Х1;2 =  

Х1 = 16                   х2 = -1 – не удовлетворяет условие

Ответ: 16

     Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь – за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор втроём?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1)  +  +  =  +  +  =  =   - удвоенная производительность всех ребят

2)  : 2 =  – производительность всех ребят

3)  =  = 9,6 часов = 576 минут

Ответ: 576 минут

     Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что в течение 1 часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, за 1 час трубы вместе наполнят 1/6 часть бассейна:

х + 1,5х = 1/6  │ *6

6х + 9х = 1

15х = 1

х = 1/15

1) 1: 1/15 = 15 (ч) – потребуется 2 трубе для заполнения бассейна.

2) 1,5 * 1/15 = 0,1 – скорость наполнения 1 трубы.

3) 1:0,1 = 10 (ч) - потребуется 1 трубе для заполнения бассейна.

Ответ: 10 ч и 15 ч потребуется каждой трубе для заполнения бассейна.

     Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь – за 24 часа. За сколько минут мальчики покрасят забор втроём?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1)  +  +  =  +  +  =  =   - удвоенная производительность всех ребят

2)  : 2 =  – производительность всех ребят

3)  =  = 9,6 часов = 576 минут

Ответ: 576 минут

     Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что в течение 1 часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи, за 1 час трубы вместе наполнят 1/6 часть бассейна:

х + 1,5х = 1/6  │ *6

6х + 9х = 1

15х = 1

х = 1/15

1) 1: 1/15 = 15 (ч) – потребуется 2 трубе для заполнения бассейна.

2) 1,5 * 1/15 = 0,1 – скорость наполнения 1 трубы.

3) 1:0,1 = 10 (ч) - потребуется 1 трубе для заполнения бассейна.

Ответ: 10 ч и 15 ч потребуется каждой трубе для заполнения бассейна.

      Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 48 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

По условию задачи первая труба заполняет резервуар на 2 минуты дольше.

 =  + 2    |*х(х+4)          ОДЗ: х≠ 0;-4

2х2 + 8х – 192 = 0    |:2

Х2 + 4х – 96 = 0

D = 16 + 384 = 400

х1;2 =

х1 = -12 – не удовлетворяет условию                 х2 = 8

Ответ: 8 литров в минуту.

     60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготавливают за час 30 деталей?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 +  = 30   |*х(х-3)     ОДЗ: х≠0;3

30х2 – 210х + 180 = 0   |:30

х2 – 7х + 6 = 0

х1 = 6                 х2 = 1 – не удовлетворяет условию

1) х1=6 (ч) – время изготовления 60 деталей второго рабочего

2) 60 : 6 = 10 – скорость изготовления одной детали вторым рабочим

3) 90 : 10 = 9 (ч) – время второго рабочего на изготовление 90 деталей

Ответ: 9 часов

      За определенное время на автозаводе должны были собрать 160 автомобилей. Первые 2 ч выполнялась установленная почасовая норма, а затем стали каждый час собирать на 3 автомобиля больше. В результате за 1 ч до срока было собрано 155 автомобилей. Сколько автомобилей в час планировали собрать первоначально?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2х + ( -3)*(х+3) = 155

2х +  =155     |*х     ОДЗ: х≠0

2х2 - 3х2 + 151х + 480 - 155х = 0

х2 - 4х – 480 = 0

D = 16 + 1920 = 1936

х1 = -24 – не удовлетворяет условию задачи

х2 = 20

Ответ: 20 автомобилей в час

     Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 =   |*2х(х+3)            ОДЗ: х≠0;-3

2х + 6 + 2х - х2 - 3х = 0

х2 – х – 6 = 0

х1 = 3

х2 = -2 – не удовлетворяет условию задачи

Ответ: за 3 часа

     Из 40 тонн железной руды выплавляют 20 тонн стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

40x = 40 – 20 + 1,2

40x = 21,2

x = 0,53

1) 0,53 * 100 = 53 (%) – примесей в руде.

Ответ: 53 % примесей в руде.