Решение квадратных неравенств
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Урок алгебры в 9-м классе по теме "Решение квадратных неравенств"

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.

Л. Н. Толстой.

Тип: урок изучения нового материала.

Цели урока: 

1. Выработка алгоритма решения квадратных неравенств.
2. Формирование навыков решения квадратных неравенств.
3. Развитие навыков самостоятельной работы.
4. Развитие логического мышления, монологической речи.
5. Воспитание внимания, аккуратности.

Оборудование: памятки с алгоритмом решения неравенств второй степени, компьютер, экран.

ХОД УРОКА

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Объяснение нового материала (28 мин).

Учитель:  Изучение нового материала мы начнем с понятия неравенства второй степени.

Задание 1. Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:

1) 6х2 – 13х>0;                          2) x2 – 3x – 14>0;                      3) (5 + x)(x – 4)>7;

4) ;                               5) ;                      6) ;

7) 8x2>0;                                    8) (x – 5)2 – 25>0;                     9) x(x – 9) – x2>0?

– Теперь давайте сформулируем определение неравенства второй степени:

Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая  –  нуль, называется неравенством второй степени.

Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:

1) ах2 + bx + c > 0; 
2) ах2 + bx + c < 0;
3) ах2 + bx + c > 0;
4) ах2 + bx + c < 0.

Задание 2. Какие из чисел являются решениями неравенства ?

1, – 3.0, – 1,5.– 4, – 2,0,5

– К квадратным неравенствам нас приводят следующие задачи.

Задание 3. Планируется разбить прямоугольный цветник, который будет примыкать к дому. Заготовленного штакетника хватит на изгородь длиной 20м. Какими должны быть длина и ширина цветника, чтобы он имел площадь не менее: 1) 48 м2; 2) 50 м2.

– Обсудим выполнение этого задания.

Если  за х м принять   длину стороны цветника, примыкающей к дому, то решение задачи сведется к решению неравенств:

1) (20 – 2х)х > 48;
2) (20 – 2х)х > 50.

Используя преобразования, эти неравенства можно привести к таким неравенствам второй степени:

1) х2 – 10х + 24 < 0; 2) х2 – 10х + 25 < 0.

Попробуем найти способ решения квадратных неравенств, использующий свойства квадратичной функции.

Учащиеся пытаются предложить такой способ. Если идей не возникает, то учитель предлагает выполнить еще одно задание.

Задание 4. На рис. 1 даны графики квадратичных функций. Анализируя эти графики, заполните таблицу.

Рис. 1

Учитель: Теперь нам предстоит решить неравенство – х2 +  8x – 12 > 0.Какая информация о квадратичной функции может оказаться при этом полезной:

• знак коэффициента а;
• знак дискриминанта D  квадратного трехчлена;
• направление ветвей параболы;
• пересечение параболы с осями координат;
•  координаты вершины параболы;
• примерное расположение параболы?

Обязательно ли для решения неравенства строить график соответствующе квадратичной функции? Если да, то с какой точностью выполнять построение?

Далее рассматриваются различные варианты неравенств с подробным решением и записью в тетради (или справочники).

Задания:

1) – х2 + 8х – 12 > 0.

Решение: Пусть у =  – х2 + 8х – 12.

1. а =  – 1, а<0. Ветви параболы направлены вниз.
2. – х2 + 8х – 12 = 0; D =  82 – 4(– 1)(– 12) = 16 = 42, D > 0
3. x1 = 6; x2 = 2.
4. Схематически строим график функции.

Ответ: х (2; 6).

2) – х2 + 8х – 12 ? 0.    Ответ: [2;6].
3) – х2 + 8х – 12 < 0.  Ответ: (– ; 2) (6;  + ).
4) – х2 + 8х – 12 ? 0.   Ответ: (– ; 2] [6;  + ).
5) x2 – 8x + 12 > 0.     Ответ: (– ; 2) (6;  + ). 
6) x2 – 8x + 12 ? 0.      Ответ: (– ; 2] [6;  + ).
7) х2 – 4х + 4 > 0.       Ответ: (– ; 2) (2;  + ). 
8) х2 – 4х + 4  ? 0.       Ответ: (– ;   + ).
9) х2 – 4х + 4  < 0.      Ответ: нет решений. 
10) х2 – 4х + 4  ? 0.      Ответ: 2 
11) х2 – 4х + 5> 0.        Ответ: (– ;   + ).
12)  х2 – 4х + 5 < 0.      Ответ: нет решений.

Учитель: Теперь давайте попробуем сформулировать алгоритм решения неравенств второй степени, основанный на свойствах квадратичной функции.

После ответов учащихся учитель предлагает сравнить их с готовым алгоритмом, который лежит у каждого на парте.

III этап. Усвоение новых знаний. (10 мин.)

На этом этапе учащимся предлагается самостоятельно решить несколько неравенств.

1. 
2. 
3. 
4. 

Для наиболее подготовленных учеников предлагается следующее задание:

Найти область определения функции .

IV этап. Домашнее задание (1 мин.)

§6, п. 14, № 304, 306.