Методические указания к практической работе по теме "Рациональные числа"
учебно-методическое пособие по алгебре (10 класс) по теме

Методические указания к практической  работе №1 «Целые и рациональные числа»

Понятие рациональных чисел

1. Натуральные числа

Множество натуральных чисел обозначается  N.

Определение: Числа, используемые при счете предметов называются натуральными

Самое маленькое натуральное число -  1, самого большого числа не существует – множество натуральных чисел бесконечно.

Операции над целыми числами

На множестве натуральных чисел выполнимы только операции сложения и умножения( результат операции- натуральное число) , операции вычитания и деления не всегда выполнимы. Привести примеры:

6 х 2=12

6+2=8

2:6=- не является натуральным числом

2 . Целые числа

Множество целых  чисел обозначается   Z.

Определение: N+0⇒N0 неотрицательные целые числа (натуральные числа и ноль)

-N  отрицательные целые числа (числа противоположные натуральным)

N0 + (-N )⇒ Z    

Целые числа – это все натуральные числа, противоположные натуральным и ноль

Операции над целыми числами

На множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания, умножения. Операция деления не всегда выполнима.

Пример.

Если 3:5 , то не получится целого числа, а получится дробь - или рациональное число.

3. Рациональные числа представляются в виде дроби ,где m-целое число, n-натуральное число.

Множество рациональных  чисел обозначается   Q.

Слово “рациональный” произошло от латинского “ratio” (отношение; разумный). Наибольшего и наименьшего рационального числа не существует.

При выполнении четырех арифметических действий над рациональными числами всегда получается рациональное число.

Если рациональное число можно представить в виде дроби  ,  где m-целое число, к-натуральное число, то такая дробь называется десятичной.

Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной, если знаменатель можно представить как произведение двоек, или пятерок или двоек и пятерок.

Рациональное число можно представить в виде десятичной дроби двумя способами:

1. Путем деления числителя на знаменатель ( произвести деление  уголком).
2. Используя основное свойство дроби, умножив числитель и знаменатель на 25.

Например:

Если в результате деления получается повторяющийся остаток, то такие дроби называются периодическими десятичными дробями или  бесконечной периодической дробью. Записываются они так: 0,333…=0,(3); 0,4545…=0,(45).

.

Число 45- период данной дроби.

Любое рациональное число можно записать в виде десятичной дроби или в виде периодической дроби или в виде целого числа.

Рациональные числа:

                   Целое или конечная десятичная дробь

                       Q

                                               Бесконечная периодическая десятичная дробь

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби .

Каждое рациональное число ( обыкновенную  дробь ) можно представить виде бесконечной периодической дроби .

И бесконечную периодическую  дробь можно представить в виде обыкновенной дроби .

Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода.

Примеры. Обратить в обыкновенные дроби числа:

1) 0,41 (6). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (416) и числом после запятой до периода дроби (41). В периоде одна цифра, а после запятой до периода две цифры, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и двух нулей (900). Итак,

 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12. Следующие задания выполняем аналогично.

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75.

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55.

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33.

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Вычислить:

Число 0,666... представим в виде 0,(6)=6/9=2/3.

Число 0,12333... представим в виде 0,12 (3)=(123-12)/900=111/900=37/300.

Вычисляем:

Правила перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную: 

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать 
столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. 

Например: 

0,(36) = (36-0)/99 =36/99 = 9*4/9*11 = 4/11; 
5,8(12) = (5812-58)/990=5754/990=959/165 

Для случая 0,1(6) получаем обыкновенную дробь 1/6, 
а для случая 0,3(3) получаем обыкновенную дробь 1/3, 
откуда их сумма точно равна 1/2.