решение заданий с модулями
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Опубликовано 30.10.2017 - 22:32 - Романова Лилия Рашидовна

данная тема используется в 11 классе на факультативных занятиях

Скачать:

Вложение	Размер
zadaniya_s_modulyami.docx	297.6 КБ

Предварительный просмотр:

Решите уравнение:

$|2x+1|=2x^2+1.$

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

$|2x+1|^2=(2x^2+1)^2\Leftrightarrow$

$4x^2+4x+1=4x^4+4x^2+1\Leftrightarrow$

$4x^4-4x=0\Leftrightarrow x(x^3-1) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0,\\ x=1.\end{array}\right.$

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль: 2x+1 = 0 $\Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}.$ Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

Разбор решения уравнения с модулем методом интервалов

Числовая прямая

Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:

при $x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1}{2}\right]$ подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: или Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
при $x\in\left(-\frac{1}{2};+\mathcal{1}\right)$ подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: или Корни уравнения и Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.

Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:

$|f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases}$

в нашем случае:

$\begin{cases} 2x^2+2\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1.\end{array}\right. \end{cases}$

Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:

$\left[\begin{array}{l}2x+1 = 2x^2+1, \\ 2x+1 =-2x^2-1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0, \\ x=1.\end{array}\right.$

Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции y=2x^2+1 и y = |2x+1|. Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же x=0 и x=1.

Графическое решение уравнения с модулем

Соответствующие графики функций на одном координатном поле.

На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.

Простейшие уравнения с модулем

$|f(x)| = f(x)\Leftrightarrow f(x) \geqslant 0.$

$|f(x)| = -f(x) \Leftrightarrow f(x) \leqslant 0.$

$|f(x)|=|g(x)|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.$

Пример 1. Решите уравнение:

$|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6.$

Решение. Перепишем уравнение в виде:

$|x^2-5x+6| = -(x^2-5x+6).$

Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:

$x^2-5x+6\leqslant 0\Leftrightarrow 2\leqslant x\leqslant 3.$

Ответ: $x\in[2;3].$

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение

$|x^2-7x+12| = x^2-7x+12.$

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};3]\cup[4;+\mathcal{1}).$

$|f(x)| = g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} g(x)\geqslant 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x) = g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \end{cases}$

Пример 2. Решите уравнение:

$|\cos x| = \sin x.$

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x\geqslant 0, \\ \left[\begin{array}{l} \cos x = \sin x, \\ \cos x = -\sin x \end{array}\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2\pi k\leqslant x\leqslant \pi+2\pi k, \\ \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x = -\frac{\pi}{4}+2\pi z.\end{array}\right.\end{cases}$

Обе части последних двух уравнений разделили на $\cos x.$ В данном случае $\cos x \ne 0.$ В противном случае $\sin x = 0,$ а это невозможно, поскольку $\sin^2 x+ \cos^2 x = 1.$

Окончательно, получаем: $x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.$

Ответ: $x\in\left\{\frac{\pi}{4}+2\pi k,\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right\}.$

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:

$|\sin 5x| = -\sin x.$

Примечание. Для решения этого задания потребуется знание формулы суммы и разности синусов.

Ответ:

$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\, (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,$

$(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\,(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$

$|f(x)|+|g(x)| = f(x) + g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0 \\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}$

$|f(x)|+|g(x)| = f(x) - g(x)\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\geqslant 0\\g(x)\leqslant 0 \end{cases}$

Пример 3. Решите уравнение:

$\left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=$

$=\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{x-1}-x-2.$

Решение. Перепишем уравнение в виде:

$\left|\frac{x^2}{x-1}-x\right|+\left|\frac{x}{x-1}-2\right|=$

$=\frac{x^2}{x-1}-x+\frac{x}{x-1}-2.$

Сумма модулей равна сумме подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения неотрицательны:

$\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}-x\geqslant 0, \\ \frac{x}{x-1}-2\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x}{x-1}\geqslant 0, \\ \frac{2-x}{x-1}\geqslant 0.\end{cases}\Leftrightarrow$

$\begin{cases}x\in(-\mathcal{1};0]\cup(1;+\mathcal{1}), \\ x\in(1;2]\end{cases}\Leftrightarrow x\in(1;2].$

Ответ: $x\in(1;2].$

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:

$|x^3-4x|+|5x-x^3|=5x^2-4x.$

Ответ: $x\in[-2;0]\cup[2;5].$

$|f(x)| + |g(x)| = |f(x) + g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$

$|f(x)| + |g(x)| = |f(x)-g(x)|\Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)\leqslant 0$

Пример 4. Решите уравнение:

$|x^2+4x|+|-x^2+9| = |4x+9|.$

Решение. Сумма модулей равна модулю суммы подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения одновременно либо неотрицательны, либо неположительны. То есть:

$(x^2+4x)(-x^2+9)\geqslant 0\Leftrightarrow$

$x(x+4)(3-x)(x+3)\geqslant 0\Leftrightarrow$

$x\in[-4;-3]\cup[0;3].$

Ответ: $x\in[-4;-3]\cup[0;3].$

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение:

$\left|\frac{x+2}{x+1}+4\right|+\left|\frac{3-x}{x+1}-3x-3\right|=\left|1-3x+\frac{5}{x+1}\right|.$

Ответ: $x\in[-3;-1]\cup[1;4].$

Простейшие неравенства с модулем

$|f(x)|\leqslant g(x)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\leqslant g(x) \\ f(x)\geqslant -g(x)\end{cases}$

Пример 5. Решите неравенство:

$|x+1|\leqslant 2x.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases}x+1\leqslant 2x, \\ x+1\geqslant -2x \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 1, \\ x\geqslant -\frac{1}{3}.\end{cases}$

Ответ: $x\in [1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №5. Решите неравенство:

$|16-8x|<4x+2.$

Ответ: $x\in\left(\frac{7}{6};4,5\right).$

$|f(x)|\geqslant g(x)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} f(x)\geqslant g(x) \\ f(x)\leqslant -g(x) \end{array}\right.$

Пример 6. Решите неравенство:

$|2x-1|\geqslant x.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности неравенств:

$\left[\begin{array}{l}2x-1\geqslant x, \\ 2x-1\leqslant -x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x\geqslant 1, \\ x\leqslant \frac{1}{3}. \end{array}\right.$

Ответ: $x\in\left(-\mathcal{1};\frac{1}{3}\right]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №6. Решите неравенство:

$|3x-4|>x+1.$

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};0,75)\cup(2,5;+\mathcal{1}).$

$|f(x)|\geqslant f(x)\Leftrightarrow x\in D(f)$

$|f(x)|<f(x)\Leftrightarrow x\in\varnothing$

$|f(x)|\leqslant f(x) \Leftrightarrow f(x)\geqslant 0$

Пример 7. Решите неравенство:

$|x^2+4x-5|\leqslant x^2+4x-5.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$x^2 +4x - 5\geqslant 0\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};-5]\cup[1;+\mathcal{1}).$

Задача для самостоятельного решения №8. Решите неравенство:

$\left|8x^2+\frac{1}{x}\right|\leqslant 8x^2+\frac{1}{x}.$

Ответ: $x\in(-\mathcal{1};0,5]\cup(0;+\mathcal{1}).$

$|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow f^2(x)<g^2(x)$

$|f(x)|<|g(x)|\Leftrightarrow (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))\leqslant 0$

Пример 9. Решите неравенство:

$|5x+3|<|2x-1|.$

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

$(5x+3)^2<(2x-1)^2\Leftrightarrow (3x+4)(7x+2)<0.$

Ответ: $x\in\left(-\frac{4}{3};-\frac{2}{7}\right).$

Задача для самостоятельного решения №9. Решите неравенство:

$\left|\frac{1-x}{1+3x}\right|>|1+x|.$

Ответ: $x\in\left(-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)\cup\left(-\frac{1}{3};0\right).$

При каком значении x верно неравенство |-3x+6| ≥ -3x+6?

Решение:

Для любого а всегда справедливы утверждения |a| ≥ a и |a| ≥ -a.

В данном случае требуется решить неравенство |a| ≥ a.

Оно верно для любого а (см. также график).

Ответ: х - любое число.

При каком значении x верно равенство |6sinx+7| = 7+6sinx?

Решение:

По определению модуля: |a|=a, если а ≥ 0 и |a|=-a, если а ≤ 0.

Т.к. sinx ≥ -1, то 6sinx+7 > 0, значит, |6sinx+7| = 6sinx+7.

В итоге получаем следующее равенство 6sinx+7 = 7+6sinx.

Оно является тождеством на всей обл. определения (-∞, +∞).

Ответ: (-∞, +∞)

При каком значении x верно равенство |2+x2| = x2+2?

Решение:

Переставим слагаемые под знаком модуля |2+x2| = |x2+2|.
Наше уравнение принимает такой вид |x2+2| = x2+2.
По определению модуля: |a|=a, если а ≥ 0 и |a|=-a, если а ≤ 0.

Т.к. x2 ≥ 0, то x2+2 > 0, значит, |x2+2| = x2+2.

В итоге получаем следующее равенство x2+2 = x2+2.

Оно является тождеством на всей обл. определения (-∞, +∞).

Ответ: (-∞, +∞)

При каком x верно равенство |lg(4-x)| = -lg(4-x)?

Решение:

Сделаем замену t=4-x и получим уравнение |lgt|=-lgt.

При этом t > 0 (обл. определения) и lgt ≤ 0 (опред. модуля).
Из системы неравенств t > 0 и 0 < t ≤ 1 следует, что 0 < t ≤ 1.

Потребуем, чтобы выполнялось условие 0 < 4-x ≤ 1,

получим в результате 3 ≤ x < 4

Ответ: 3 ≤ x < 4

При каком x верно равенство |5x| = 5|x|?

Решение:

Так как 5t > 0 для любого t, то |5t| = 5t и |5x| = 5x.

Получим уравнение 5x = 5|x|, следовательно, |x| = x.

Это равенство выполняется в случае, если x ≥ 0, т.е. x ≥ 0.

Ответ: x ≥ 0

Решите неравенство |x+2| < -3.

Решение:

По определению модуля |x+2| ≥ 0, но справа -3 < 0,

следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Ответ: Неравенство не верно ни для каких х

Найти сумму корней уравнения |x-10| = |2x-17|

Решение:

1 способ.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
x-10 = 2x-17 и x-10 = -(2x-17). Решим каждое.
Корень первого х = 7, корень второго х = 9.
Найдём сумму корней: 7 + 9 = 16

2 способ.
Так как обе части уравнения неотрицательны,
возведём уравнение в квадрат: (x-10)2 = (2x-17)2,

Решив его, получим корни х1 = 7 и х2 = 9.

Найдём сумму корней: 7 + 9 = 16

Ответ: 16

Решите неравенство |-2+x| > |x+16|

Решение:

По правилам хорошего тона в математике
запишем неравенство так: |x-2| > |x+16|.

Так как обе части неравенства неотрицательны,
возведём неравенство в квадрат: (x-2)2 > (x+16)2,

Упростив и решив его, получим, что х < -7.

Ответ: x < -7

Решите неравенство |4+5x|(9-x) > 0

Решение:

Меняем знак левой части и знак неравенства.

Получим такое неравенство: |5x+4|(x-9) < 0 .

Решим его с помощью метода интервалов.

Рассмотрим функциюf(x) = |5x+4|(x-9),

Область определения D(f) = (-∞ , +∞),

Нули функции:х = -0.8 , x = 9.

Определим знаки функции на промежутках:

Видно, что f(x) < 0 на ( -∞ , -0.8 ) , ( -0.8 , 9 ).

Ответ: ( -∞ , -0.8 ) , ( -0.8 , 9 )

Решите неравенство

|-3+5x|
4x+7

≥ 0

Решение:

Запишем красивее и аккуратнее левую часть,
при этом знак неравенства сохранится.

Запишем неравенство так:

|5x-3|
4x+7

≥ 0 .

Решим его с помощью метода интервалов.

Рассмотрим функциюf(x) =

|5x-3|
4x+7

Область определения D(f): х ≠ -1.75,

Нули функции:х = 0.6.

Определим знаки функции на промежутках:

Видно, что f(x) ≥ 0 на ( -1.75 , +∞ ).

Ответ: ( -1.75 , +∞ )

Найти все значения m, при которых уравнение ||x+3|-3| = 2m-8
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = ||x+3|-3| и прямой y = 2m-8.

В общем виде график функции |x - a| + b выглядит так:

1) Если b ≥ 0, то |x - a| + b ≥ 0 и y = ||x - a| + b| = |x - a| + b.
В этом случае трёх точек пересечения с прямой у = n быть не может.
2) Если b < 0, то график функции y = ||x - a| + b| выглядит так:

В трёх точках график пересекает единственную прямую: y = -b

Таким образом, потребуем выполнение условия 2m-8 = 3, m = 5.5

Найти все значения m, при которых уравнение |(x+5)2-4m-6| = 7
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |(x+5)2-4m-6| и прямой y = 7.

В общем виде график функции (x - a)2 + b выглядит так:

1) Если b ≥ 0, то (x - a)2 + b ≥ 0 и y = |(x - a)2 + b| = (x - a)2 + b.
В этом случае трёх точек пересечения с прямой у = n быть не может.
2) Если b < 0, то график функции y = |(x - a)2 + b| выглядит так:

В трёх точках график пересекает единственную прямую: y = -b

Таким образом, потребуем выполнение условия 4m+6 = 7, m = 0.25

Найти все значения m, при которых уравнение |(x-3)2-m+7| = 8
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |(x-3)2-m+7| и прямой y = 8.

Таким образом, потребуем выполнение условия m-7 = 8, m = 15

Найти все значения m, при которых уравнение |(x-4)2-1| = -4m+1
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |(x-4)2-1| и прямой y = -4m+1.

Таким образом, потребуем выполнение условия -4m+1 = 1, m = 0

Найти все значения m, при которых уравнение |x2-5| = -m+6
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |x2-5| и прямой y = -m+6.

Таким образом, потребуем выполнение условия -m+6 = 5, m = 1

Найти все значения m, при которых уравнение |(x-4)2+2m+2| = 4
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |(x-4)2+2m+2| и прямой y = 4.

Таким образом, потребуем выполнение условия -2m-2 = 4, m = -3

Найти все значения m, при которых уравнение |x2-7| = 2m+1
имеет ровно три корня (если таких m больше одного, укажите их сумму).

Решение:

Число корней данного уравнения зависит от числа точек пересечения
графика функции y = |x2-7| и прямой y = 2m+1.

Таким образом, потребуем выполнение условия 2m+1 = 7, m = 3

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мне нравится

Навигация

Библиотека

решение заданий с модулями
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение заданий ГИА. Модуль геометрия.

Презентация к уроку алгебры в 9 классе «Решение заданий ГИА 2014. Модуль «Реальная математика». Задания № 19».

Решение заданий, имеющих переменную под знаком модуля

Использование графиков функций, содержащих модули, при решении заданий второй части ГИА.

Урок "Решение заданий модуля «Алгебра». Подготовка к ОГЭ"

Типичные ошибки учащихся при решении пробных заданий ОГЭ (модуль «Алгебра») и методы их предотвращения

Урок в 8 классе «Решение практических задач (задание №14 модуля «Реальная математика» ОГЭ-9)»

Навигация

Библиотека

решение заданий с модулямиплан-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение заданий ГИА. Модуль геометрия.

Презентация к уроку алгебры в 9 классе «Решение заданий ГИА 2014. Модуль «Реальная математика». Задания № 19».

Решение заданий, имеющих переменную под знаком модуля

Использование графиков функций, содержащих модули, при решении заданий второй части ГИА.

Урок "Решение заданий модуля «Алгебра». Подготовка к ОГЭ"

Типичные ошибки учащихся при решении пробных заданий ОГЭ (модуль «Алгебра») и методы их предотвращения

Урок в 8 классе «Решение практических задач (задание №14 модуля «Реальная математика» ОГЭ-9)»

решение заданий с модулями
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему