Материал для подготовки к ЕГЭ, экономические задачи.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Экономические задачи.

ЕГЭ - математика.

Профиль.

Решение различных типов сложных задач №17

                           Задачи на проценты.

1)  Вклад планируется открыть на 4 года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером вначале года, и, кроме того, вначале третьего и четвертого года вклад пополняется ежегодно на 3 млн. рублей. Найти наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн. рублей.

Решение: Рассмотрим все четыре года на начало и на конец.

Пусть Х млн. рублей взяли, тогда

                  начало года                                           конец года

1год            х                                                           1,1х

2год           1,1х                                                       1,21х

3год           1,21х+3                                                (1,21х+3)*1,1=1,331х+3,3

4год            1,331х+6,3                                          (1,331х+6,3)*1,1= 1,4641х+6,93

По условию задачи составим уравнение:

1,4641х+6,93<25

1,4641х <18,07

Х <12,34                   Так ка вклад составляет целое число млн. рублей, то сумма равна 12 млн. рублей.

Ответ: 12млн. рублей.

2)  В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение: Рассмотрим каждый год отдельно на начало и на конец и выяснить, когда 10% будут больше, чем 4000р. Это и будет нужный год.

               начало года                        конец года            10%    

2001г.      11000                                   15000                    1500

2002г.      15000                                   19000                    1900

2003         19000                                   23000                    2300

2004          23000                                  27000                    2700

2005          27000                                  31000                     3100

2006          31000                                  35000                     3500

2007          35000                                  39000                     3900

2008          39000                                  43000                     4300>4000

2009          43000

Так ка 10% больше, чем 4000р., то в начале 2009 года Алексей должен продать ценную бумагу и положить в банк под 10% годовых.

Ответ: в начале 2009 года.

3) 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая:31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какова должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение: Пусть сумма выплат будет Х. Рассмотрим четыре года.

31декабря 2014г.              9282000р.

31декабря 2015г.               9282000*1,1-Х=10210200-Х

31декабря 2016г.               (10210200-Х)*1,1-Х

31декабря 2017г.               ((10210200-Х)*1,1-Х)*1,1-Х=0

13589776,2-4,641Х=0

Х=2928200рублей.

Ответ:2928200р.

Для самостоятельного решения: 31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая:31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?  Ответ: 9282000р.

Задачи на вклады

1) 15-го января Вика планирует взять в банке кредит сроком на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата следующие:

-1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r –целое число.;

-выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

-15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наименьшее значение r, при котором Вике в общей сумме придется выплатить меньше 1,6 млн. рублей.

Решение: Пусть k=1+1* r/100, то есть сумма + проценты, S выплачиваемая сумма, тогда согласно схеме, имеем:

S(1)=1* k-0,8

S(2)=0,8* k-0,4

S(3)=0,4* k-0,35

S(4)=0,35* k-0,2

S(5)=0,2* k-0,15

S(6)=0,15* k-0

Так ка все выплаты меньше, чем 1,6 млн. рублей, то имеем:

1* k-0,8+0,8* k-0,4+0,4* k-0,35+0,35* k-0,2+0,2* k-0,15+0,15* k-0<1,6

2,9* k<3,5

k<35/29, подставим вместо k=1+1* r/100

1+ r/100<35/29,

r<20,6, следовательно r=20.                 Ответ: 20  

Для самостоятельного решения: В июле Глеб планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S целое число. Условия его возврата следующие:

-каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

-выплата должна производиться один раз вгод с февраля по июнь;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Глеба будет меньше 4 млн. рублей.  Ответ:6

 2) 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r –целое число.;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение: Пусть S планируемая сумма кредита, k=1+1* r/100, разделим кредит на 19 частей согласно условию .

19S/19, 18S/19, 17S/19, 16S/19, 15S/19, 14S/19, 13S/19…….1S/19    

При этом выплаты составят: Sk-18S/19, 18Sk/19-17S/19, 17Sk/19-16S/19,

16Sk/19-15S/19 и т.д. Sk/19, по условию задачи сумма всех выплат на 30% больше первоначальной суммы, то есть:

(Sk-18S/19+18Sk/19-17S/19+17Sk/19-16S/19+16Sk/19-15S/19 +…+ Sk/19)-

(19S/19+18S/19+17S/19+16S/19+ 15S/19+ 14S/19+13S/19+….+1S/19)-S=0,3S

10k=10,3

10*(1+1* r/100)=10,3

r =3    Ответ:3

Для самостоятельного решения: 1) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн. рублей 24 месяца. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Ответ:1233000 рублей.

2) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16млн.рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и туже сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38млн рублей.

Ответ:10лет.