Урок-лекция "Дифференциальные уравнения", 11 класс (углубление).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема урока: «Дифференциальные уравнения»

Форма урока: лекция

Цель урока: формирование понятий – дифференциальное уравнение, решение дифференциальных уравнений (общее, частные особые).

План урока:

1. Постановка цели урока и домашнее задание.
2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
3. Определение дифференциального уравнения; определение решения дифференциального уравнения.
4. Интегральные кривые.
5. Определение общего решения дифференциального уравнения; определение частного решения дифференциального уравнения. Замечания об особых решениях дифференциального уравнения (д.у.).
6. Решение упражнений.
7. Итоги урока.

1. В классе:

К пункту 3: Пример1. Показать, что функция  является решением дифференциального уравнения . Имеет ли это д.у. другие решения?

Пример 2. Решить д.у. .

Пример 3. Решить д.у. .

К пункту 4:Пример 1. Решить д.у.  в общем виде и прикинуть положение интегральных кривых.

Пример 2.  Построить интегральные кривые д.у. .

Пример 3. Докажите, что - решения д.у.  и постройте интегральные кривые.

К пункту 5:Пример 1. Найти частное решение д.у. , удовлетворяющее условию .

Пример 2. Подобрать общее решение и особые решения д.у. ; построить интегральные кривые.

К пункту 6: № 1. Решите д.у.: а) ;

б) .

№2. Решите д.у.  и выделите интегральную кривую, проходящую через заданную точку:

а) ;

б) ;

 в) .

Домашнее задание: №10 (Вил.),

№13 (Вил.),

                                 Решите д.у.  а) ;

 б) .

2. Введение

Многие законы физики связывают величины со скоростями их измерения. Пусть материальная точка массой движется по прямой линии под действием силы , направленной также по прямой.

По второму закону Ньютона:  (1).

Кроме того (2).

Из (1) и (2) следует  (3).

Уравнение (3) называется дифференциальным, а наивысший порядок производной в этом уравнении называют порядком дифференциального уравнения.

До сих пор мы встречались только с уравнениями вида , содержащими неизвестную переменную . Задача решения такого уравнения заключается в том, чтобы найти все значения переменной , при подстановке которых в данное уравнение получается верное равенство.

Однако ряд важнейших задач физики, математики и ее приложений приводит к необходимости решать уравнения более сложного вида, где неизвестной является не величина , а некоторая функция , причем уравнение наряду с  и  содержит еще и производные   (до какого-то n-го порядка). Например: ; ; .

3. Определение д.у. и определение решения д.у.

Замечание:

Определение: дифференциальное уравнение   

Уравнение, связывающее независимую переменную  с неизвестной функцией  и ее производными до некоторого порядка  включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Задание (устно): Определите порядок д.у. а) ;

б) ;

в) .

Определение: решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения  называется функция , дифференцируемая, по крайней мере,  раз и такая, что при подстановке ее в уравнение  последнее обращается в тождество.

Примеры:

№1. Показать, что функция является решением уравнения  (4).

Решение:

Подставим  и  в уравнение (4):  - верно, следовательно  - решение уравнения (4).

! Однако функция  не единственное решение уравнения (4).

? Какие еще функции являются решением уравнения (4)? ;  и т.д., т.е. , где - произвольная постоянная.

Убедимся, что функция , где - произвольная постоянная, решение уравнения (4): подставим  и  в уравнение (4): - верно.

Итак, , ;  и т.д. частные решения уравнения (4);  - общее решение уравнения (4). Все частные решения являются результатом подстановок в общее решение конкретных значений произвольной постоянной.

№2. Решить уравнение .

Решение:

Возможно непосредственное интегрирование:

.

Здесь дважды применялось 1 свойство неопределенного интеграла: .

Ответ: - это общее решение, частные решение можно получить при подстановке в общее решение конкретных значений произвольных постоянных  и .

№3. Решите уравнение .

Решение:

.

Ответ: .

Замечание: количество произвольных постоянных в общем решении д.у. равно порядку этого уравнения.

4. Интегральные кривые

Определение: интегральные кривые

Графики функций – решений дифференциального уравнения называют интегральными кривыми этого уравнения.

Примеры:

№1. Решить д.у.  (5) в общем виде и прикинуть положения интегральных кривых.

Решение: , где - первообразная функции , - произвольная постоянная.

Итак, уравнение (5) имеет бесконечное множество решений. Их графики (интегральные кривые уравнения (5)) получаются путем параллельного переноса графика функции  вдоль оси на , при этом через каждую точку , такую что функция  непрерывна при , проходит одна и только одна интегральная кривая.

№2. Постройте интегральные кривые уравнения  (4).

Решение:

Общее решение уравнения (4) имеет вид . При этом через точку, кроме начала координат проходит одна  и только одна интегральная кривая.

! Начало координат – особая точка для д.у. (4). В этой точке  и уравнение (4) не имеет смысла.

№3. Докажите, что  - решение д.у. (6) и постройте его интегральные кривые.

Решение:

.

Подставим  и  в д.у. (6):

- верно.

Итак, - общее решение д.у. (6), причем

- уравнение окружности с центром и радиусом .

Интегральными кривыми уравнения (6) являются окружности с центром в начале координат.

! Ни дна из них не проходит через начало координат.

5. Определение общего и частного решений д.у., замечание об особом решении д.у.

Определение: общее решение д.у. первого порядка

Функцию  , где - произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения первого порядка  в области , если:

1.  для она является решением этого д.у., т.е. ;
2.  для точки из области  существует единственное значение , при котором линия проходит через точку , т.е. .

Примеры:

1.  - общее решение уравнения  на всей плоскости, проколотой в начале координат.

2. - общее решение д.у.  на всей плоскости, проколотой в начале координат.

Определение: частное решение д.у.

Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной,  называется частным решением этого уравнения.

Примеры:

№1. Найдите частное решение д.у.  (6), удовлетворяющее условию

Решение:

Общее решение д.у. (6) имеет вид .

Чтобы найти частное решение, положим  и , т.е.

.

Итак,  (знак  выбран с учетом ).

Ответ: .

Замечание: наряду с общими и частными решениями д.у. может иметь особые решения.

№2.  Подобрать общее решение и особые решения д.у.  (7); построить интегральные кривые.

Решение:

1) общее решение - .

Интегральные кривые – семейство синусоид.

Убедимся в том, что  - решение д.у. (7), подставим  и в уравнение 7:

 - верно.

2) кроме этого уравнение (7) имеет два особых решения: и , графики которых в каждой точке касаются проходящего через эту точку графика частного решения.

6. Решение упражнений

№1. Решите д.у. а) ; б) .

Решение:

а)

.

.

Ответ: .

б)

.

Ответ: .

№2. Решите д.у. (8) и выделите интегральную кривую, проходящую через точку а) ; б) ; в) .

Решение:

Здесь .

Ответ: - общее решение д.у. (8).

а) Так как, то .

Ответ: .

б) Так как , то .

Ответ: .

в) Так как , то .

Ответ: .