Конспект урока по алгебре в 11 классе "Производная и ее применение"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок алгебры и начала анализа в 11 классе

по теме «Производная и её применение».

Цель урока: обеспечение усвоения материала по теме на уровне комплексного применения знаний и способов действий в стандартной и изменённой ситуации.

 Задачи урока:

 1) продолжить формирование умений и навыков при применении производной; обогатить знания; установить связи между теорией и практикой.

 2)содействовать формированию ценностного отношения учащихся к своему здоровью, воспитывать сознательное отношение к учебному труду.

 3)развивать познавательную активность, самостоятельность, творчество, культуру речи учащихся.

 Тип урока: комплексное применение знаний и способов действия.

Организационные формы обучения: групповая, индивидуальная, парная.

Опорные средства: Презентации : «Производная в химии и географии» , «Применение производной»; исторические сведения; тестовые задания; разноуровневые задания; таблицы «Производная и её применение».

 Ход урока

Организационный этап.

 Добрый день ребята, добрый день уважаемые коллеги, я рада приветствовать вас на уроке.

 Сегодня урок- практикум по теме « Производная и ее применение». Формулировка цели урока вместе с учащимися.

 Обратите внимание на слова А.Н. Крылова: «Теория без практики мертва или бесплодна: практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, - и умение».

 Таким образом, наша задача показать умения и навыки при решении практических задач. А для успешной сдачи ЕГЭ нам необходимы и знания, и умения, и навыки.

 Этап проверки выполнения домашнего задания .

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференцированием? Какую функцию называют дифференцируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0, называют дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференцированием.)

Учитель: Еще Софья Ковалевская говорила : “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.

В данной функции от “икс”, нареченной “игреком”,

 Вы фиксируете “икс”, отмечая индексом,

 Придаете вы ему тотчас приращение,

 Тем у функции самой вызвав изменение

 Приращений тех теперь взявши отношение

 Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление

 Предел такого отношения вычисляется,

 Он производною в науке называется

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f '(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x0 ,f(x0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x0)+f'(x0)(x-х0))

8 Найдите ошибку

Дан график производной.  Точки х= -1, х=1, х=2 являются точками максимума?

9.Задание: Найти экстремумы функции.

 1 паре1) y = x3 + 6x2 - 15x - 3

2) y = 2х - x²

3) y = x/4 + 9/x

2 паре 4) y = x/4 + 4/x

5) y = x – х4/4      

6) y = x3 - 6x2 - 15x + 7

 Оле:7) у = х³-6х²

 (1736-1813) французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской АН (1776).

Из истории дифференциального исчисления (выступление Петрякова М.))

О происхождении терминов

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций. Приращения вида      , представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Поэтому естественно появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления.

Производная

    Термин «производная» является буквальным переводом на русский язык французского слова derivee, которое ввел в  1797 году Ж. Лагранж. Он же ввел современные  обозначения и. Г. Лейбниц говорил о  дифференциальном отношении и обозначал  производную как df/dx. Это обозначение  встречается и в современной литературе.

Ученые, внёсшие значительный вклад в развитие дифференциального исчисления:                 Н. Тарталья                    Г. Галилей                       Р. Декарт                       Д. Грегори

                    И. Ньютон                    Г. Лейбниц                    Я. Бернулли                   Г. Лопиталь ( краткое изложение о вкладе в понятие производной каждого)

Лозунгом многих математиков XVII века был:

«Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет!»

У каждого есть таблица с дифференцируемыми величинами. По ходу урока вам необходимо её заполнять

Познакомимся с применением производной в физике

Производная в физике ( выступление Кузнецовой А.)

Задача 1:

Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

 S1 (t)=2.5t–6t+1; S2 (t)=0.5t2 +2t–3

 В какой момент времени t0 скорости их равны, т.е. V1(t0)=V2(t0)…

Задача 2(слайд

Рассмотрим  пример применения механического смысла производной

                      зависимости плотности от длины стержня.   Пусть дан неоднородный стержень  с известной массой  m , длиной куска l. Плотность небольшой части  изменяется   и чем меньше  Δl, тем в меньших пределах меняется. Поэтому  линейную   плотность принято рассматривать, как ρ=m΄(l).

Производная в химии.

Задача по химии и медицине ( Балашова Ж.)

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью:

р(t) = t /2 + 3t –3 (моль)

 Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение:

Задача

Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.

Решение.

Напишем уравнение реакции окисления оксида кислородом

2NO + O22NO2

Пусть х – концентрация оксида азота, у – концентрация кислорода, тогда vпрямой=Кх2у, где К – константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих веществ.

Концентрацию газов выразим в объемных процентах.

Весь объем газовой смеси возьмем за 100%.

В этом случае у=100-х и v=Кх2(100-х), где х принадлежит [0;100]

Найдем наибольшую скорость

D(v) = R

 v’(x)=200Kх – 3Kx2

200Kх – 3Kx2=0

X1=0

X2=66,7% у=100 – 66,7 = 33,3 %

Ответ: при концентрации О2, равной 33,3%  оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.

Медицинская задача. 

Реакция организма на введенное лекарство выражается повышением кровяного давления, уменьшением температуры тела, изменением пульса и других физических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Предположим, что х – доза лекарства, а степень реакции у описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а – некоторое положительное постоянное число. При каком значении х реакция максимальна?

Решение R(x)=x2(a-x)=ax2 –x3

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x2

2ax-3x2=0

x=0

x=

Ответ: при х= уровень дозы, который дает максимальную реакцию организма на введенное лекарство.

Биолог. В биологии часто приходиться решать такие задачи

Ученик решает и комментирует решение.

Задача

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

Решение.

D(P)=R

P’(t)== =

P’(t)=0

100-t2=0

t=

P(10)=1000+=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Производная в географии

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

Решение:

Пусть у=у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за Dt=t-

Dy=k y Dt, где к= ер– ес –коэффициент прироста (ер – коэффициент рождаемости,

ес – коэффициент смертности)

Dy/ Dt=k y

При Dt→0 получим lim Dy/ Dt=у΄; у΄= к у

При решении географической задачи получилось дифференциальное уравнение. Обращается внимание учащихся на то, что пока их знаний недостаточно для его решения и предлагается вернуться к уравнению при изучении темы: «Дифференциальные уравнения».

Производная в экономии

Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V  за время t. Найдем производительность труда в момент времени t0.  За период времени от t0 до to+Δt количество произведенной продукции изменится от значения Vo=V(to) до значения Vo+ΔV = V(to+Δt); тогда средняя производительность труда за этот период времени Пср.= ΔV/ Δt. Очевидно, что производительность труда в момент to можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до to+Δt при Δt→0, т.е.

П(t)=.

  Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V’(t) есть производительность труда в момент to:

                                П (t) = V ‘ (t)

Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением

  1 ≤ t ≤ 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

    Решение: Производительность труда выражается формулой

П (t) = V ‘ (t) , П(t) =                                          (ед./ч).

В заданные моменты времени t1=1 и t2 = 8-1 = 7 имеем:
П(1) = 112,5 (ед.ч)  и П(7) = 82,5 (ед.ч).
Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.

Физ. минутка для глаз (30-40 секунд)

 Положите руки на стол, сядьте прямо.

 2.Закройте глаза, очень сильно зажмурьтесь, откройте глаза. Проделайте это упражнение сами 6 раз.

 3.Голову держите прямо, глаза поднимите вверх, опустите вниз, посмотрите влево, посмотрите вправо. Выполните это упражнение 6 раз.

 4.Голову откиньте назад, опустите вперёд так, чтобы подбородок упёрся в грудь. Проделайте это упражнение 6 раз.

VI. Этап коррекции знаний и способов действий

‘

 Из демонстрационного варианта

контрольных измерительных материалов

для проведения в 2013 году единого государственного экзамена

 Задачи В8

Задача 1. На рисунке изображен график производной функции  f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите  количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5  или совпадает с ней.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f'(4).

Решите самостоятельно !

Задача 3.На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат. Найдите f'(х0).

Х0 = 2

Х0 = -4

Производная нашла широкое применение:

 а) в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций;

 б) в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения, плотности неоднородного тела и др.

 в) в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной к кривой,

 а также в геометрии, химии и географии, биологии.

Вы замечательно поработали. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он пригодится вам в конце учебного года на ЕГЭ.

Литературная страничка

Подобрать к графикам пословицы

Любишь кататься, люби и саночки возить  Повторенье- мать ученья

Как аукнется, так и откликнется

VII. Этап информации о домашнем задании.

IX. Рефлексия.

Учитель отмечает, что благодаря огромной подготовительной работе учащихся, проведен очень интересный урок. Учитель объявляет оценки и просит учащихся проанализировать свою деятельность на уроке:у каждого листок с вопросами

1. Удовлетворен ли ты своей работой на уроке?

а) да; б) частично; в) нет; г) затрудняюсь ответить.

2. Каким образом ты собираешься устранить пробелы?

 а) спросить у учителя; б) спросить у товарища; в) справлюсь сам; г) не знаю.

3. Смог бы объяснить процесс решения задачи своему товарищу?

 а) да; б) частично;в) нет; г) затрудняюсь ответить;

4. Какую форму работы на уроке ты предпочитаешь?

 а) индивидуальную; б) парную; в) групповую; г) всем классом.

 Что нового узнали на уроке?

 Понравился ли урок?

 Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

Оценочный лист участников семинара – практикума

«Применение производной в физике и технике»