Нестандартные приемы решения уравнений. (подборка задач)
учебно-методический материал по алгебре (10, 11 класс) на тему

Нестандартные приемы решения уравнений.

(подборка задач)

Рассматриваемые далее уравнения решаются, в основном, на функциональном уровне, т. е. сопоставлением некоторых свойств функции, содержащихся в уравнении.

I. В школьном учебнике «Алгебра и начала анализа» сформулирована теорема (о корне):«Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке J, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень в промежутке J».

Эту теорему можно сформулировать несколько иначе. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке J. Тогда уравнение f(x) = a может иметь не более одного корня.

Если в промежутке J существуют два таких значения аргумента x1 и x2, что f(x1) – a <0, а f(x2) – a >0, то уравнение f(x) = a имеет единственный корень.

Примеры:

1.Решить уравнение:   + +  = 6.

Решение. Область определения уравнения – луч [-1; +), и функция  

f(x) =   + +  - 6  возрастающая (как сумма возрастающих функций), так что данное уравнение не может иметь более одного корня. Заметив, что f(-1) - 6 <0, а f(1) – 6 >0, делаем вывод, что данное уравнение имеет единственный корень, принадлежащий промежутку [-1;1]. Легко видеть,  что        x = 0.

2. Решить уравнение: cos =  .

Решение. Пусть y = cos   .Ясно, что 0  , а при этих значениях y  функция cos y убывает, и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Итак, имеем систему

                                    Cos y = ,

                                    0 .

Откуда y =  , и остается решить уравнение = .

3. Решить уравнение: ctg x = ectg 2x на промежутке .

Решение. Прологарифмировав данное уравнение и обозначив ctg x = t, получим уравнение

                          2 ln t = t – t -1,

                          t -  -2 ln t = 0.

f(t) = t -  -2 ln t  (t > 0). Так как f ‘ = 1+ , то функция f(t) возрастает на всей области определения, и поскольку f(1) = 0, то ctg x = 1 и x =  - искомое решение.

1. Показать, что при любом значении a уравнение  имеет единственный корень.

Решение. Пусть f(x) = . Очевидно, что D(f) = R. Так как

                 f ‘(x) = ,

то f(x) возрастает на R. Заметив, что f(-1) < 0, а f(2) > 0, делаем вывод, что данное уравнение имеет единственный корень при любом a.

2. Сколько корней имеет уравнение  

                                 x – 3 = 2cos?

Решение. Перепишем уравнение в виде

                                  x – 3 - 2cos= 0.

Для функции f(x) = x – 3 - 2cos

                        f ‘(x) = 1 + sin при любом xR. Следовательно, функция f(x) возрастает на R. Заметив, что f(0) < 0, f(6) > 0, делаем вывод, что уравнение имеет единственный корень.

6.  Решить систему уравнений

                               sin x –sin y = x – y,

                               x2 + y2 = 1.

Решение. Непрерывная функция f(x) = sin t – t убывает на R и поэтому каждое свое значение принимает только один раз. Из первого уравнения следует, что   x = y.Значит, (; ),(-; -) – искомые решения данной системы.

II. Пусть функция f(x) возрастает на промежутке J1, а функция g(x) убывает на промежутке J2. Тогда уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня.

Примеры:

1. Решить уравнение 

Решение. Функция f(x) =  возрастает на луче [1; +).

                 Функция g(x) = 3 -  убывает на R. Значит, данное уравнение не имеет более одного корня. Легко видеть, что x = 2 – его корень.

2. Решить уравнение  4x + 3x = 7x.

Решение. Разделив обе части уравнения почленно на 4x > 0, получим

                 1 + = .

Теперь левая часть уравнения убывает на R, а правая часть, являющаяся показательной функцией  , возрастает на R. Уравнение не может иметь более одного корня. Легко видеть, что x = 1.

3. Решить уравнение log2 (1 +) = log3 x.

 Решение. Область определения уравнения : x > 0. Положим log3 x = t. Тогда

x = 3t , и уравнение примет вид

                                     2t = 1+ ()t.

Разделив обе части на ()t > 0, получим + 1.

Левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а правая – убывающую. Значит, уравнение не может иметь более одного корня. Легко видеть, что t =2 и x = 9.

4. Решить уравнение   (a > 0).

Решение. Область определения данного уравнения – отрезок [4; 8]. При любом а  0 левая часть уравнения – возрастающая функция на луче  [4; +), а правая – убывающая на промежутке (-; 8]. Следовательно, исходное уравнение не может иметь более о

дного корня. Как легко заметить, x = 4 – искомый корень.

III. Пусть дано уравнение f(x) = g(x) и известно, что, например, f(x)  A, a g(x) A, где A- некоторое число из E(f). Ясно, что уравнение f(x) = g(x) имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение система уравнений

                 f(x) = A,

                 g(x) = A.

Примеры:

1.Решить уравнение  cos(x -1) = .

Решение. Пусть x > 0, тогда  1, а cos(x – 1)  1. Следовательно, для нахождения корней уравнения (при x > 0) решим систему уравнений

                                 cos(x – 1) = 1.

Из первого уравнения x = 1, и оно удовлетворяет второму уравнению.

При x < 0 имеем И так как cos(x – 1), то для нахождения x       (x < 0) приходим к системе уравнений

                                 cos (x – 1) = -1.

Из первого уравнения x = -1, но оно не удовлетворяет второму уравнению системы.

Ответ: x = 1.

2. Решить уравнение 

Решение. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) =  Заметим, что D(f) = [1; 2] и

f ‘(x) =

f ‘(x) = 0 при x = 1,5 – критическая точка, принадлежащая интервалу (1; 2). Имеем далее, что f(1) = f(2) = 1; f(1,5) = 2

Итак, область значений функции f(x) есть отрезок [1; ], поскольку f(x) непрерывна на отрезке [1; 2].

Для правой части уравнения имеем оценку

x2 – 3x + 2,25 +  = (x – 1,5)2 + .

Получаем систему уравнений

                  x2 – 3x + 2,25 + =.

Обоим уравнениям удовлетворяет x = 1,5.

Ответ: х=1,5.